文档内容
第 02 讲 导数与函数的单调性(精讲+精
练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参）
高频考点二：已知函数 在区间 上单调
高频考点三：已知函数 在区间 上存在单调区间
高频考点四：已知函数 在区间 上不单调
高频考点五：函数单调性的应用
①导函数与原函数图象的单调性
②比较大小
③构造函数解不等式
高频考点六：含参问题讨论单调性
①导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
②导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型
③导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
第四部分：高考真题感悟
第五部分： 第 02 讲 导数与函数的单调性（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆1、函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）
条件 恒有 结论
在 内单调递增
函数 在区
在 内单调递减
间 上可导
在 内是常数函数
2、求已知函数（不含参）的单调区间
①求 的定义域
②求
③令 ，解不等式，求单调增区间
④令 ，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令 （或 ）不跟等号.
3、由函数 的单调性求参数的取值范围的方法
（1）已知函数 在区间 上单调
①已知 在区间 上单调递增 ， 恒成立.
②已知 在区间 上单调递减 ， 恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数 在区间 上存在单调区间
①已知 在区间 上存在单调增区间 令 ，解不等式，求单调增区间 ，则
②已知 在区间 上存在单调减区间 令 ，解不等式，求单调减区间 ，则
（3）已知函数 在区间 上不单调 ，使得
4、含参问题讨论单调性
第一步：求 的定义域
第二步：求 （导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于 进行求导得到 ，对 初步处理（如通分），提出 的恒正部分，将该部分
省略，留下的部分则为 的有效部分（如： ，则记 为
的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定 的正负.第四步：确定导函数有效部分 的类型：
① 为一次型（或可化为一次型）② 为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论 的单调性
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2021·全国·高二课前预习）函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减.( )
2．（2021·全国·高二课前预习）函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.( )
3．（2021·全国·高二课前预习）函数y＝x3＋x的单调递增区间为(－∞，＋∞).( )
二、单选题
1．（2022·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）函数 的图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D． 的符号不确定
2．（2022·河北·武安市第三中学高二阶段练习）函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江西南昌·高二期末（理））若函数 ，则 的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖北·华中师大一附中高一期末）“函数 在 上是增函数”是：“实数 ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
第三部分：典 型 例 题 剖 析高频考点一：利用导数求函数的单调区间（不含参）
1．（2022·广东·深圳市南山区华侨城中学高二阶段练习）函数 的单调减区间是（ ）
A．（－∞， ] B．（0， ） C． 和（0， ） D．
2．（2022·福建·福鼎市第一中学高二阶段练习）函数 的减区间是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·重庆八中高三阶段练习）函数 的递增区间为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）函数 的减区间是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）函数 的递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
高频考点二：已知函数 在区间 上单调
1．（2022·黑龙江·铁人中学高二开学考试）已知函数 ， ，若 在 单调
递增，a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，3)，则b＋c＝（
）
A．－12 B．－10 C．8 D．10
3．（2022·广西钦州·高二期末（文））函数 在 单调递增的一个必要不充分条件是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）若函数 在区间 内单调递减，则实数 的取值范
围是（ ）A． B． C． D．
5．（2022·全国·高二课时练习）若函数 在 上是减函数，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 在区间 上单调递增，则 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
高频考点三：已知函数 在区间 上存在单调区间
1．（2022·河北·武安市第三中学高二阶段练习）若函数 在区间 内存在单调递减
区间，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上存在单调递增区间，则
实数b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）已知函数 存在三个单调区间，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高二）若函数 存在递减区间，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·内蒙古·赤峰二中高二期末（理））若函数 存在增区间，则实数 的取值范围
为A． B．
C． D．
高频考点四：已知函数 在区间 上不单调
1．（2022·重庆市青木关中学校高二阶段练习）已知函数 在 内不是单调函数，则
实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·河南·高二阶段练习（理））若函数 在定义域内的一个子区间 上不是
单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·安徽·合肥一中高二阶段练习）若函数 在其定义域上不单调，则实数
的取值范围为（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
4．（2022·浙江·高二阶段练习）函数 在区间[-1，2]上不单调，则实数a的取值范围
是（ ）
A．(-∞，-3] B．(-3，1)
C．[1，+∞) D．(-∞，-3]∪[1，+∞)
5．（2022·安徽省太和中学高二开学考试）已知函数 在区间 上不单调，则实数 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·江苏·高二）若函数 在其定义域上不单调，则实数 的取值范围为
（ ）
A． 或 B． C． D．
7．（2022·全国·高二课时练习）已知函数 ，则 在 上不单调的一个充分不必
要条件是（ ）
A． B．C． D．
高频考点五：函数单调性的应用
①导函数与原函数图象的单调性
1．（2021·广西河池·高二阶段练习（理））如果函数 的导函数 的图象如图所示，则以下
关于函数 的判断：
①在区间 内单调递增；
②在区间 内单调递减；
③在区间 内单调递增；
④ 是极小值点；
⑤ 是极大值点.
