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专题15 巧用一元一次方程解图表信息问题（解析版）
典例剖析+针对训练
类型一 球赛积分问题
典例1（2022秋•姜堰区期末）下表是某次篮球联赛积分榜的一部分：
球队 比赛场次 胜场 负场 积分
飞龙 14 10 4 24
猎豹 14 9 5 23
小牛 14 7 7 21
猛虎 14 0 14 14
… … … … …
备注：积分＝胜场积分+负场积分
（1）根据积分榜，你知道胜一场、负一场各积多少分吗？为什么？
（2）联赛中还有一支队伍，领队电话向组委会汇报，说他的队伍在比赛中获得胜场和负场的积分一样
多，请你判断该领队的说法是否成立，并说明理由．#Z8A0
【思路引领】（1）设胜一场积x分、负一场积y分，根据题意，列出二元一次方程组，解出即可得出
答案；
（2）设该队胜场数为a场，则负场数为（14﹣a）场，根据队伍在比赛中获得胜场和负场的积分一样多
列出方程，解出并分析，即可得出结论．
【解答】解：（1）设胜一场积x分、负一场积y分，
{10x+4 y=24)
根据题意，可得： ，
9x+5 y=23
{x=2)
解得： ，
y=1
∴胜一场积2分、负一场积1分；
（2）该领队的说法不成立，理由如下：
设该队胜场数为a场，则负场数为（14﹣a）场，
根据题意，可得：2a＝14﹣a，
14
解得：a= ，
3
∵a为整数，14
∴a= 不符合题意，舍去，
3
∴该队伍在比赛中获得胜场和负场的积分不一样多，
∴该领队的说法不成立．
【总结提升】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解本题的关键在理清题意，正
确找出等量关系．
针对训练
1．学校举行排球赛，积分榜部分情况如下．
班级 比赛场次 胜场 平场 负场 积分
七（1）班 6 3 2 1 14
七（2）班 6 1 4 1 12
七（3）班 6 5 0 1 16
七（4）班 6 5 1 0 17
（1）分析积分榜，平一场比负一场多得 1 分．
（2）若胜一场得3分，七（6）班也比赛了6场，胜场是平场的一半且共积14分，那么七（6）班胜几
场？
【思路引领】（1）根据七年级（3）班和（4）的成绩进行比较即可得出结论；
（2）根据七年级（3）班的计分先求得负1场得1分，平1场得2分，然后可根据七（6）班计分为14
分列方程求解即可．
【解答】解：（1）17﹣16＝1；
故答案为：1．
（2）设负1场的x分．
根据题意得：3×5+x＝16．
解得：x＝1．
∴负1场的1分，平一场的2分．
设七（6）胜y场，则平2y场，负6﹣3y场．
根据题意得：3y+2×2y+6﹣3y＝14．
解得；y＝2．
答：七（6）班胜2场．
【总结提升】本题主要考查的是一元一次方程的应用，根据表格得到负1场得1分，平1场得2分是解
题的关键．类型二：考试积分问题
典例2 某小组8名同学参加一次知识竞赛，共答10道题，每题分值相同，每题答对得分，答错或不答扣
分，各同学的得分情况如下表：
学号 答对题数 答错或不答题数 得分
1 8 2 70
2 9 1 85
3 9 1 85
4 5 5 25
5 7 3 55
6 10 0 100
7 4 6 10
8 8 2 70
（1）如果答对的题数为n（n在1到10之间，且为整数），用含n的式子表示得分；
（2）在什么情况下得分为零分？在什么情况下得分为负分？
【思路引领】（1）由6号同学知，每答对一题得10分，设答错一题扣x分，那么从1号同学的数据可
列方程：8×10﹣2x＝70，进而求出答错一道题所得分数即可得出答对的题数为n时的分数；
（2）根据（1）中方法分别求出即可．
【解答】解：（1）由6号同学知，每答对一题得10分，设答错一题扣x分，
那么从1号同学的数据可列方程：
8×10﹣2x＝70．
解得：x＝5．
所以答错一题扣5分．
如果答对的题数为n，那么得分为：10n﹣5（10﹣n），
即15n﹣50．
（2）如果得分为零分，那么解方程15n﹣50＝0，
10
解得：n= ，
3
10
因为竞赛题目数不可能是 所以在任何情况下都不可能得零分；
3
10
