文档内容
第 02 讲 导数与函数的单调性
（5 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第10题,6分 利用导数求函数的单调区间 求已知函数的极值点
证明函数的对称性
利用导数证明不等式
2024年新I卷，第18题,17分 利用导数求函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
利用不等式求取值范围
函数对称性的应用
极值与最值的综合应用
2024年新Ⅱ卷，第11题,6分 利用导数研究具体函数单调性
利用导数研究函数的零点
判断零点所在的区间
求在曲线上一点处的切线方程
2024年新Ⅱ卷，第16题,15分 利用导数研究含参函数单调性
根据极值求参数
2023年新I卷，第19题,12分 含参分类讨论求函数的单调区间 利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数求函数的单调区间
2023年新Ⅱ卷，第22题,12分 利用导数研究函数的零点
(不含参)
根据极值点求参数
用导数判断或证明已知函数的单 比较指数寡的大小
2022年新I卷，第7题,5分
调性 比较对数式的大小
含参分类讨论求函数的 利用导数研究不等式恒成立问题
2022年新Ⅱ卷，第22题,12分
单调区间 裂项相消法求和
利用导数求函数的单调区间 利用导数证明不等式
2021年新I卷，第22题,12分
(不含参) 导数中的极值偏移问题
2021年新Ⅱ卷，第22题,12分 含参分类讨论求函数的单调区间 利用导数研究函数的零点
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为13-17分
【备考策略】1.理解函数的单调性与导数之间的关系2能利用导数研究函数的单调性，并会求单调区间
3.能够利用导数解决与函数单调性的综合问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会在解答题考查，同时小题也会考查用导数判断函数
单调性，且近年来导数和其他版块知识点关联密集，是新高考备考的重要内容。
知识讲解
1. 导函数与原函数的关系
条件 恒有 结论
＞0 f(x)在(a，b)上单调递增
函数y＝f(x)在区间
＜0 f(x)在(a，b)上单调递减
(a，b)上可导
＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数
2. 利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导函数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f′(x)在各区间上的正负，
由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
[常用结论]
1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时， 恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单
调递减，则x∈(a，b)时， 恒成立.
2.若函数 f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则 x∈(a，b)时， ＞0有解；若函数 f(x)在
(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时， ＜0有解.考点一、 函数与导函数图象之间的关系
1．（浙江·高考真题）函数 的导函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
2．（全国·高考真题）已知函数 的导函数的图像如下图，那么 的图像可
能是（ ）
A． B． C． D．1．（浙江·高考真题）设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系
中，不可能正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（浙江·高考真题） 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可
能是下列选项中的（ ）
A． B． C． D．
3．（江西·高考真题）已知函数 的图象如图所示（其中 是函数 的导函数），则下面四
个图象中， 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．考点二、 利用导数求不含参函数的单调性
1．（2023·全国·高考真题）已知函数
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
2．（2023·北京·高考真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
(1)求 的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求 的极值点个数．
3．（2021·全国·高考真题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
2．2．
1．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)若函数 有且仅有三个零点，求 的取值范围．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时， ，求 的取值范围.
3．（2024·浙江·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时，判断 的零点个数.考点三、 利用导数求可分离型含参函数的单调性
1．（2024·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)当 时，证明：当 时， 恒成立．
2．（2023·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
3．（2021·全国·高考真题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： 只有一个零点
① ；
② ．
1．（2024·广东东莞·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，求函数 在区间 上的最大值．
2．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，证明： ．
3．（2024·新疆·三模）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；(2)若 有三个不同的零点，求实数 的取值范围.
4．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时， ，数列 满足 ，且
①比较 ， ，1的大小
②证明： .
5．（2024·广西桂林·三模）已知 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 且 有2个极值点 ， ，求证： ．
考点 四 、 利用导数求不可分离型含参函数的单调性
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 存在唯一的极值点 ，证明： ．
2．（2024·广西河池·模拟预测）已知函数 ，定义域为 .
(1)讨论 的单调性；
(2)求当函数 有且只有一个零点时， 的取值范围.
1．（2024·内蒙古·三模）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
2．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数 ， ．(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点，求实数 的取值范围；
(3)若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．
考点 五 、 根据函数单调性求参数值或范围
1．（2023·全国·高考真题）已知函数 在区间 上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
2．（2023·全国·高考真题）设 ，若函数 在 上单调递增，则a的取值范围
是 .
3．（2023·宁夏银川·三模）若函数 在区间 上不单调，则实数m的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．m>1
1．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 在区间 单调递增，则 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2024·江苏泰州·模拟预测）若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在 上存在单调递减区间，则实数
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）若函数 是 上的增函数，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·四川绵阳·模拟预测）在区间 上随机取一个实数 ，使 在 上单调递增的
概率是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
3．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，证明： .
4．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 ，不等式 在 上存在实数解，求实数 的取值范围．
5．（2024·江西南昌·一模）已知函数 .
(1)求 的单调递减区间；(2)求 的最大值.
6．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知 ， .
(1)讨论 的单调性.
(2)若 使得 ，求参数 的取值范围.
7．（2024·河南·三模）已知函数 ，且 在 处的切线方程是 ．
(1)求实数 ， 的值；
(2)求函数 的单调区间和极值．
8．（2024·浙江·三模）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若曲线 在点 处的切线与二次曲线 只有一个公共点，求实数a的值．
9．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求 的图象在 处的切线方程；
(2)若函数 在 上单调递增，求实数a的取值范围.
10．（23-24高三上·湖北·期中）已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求出这条切线的方程；
(2)讨论函数 的单调性.
一、单选题
1．（2024·江西宜春·三模）已知 ，且 ，若函数 在 上单调递减，则a的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·云南·模拟预测）已知函数 ，且 在区间 上单调递
增，则 的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．-1二、解答题
3．（2024·四川凉山·三模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有三个零点，求实数 的取值范围，
4．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 恒成立，求实数 的取值集合.
5．（2024·天津河西·三模）已知函数 ， ，其中 ．
(1)若 ，求实数a的值
(2)当 时，求函数 的单调区间；
(3)若存在 使得不等式 成立，求实数a的取值范围．
6．（2024·浙江杭州·二模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个极值点，
（ⅰ）求实数 的取值范围；
（ⅱ）证明：函数 有且只有一个零点．
7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 ．
(1)若函数 在 上单调递增，求实数 的值；
(2)求证： ．
8．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 ，求函数 在区间 上的零点个数.
9．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若 只有一个解，则当 时，求使 成立的最大整数k.10．（2023·河南信阳·模拟预测）设函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，讨论函数 的零点的个数.
1．（2024·全国·高考真题）（多选）设函数 ，则（ ）
A． 是 的极小值点 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
2．（2023·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程．
(2)若函数 在 单调递增，求 的取值范围．
3．（2022·浙江·高考真题）设函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)已知 ，曲线 上不同的三点 处的切线都经过点 ．证
明：
（ⅰ）若 ，则 ；
（ⅱ）若 ，则 ．
（注： 是自然对数的底数）
4．（2022·北京·高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
(3)证明：对任意的 ，有 ．
5．（2021·全国·高考真题）设函数 ，其中 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 的图象与 轴没有公共点，求a的取值范围.6．（2021·全国·高考真题）已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围．
7．（2021·全国·高考真题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标．
8．（2020·全国·高考真题）已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围.
9．（2020·全国·高考真题）已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明： ；
（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ .
10．（2018·全国·高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）证明： 只有一个零点．