其中不正确的是（ ）
A．③⑤ B．②③ C．①④⑤ D．①②④
2．（2021·福建省漳州第一中学高二阶段练习） 是函数y＝f(x)的导函数，若y＝ 的图象如图所示，
则函数y＝f(x)的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．3．（2021·海南·三亚华侨学校高三阶段练习）已知函数 的图象如图所示，则 的图象可
能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·全国·高二课时练习）如图为函数 的导函数 的图象，那么函数 的图象可能为
（ ）A． B．
C． D．
5．（2021·江西省铜鼓中学高二阶段练习（理））设 是函数 的导数， 的图象如
图所示，则 的图像最有可能的是（ ）．
A． B．
C． D．
②比较大小
1．（2022·云南省昆明市第十中学高二阶段练习）已知函数 ，则（ ）
A． B．
C． D．2．（2022·重庆市清华中学校高二阶段练习）若函数 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（理））已知函数 ， ， ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（理））已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
③构造函数解不等式
1．（2022·全国·高二课时练习）已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时, ，且f（3）＝
0，则不等式f（x）≥0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞） B．[﹣3，3]
C．（﹣∞，﹣3]∪[0，3] D．[﹣3，0]∪[3，+∞）
2．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知函数 对于任意的 满足 ，
其中 是函数 的导函数，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习（理））设函数 是偶函数 （ ）的导函数， ，当
时， ，则使得 成立的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·重庆南开中学高二期末）已知定义在 上的函数 满足： ，且 ，则
的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二阶段练习（理））已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为 ，
且对于任意的x∈R，均有 ，则（ ）
A．e－2 021f(－2 021)>f(0)，e2 021f(2 021)f(0)，e2 021f(2 021)>f(0) D．e－2 021f(－2 021)f(0)
高频考点六：含参问题讨论单调性
①导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
1．（2022·广东·清远市博爱学校高二阶段练习）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
2．（2022·全国·高三专题练习（理））设a为实数，函数f(x)＝ －2x＋2a，x∈R．
(1)求f(x)的单调区间与极值；
2．（2022·全国·高二）已知函数 ，讨论 的单调性．
3．（2022·全国·高二课时练习）已知函数 .讨论 的单调性.
②导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型1．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，讨论 的单调性.
3．（2022·全国·高二课时练习）已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 的单调区间.
4．（2022·河北邢台·高二阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，求 在 上的值域；
(2)若 ，讨论 的单调性.5．（2022·广西柳州·三模（理））若 .
(1)当 ， 时，讨论函数 的单调性；
(2)若 ，且 有两个极值点 ， ，证明： .
6．（2022·辽宁抚顺·一模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
③导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（1）讨论函数的单调性；
2．（2022·全国·高二课时练习）设函数 讨论 的单调性.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数
(1)若函数 的一个极值点为 ，求函数 的极值
(2)讨论 的单调性.
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
2．（2021·北京·高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 处取得极值，求 的单调区间，以及其最大值与最小值．3．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且 ，函数
（1）求函数 的单调区间；
4．（2021·全国·高考真题（文））设函数 ，其中 .
（1）讨论 的单调性；
5．（2021·全国·高考真题（理））已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
6．（2021·全国·高考真题（文））已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；7．（2021·全国·高考真题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
第五部分：第 02 讲 导数与函数的单调性（精练）
一、单选题
1．（2022·广东·高州市长坡中学高二阶段练习）函数 的定义域为 ，其导函数 在 内的图
象如图所示，则函数 在区间 内极小值点的个数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东·高州市长坡中学高二阶段练习）函数 是减函数的区间为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江西·赣州市第一中学高二阶段练习（文））设函数 的导函数为 ，若对任意 都
有 成立，则（ ）
A． B．
C． D． 与 的大小关系不能确定
4．（2022·北京交通大学附属中学高二阶段练习）若函数 在 上单调递增，则实
数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
5．（2022·湖北省罗田县第一中学高二阶段练习）函数 的导函数为 ，对 ，都有
成立，若 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习（文））函数 在 上可导且满足 ，则下列一
定成立的为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·贵州师大附中高二阶段练习（理））若对任意的 ，且 ，
则m的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·新疆石河子一中模拟预测（理）） ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（理））已知函数 在定义域 内可导，其图象
如下图，记 的导函数为 ，则不等式 的解集为______________.
10．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高二阶段练习）函数 在整个实数范围
内单调递增，则 的最大值是________.
11．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二阶段练习（理））若函数 在区间
上单调递减，则实数 的取值范围是____________.
12．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数 ，若存在实数 ，使得
，则 的取值范围是______.三、解答题
13．（2022·山东省东明县第一中学高二阶段练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
14．（2022·全国·高二课时练习）已知函数f（x）＝ax3﹣3lnx.
(1)若a＝1，证明：f（x）≥1；
(2)讨论f（x）的单调性.
15．（2022·湖南·高二课时练习）若函数 在区间 上为增函数，求a的取值范
围．
16．（2022·贵州贵阳·高二期末（文））已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，设 ，求函数 的单调区间.
