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专题 15 平行四边形中的最值问题 8 个解题思路（原卷版）
专题解读：平行四边形中的最值问题是八年级下册的压轴题，也是中考最常
考的题型。本专题精心选择了最新最好的最值问题，并为孩子们提供了 8 个解
题思路，可以有效地突破这个难点，欢迎下载使用。
思路一 一个动点，求两条线段的和，作一个对称点
1．（2023春•蔡甸区期中）如图，点E是线段BC上的一个动点，AB+DC=2❑√2，BC=4，且∠B＝
∠C＝135°，则AE+DE的最小值是 ．
2．（2022春•永昌县期中）如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A，C分别在x轴，y轴的正
半轴上，点D在OA上，且D的坐标为（2，0），P是OB上的一动点，试求PD+PA和的最小值是（
）
A．6 B．❑√10 C．2❑√10 D．4❑√10
3．（2023春•盐都区期中）如图，正方形ABCD的面积为9，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD
内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A．❑√8 B．2 C．3 D．4
思路二 两个动点，求几条线段的和，作两个对称点
4．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝3，ON＝5，点P、Q分别在边OB、OA
上，则MP+PQ+QN的最小值是 ．5．（2023•苍溪县一模）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE＝1，点P，Q分别是边
BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形 AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是（
）
3 9 4 3
A． B． C． D．
4 2 5 5
思路三 两个动点，求两条线段的和，作一个对称点，结合垂线段最短
6．（2023春•厦门期中）如图，在 ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上
的动点，在点P和点Q运动的过程▱中，PB+PQ的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2❑√3 D．4❑√3
思路四 两个动点，主从联动，找动点轨迹，根据垂线段最短
7．（2023秋•长沙期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），点C是y轴上的动点，线
段CA绕着点C逆时针旋转90°至线段CB，连接BO，则BO的最小值是 ．
8．（2022春•靖江市期末）如图，线段AB的长为10，点D在AB上，△ACD是边长为3的等边三角形，
过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为 ．
9．（2022春•香洲区期中）如图，正方形ABCD中，AB＝4，动点E在BC边上，以AE为直角边向上作正
方形AEFG，连接DF，则E在运动过程中DF最小值为（ ）
A．❑√2 B．2❑√2 C．3❑√2 D．4❑√2
10．（2023•天山区三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3❑√3，点P在线段BC上运动（含B、C
两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为
．
思路五 两个动点，求一条线段的最小值，利用等量代换，根据垂线段最短
11．（2023•新野县一模）如图，在菱形 ABCD中，∠B＝45°，E、F分别是边CD，BC上的动点，连接
AE、EF，G、H分别为AE、EF的中点，连接GH．若GH的最小值为3，则BC的长为 ．
12．（2023•雅安）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点
D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为 ．13．（2022秋•惠济区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，点D在BC上，以AC为
对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
14．（2022春•公安县期末）如图，正方形ABCD的边长为2，E为对角线AC上一动点，∠EDP＝90°，
DE＝DP，当点E从点A运动到点C的过程中，△EPC的周长的最小值为（ ）
A．2❑√2+2 B．4❑√2 C．3❑√2+4 D．2❑√2+3
15．（2021•雁塔区模拟）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直
线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为 ．
16．（2023春•上蔡县期末）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在射线BC上，且四边
形DEFG是正方形，连接CG．
（1）求证：AE＝CG．（2）∠ACG＝ ；
（3）若AB＝2❑√2，当点E在AC上移动时，AE2+CE2是否有最小值？若有最小值，求出最小值．17．（2022•市北区二模）如图，已知AB＝2❑√2，C为线段AB上的一个动点，分别以AC，CB为边在AB
的同侧作菱形ACED和菱形CBGF，点C，E，F在一条直线上，∠D＝120°．P、Q分别是对角线AE，BF
的中点，当点C在线段AB上移动时，点P，Q之间的距离最短为 （结果保留根号）．
思路六 构造全等，利用三边关系求最值
18．（2023•陵城区一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，E，F分别是边BC和对角线BD
上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 ．
19．（2021•滨州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2．若点P是△ABC内一点，则
PA+PB+PC的最小值为 ．
思路七 胡不归问题转化为将军饮马问题
20．（2021•罗湖区模拟）如图， ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则
▱
❑√3
PB+ PD的最小值等于（ ）
2
A．❑√3 B．3 C．3❑√3 D．2+2❑√3思路八 造桥选址模型（将军遛马）转化为将军饮马模型
21．（2023春•凤阳县期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB
上左右滑动，若EF＝1，则GE+CF的最小值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