因为答对题数越少得分越少，所以当答对题数小于 时，即答对题数为0，1，2，3时，得分为负分．
3【总结提升】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知得出等量关系是解题关键．
针对训练
1．（2022秋•江汉区期末）某班组织庆祝元旦知识竞赛，共设有 20道选择题，各题分值相同，每题必答．
下表记录了5位参赛者的得分情况，根据表中信息回答下列问题：
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 19 1 94
C 18 2 88
D 14 6 64
E 10 10 40
（1）这次竞赛中答对一题得 5 分，答错一题得 1 分；
（2）参赛者F得分为82分，求他答错了几道题？
（3）参赛者G说他的得分为75分，你认为可能吗？请说明理由．
【思路引领】（1）从参赛者A的得分可以求出答对一题的得分＝总分÷全答对的题数，再由B同学的成
绩就可以得出答错一题的得分；
（2）设参赛者答对了x道题，答错了（20﹣x）道题，根据答对的得分+加上答错的得分＝76分建立方
程求出其解即可；
（3）假设他得80分可能，设答对了y道题，答错了（20﹣y）道题，根据答对的得分+答错的得分＝80
分建立方程求出其解即可，注意y要为整数．
【解答】解：（1）由题意，得，
答对一题的得分是：100÷20＝5（分），
答错一题的扣分为：19×5﹣94＝1（分）．
故答案为：5，1；
（2）设参赛者答对了x道题，答错了（20﹣x）道题，由题意得：
5x﹣（20﹣x）＝82，
∴5x﹣20+x＝82，
∴6x＝102，
∴x＝17，
20﹣17＝3．
答：参赛者得82分，他答错了3道题；（3）假设他得75分可能，设答对了y道题，答错了（20﹣y）道题，由题意得5y﹣（20﹣y）＝80，
∴5y﹣20+y＝75，
∴6y＝95，
95
∴y= ，
6
∵y为整数，
∴参赛者说他得75分，是不可能的．
【总结提升】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出等式是解题的关键．
类型三 月历问题
3．（2023秋•大埔县期末）下表示某月的日历，在日历上任意圈出一个竖列上相邻的3个数，如果被圈出
的三个数之和为66，则这三个数中最大的数是 2 9 ．
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
【思路引领】根据已知设出这三个数分别是x﹣7，x，x+7，进而得出（x﹣7）+x+（x+7）＝66，即可得
出答案．
【解答】解：设这三个数分别是x﹣7，x，x+7，
根据题意得（x﹣7）+x+（x+7）＝66，
解得x＝22，因此x+7＝29．
故答案为：29．
【总结提升】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知得出（x﹣7）+x+（x+7）＝66是解题的
关键．
巩固练习
1．（2022秋•公安县期末）如图，在2022年11月的日历表中用“”框出8，10，16，22，24五个数，它
们的和为80，若将“”在图中换个位置框出五个数，则它们的和可能是（ ）A．40 B．56 C．65 D．90
【思路引领】设正中间的数为x，则x为整数，再求得这5个数的和为5x，令5x的值分别为40、56、
65、90，分别列方程求出x的值并进行检验，即可得到符合题意的答案．
【解答】解：设正中间的数为x，则x为整数，这5个数的和为：x+x﹣8+x﹣6+x+6+x+8＝5x，
A、当5x＝40时，得x＝8，左上角没有数字，不符合题意；
56
B、当5x＝56时，得x= ，不是整数，不符合题意；
5
C、当5x＝65时，得x＝13，13为第3行第一个数字，不符合题意；
D、当5x＝90时，得x＝18，符合题意；
∴它们的和可能是90，
故选：D．
【总结提升】本题考查一元一次方程的实际应用，设正中间的数为x，求得五个数的和是5x并分类讨论
是解题的关键．
2．（2022秋•徐州期末）如图，在月历表中选取4个阳历日期构成一个“田”字型，已知某个“田”字型
中的阳历日期之和为68，则其中最大的阳历日期为 2 1 ．【思路引领】设这个日期其中最大的阳历日期为x，左边的数比x小1，右边的数比x大1，上边的数比
x小7，下边的数比x大7，让这4个数相加等于68列方程求解即可．
【解答】解：设这个日期其中最大的阳历日期为x，依题意有：
x+（x﹣1）+（x﹣7）+（x﹣8）＝68，
解得x＝21．
故答案为：21．
【总结提升】本题考查了一元一次方程的应用，得到用这个日期表示的上、下、左、右四个日期是解决
本题的突破点；用到的知识点为：日历中横行上相邻的2个数相邻1，竖列上相邻2个相差7．
类型四 分段计费问题
典例4 某省公布的居民用电阶梯电价听证方案如下：
第一档电量 第二档电量 第三档电量
月用电量210度以下，每度 月用电量210度至350度，每度 月用电量350度以上，每度比第
价格0.52元 比第一档次提价0.05元 一档提价0.30元
例：若某户月用电量 400 度，则需交电费 210×0.52+（350﹣210）×（0.52+0.05）+（400﹣350）×
（0.52+0.30）＝230元．
①如果按此方案计算，小华家5月份的电费为138.84元，请你求出小华家5月份的用电量；
②依次方案请你回答：若小华家某月的电费为a元，则小华家该月用电量属于第几档？
【思路引领】（1）①分别计算出用电量为210度，350度时需要交纳的电费，然后可得出小华家 5月
份的电量在哪一档上，从而列示计算即可；
②根据①求得的结果，讨论a的值，得出不同的结论；
【解答】解：①用电量为210度时，需要交纳210×0.52＝109.2元，用电量为350度时，需要交纳
210×0.52+（350﹣210）×（0.52+0.05）＝189元，
故可得小华家5月份的用电量在第二档，设小华家5月份的用电量为x度，则210×0.52+（x﹣210）×（0.52+0.05）＝138.84，
解得：x＝262，即小华家5月份的用电量为262度．
②由①得，当0＜a≤109.2时，小华家的用电量在第一档；
当109.2＜a≤189时，小华家的用电量在第二档；
当a＞189时，小华家的用电量在第三档；
【总结提升】此题考查了一元一次方程的应用及分段函数的知识，解答此类题目要先计算出分界点处需
要交的电费，这样有助我我们判断，有一定难度．
针对训练
1．（2022秋•青云谱区期末）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：
档次 月用电量 电价（元/度）
第1档 不超过240度的部分 a
第2档 超过240度但不超过400度的 0.65
部分
第3档 超过400度的部分 a+0.3
已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费157元．
（1）表中a的值为 0. 6 ．
（2）求老李家9月份的用电量；
（3）若8月份老李家用电的平均电价为0.7元/度，求老李家8月份的用电量．
【思路引领】（1）利用电费＝电价×月用电量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值；
（2）设老李家9月份的用电量为x度，先求出月用电量为240度时的电费，由该值小于157，可得出x
＞240，再利用电费＝144+0.65×超过240度的部分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结
论；
（3）设老李家8月份的用电量为y度，根据8月份老李家用电的平均电价为0.7元/度，即可得出关于y
的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意得：200a＝120，
解得：a＝0.6．
故答案为：0.6；
（2）设老李家9月份的用电量为x度，
∵0.6×240＝144（元），144＜157，
∴x＞240．依题意得：144+0.65（x﹣240）＝157，
解得：x＝260．
答：老李家9月份的用电量为260度．
（3）设老李家8月份的用电量为y度，
依题意得：144+0.65×（400﹣240）+（0.6+0.3）（y﹣400）＝0.7y，
解得：y＝560．
答：老李家8月份的用电量为560度．
【总结提升】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
类型五 收税问题
典例5（2021秋•雨城区校级期中）依法纳税是每个公民应尽的义务，《中华人民共和国个人所得税法》规
定：公民每月工资、薪金收入不超过5000元，不需交税；超过5000元的部分为全月应纳税所得额，都
应交税，且根据超过部分的多少按不同的税率交税，详细的税率如下表：
（1）某人2020年7月的总收入为6500元，问他应交税款多少？
（2）设x表示每月收入（单位：元），y表示应交税款（单位：元），当5000＜x≤8000时，请写出y
关于x的函数关系式；
（3）某公司普通职员2020年8月应交税款84元，请求出该月他的收入是多少元？
级别 全月应纳税所得额 税率（%）
1 不超过3000元的部分 3
2 超过3000元至12000元的部分 10
3 超过12000元至25000元的部分 20
… … …
（4）某公司部门经理2020年9月应交税款900元，请直接写出他该月的收入是 1610 0 元．
【思路引领】（1）按照图表计算即可得应纳多少税．
（2）当5000＜x≤8000时，纳税在0到90之间，由收入减去5000元再乘以3%，可得解析式；
（3）将y＝84代入解析式可求解；
（4）根据（2）可知，当收入为2 100元至3 600元之间时，纳税额在25元至175元之间，于是，由该
职员纳税款120元，可知他的收入肯定在2 100元至3 600元之间，求出x即可．
【解答】解：（1）某人2020年7月的总收入为6500元，应纳税的部分是1500元，
按纳税的税率表，他应交纳税款1500×3%＝45（元），
他应交税款45元；
（2）设x表示每月收入（单位：元），当5000＜x≤8000时，应交税款y＝3%（x﹣5000）＝0.03x﹣150，
∴y关于x的函数关系为：y＝0.03x﹣150；
（3）该月他的收入是x元，
由题意可得：84＝0.03x﹣150，
解得：x＝7800，
答：他的收入是7800元；
（4）设他的收入为x元，
当8000≤x≤17000时，其中5000元不用纳税，应纳税的部分在3000元至12000元之间，
其中3000元按3%交纳，剩余部分按10%交纳，
于是，有：[（x﹣5000）﹣3000]×10%+3000×3%＝（x﹣8000）×10%+90＝0.1x﹣710；
当收入为8000元至17000元之间时，纳税额在90元至990元之间，
于是，由该职员纳税款900元，
可知他的收入肯定在8000元至17000元之间；
0.1x﹣710＝900；
解得：x＝16100；
故答案为：16100．
【总结提升】此题主要考查了一次函数的应用来解决实际问题，结合图标．一次函数的应用是中考热点
问题，考生应多加注意．
针对训练
6．（2022秋•湖北期末）应用题
根据有关规定：个人发表文章或出版图书所获得的稿费超过一定范围，必须按要求上缴一定的税费，具
体上缴税费的计算方法如下表：
获得的稿费情况 上缴税费情况
1．获得稿费不高于800元 不需要上缴税费
2．获得稿费高于800元，但低于4000元 应上缴超过800元的那部分稿费的14%的
税费
3．获得稿费高于4000元（含4000元） 应上缴全部稿费的11%的税费
①若某人获得的稿费为2400元，则应上缴税费 22 4 元；
②若某人获得的稿费为4000元，则应上缴税费 44 0 元；
③若某人获得稿费后上缴税费420元，求这笔稿费是多少元？
【思路引领】①因为2400元低于4000元，应按超过800元的那部分稿费的14%纳税，即（2400﹣800）×14%；
②稿费为4000元，按规定应缴纳全部稿费的11%的税，列式为4000×11%，计算即可；
③由②可知稿费应高于800元低于4000元，数量间的相等关系（全部稿费﹣800）×14%＝420，设稿
费x元列并解方程即可．
【解答】解：①（2400﹣800）×14%＝1600×0.14＝224（元），
故答案为：224；
②4000×11%＝440（元），
故答案为：440；
③设稿费为x元，
由题意得：14%（x﹣800）＝420，
解得：x＝3800．
答：这笔稿费为3800元．
【总结提升】考查一元一次方程的应用，解决问题的关键在于找出数量间的相等关系，列方程解答．
类型六 平面图形的拼组问题
典例6（2022秋•东海县校级月考）如图是某市民健身广场的平面示意图，它是由6个正方形拼成的长方形，
已知中间最小的正方形A的边长是2米，
（1）若设图中最大正方形B的边长是x米，请用含x的代数式表示出正方形F、E和C的边长分别为
x ﹣ 2 ， x ﹣ 4 ， x ﹣ 6 ；
（2）观察图形的特点可知，长方形相对的两边是相等的（如图中的 MN和PQ，MQ与PN）．请根据
这个等量关系，求出x的值；
（3）现沿着长方形广场的四条边铺设下水管道，由甲、乙2个工程队单独铺设分别需要10天、15天完
成．如果两队从同一点开始，沿相反的方向同时施工4天后，因甲队另有任务，余下的工程由乙队单独
施工，试问还要多少天完成？【思路引领】（1）根据图形及题意可直接进行求解；
（2）根据题意MN＝PQ，进而可得x+（x﹣2）＝x﹣4+2（x﹣6），求解即可获得答案；
1 1
（3）把这项工程看作单位“1”，则由题意易得甲工程队的工作效率为 ，乙工程队的工作效率为 ，
10 15
1 1 1
设还要y天完成，则有( + )×4+ y=1，求解即可．
10 15 15
【解答】解：（1）由图形及题意可得，
正方形F的边长为：（x﹣2）米，
正方形E的边长为：x﹣2﹣2＝x﹣4（米），
正方形C的边长为：x﹣4﹣2＝x﹣6（米），
故答案为：x﹣2，x﹣4，x﹣6；
（2）（2）根据题意可知MN＝PQ，
则有 x+（x﹣2）＝x﹣4+2（x﹣6），
解得x＝14，
∴x的值为14；
1 1
（3）把这项工程看作单位“1”，则由题意可知甲工程队的工作效率为 ，乙工程队的工作效率为 ，
10 15
设还要y天完成，
1 1 1
则有（ + ）×4 + y＝1，
10 15 15
解得 y＝5，
答：还要5天完成任务．
【总结提升】本题主要考查了列代数式以及一元一次方程的应用，理解题意，正确列出一元一次方程是
解题的关键．
针对训练
1．（2023•金华模拟）如图，由三种不同的正方形（共6个）与一个有缺角的矩形（阴影部分）拼接成矩
形ABCD，已知EF＝EG＝1，最小正方形的边长为x．
（1）用x的代数式表示AB，BC的长；
（2）若阴影部分的周长与长方形ABCD的周长比为9：14，求x的值．【思路引领】（1）由线段的和差关系可求解；
（2）先分别求出阴影部分的周长与长方形ABCD的周长，列出方程可求解．
【解答】解：（1）AB＝3x+2（x+1）＝5x+2；BC＝x+1+2x+1＝3x+2；
（2）长方形ABCD的周长＝2（5x+2+3x+2）＝16x+8，
阴影部分的周长＝10x+6．
∵阴影部分的周长与长方形ABCD的周长比为9：14，
∴9（16x+8）＝14（10x+6），
解得x＝3，
答：x的值为3．
【总结提升】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，找到正确的数量关系是解题的关键．
2．（2023春•德化县期中）如图，这是福州市某区正在修建的一所学校的示意图，该学校的占地是一个长
方形，长AD为112米，宽AB为74米，计划在三块形状及大小相同的长方形空地（阴影部分）修建教
学楼，将剩余两块形状及大小相同的空地作为操场，求每个操场的面积．
【思路引领】设阴影部分的小长方形的长为x米，则小长方形的宽为（112﹣2x）米，利用大长方形的
宽为74米列出方程，求解的小长方形的长为50米，小长方形的宽为12米，则每个操场的面积＝（大
长方形的面积﹣3个小长方形的面积）÷2．
【解答】解：设阴影部分的小长方形的长为x米，则小长方形的宽为（112﹣2x）米，
由宽AB＝74米可列方程：2（112﹣2x）+x＝74，
解得：x＝50，则112﹣2x＝12，
∴阴影部分的小长方形的长为50米，小长方形的宽为12米，
∴两个操场的总面积为112×74﹣50×12×3＝6488（平方米），
∴每个操场的面积为6488÷2＝3244（平方米）．
【总结提升】本题主要考查一元一次方程的应用，根据大长方形的长得出小长方形的长与宽之间的关系，
再利用大长方形的宽列出方程，进而解决问题是解题关键．
