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第 11 讲 利用导数研究双变量问题
（核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分
【命题预测】题型分析 双变量问题运算量大，综合性强，解决起来需要很强的技巧性，解题总的思想方
法是化双变量为单变量，然后利用函数的单调性、最值等解决．
知识讲解
破解双参数不等式的方法:
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等
式:
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值;
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果
考点一、 利用导数解决函数中的双变量问题
1．（2024·天津·高考真题）设函数 ．
(1)求 图象上点 处的切线方程；
(2)若 在 时恒成立，求 的值；
(3)若 ，证明 ．
2．（2022·北京·高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
(3)证明：对任意的 ，有 ．
3．（2021·全国·高考真题）已知函数 .（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
1．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数 ，其中 ．
(1)若 在 上单调递增，求 的取值范围；
(2)当 时，若 且 ，比较 与 的大小，并说明理由
2．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）已知函数 ，其中 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，证明： .
3．（23-24高三下·北京·开学考试）已知 .
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)设 ，求 的单调区间；
(3)求证：当 时， .
4．（22-23高三下·四川成都·开学考试）已知函数 ， ．
(1)求证： 存在唯一零点；
(2)设 ，若存在 ，使得 ，求证： ．
5．（23-24高三上·江西·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，存在 ，使得 ，求M的最大值；
(2)已知m，n是 的两个零点，记 为 的导函数，若 ，且 ，证明：
.1．（2023·甘肃定西·模拟预测）已知函数 ．
(1)若a＝1，求函数 的单调区间；
(2)若函数 有两个极值点 ，且 ，求证： ．
2．（2024·四川德阳·二模）已知函数 ，
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若函数 有两个极值点 ，求 的最小值.
3．（2023·福建龙岩·模拟预测）设函数 .
(1)求 的极值；
(2)已知 ， 有最小值，求 的取值范围.
4．（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，其导函数
．
(1)求曲线 在点 处的切线 的方程，并判断 是否经过一个定点；
(2)若 ，满足 ，且 ，求 的取值范围．
5．（2022·四川泸州·一模）已知函数 的图像在 处的切线与直线 平行．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 ，且 时， ，求实数m的取值范围．
6．（2023·河南郑州·三模）已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个极值点 ， ，且 ，求证： ．
7．（2023·福建龙岩·二模）已知函数 ， ．
(1)若 满足 ，证明：曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线；
(2)若 ，且 ，证明： ．
8．（23-24高三上·天津宁河·期末）已知函数 ， ．(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)求 的单调区间；
(3)设 是函数 的两个极值点，证明： ．
9．（2024·河北保定·二模）已知函数 为其导函数．
(1)若 恒成立，求 的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数 ，使得 ，证明： ．
10．（2023·广西·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)若 有两个不同零点 ， 证明： ．
11．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，当 时，证明： ．
12．（2023·海南·模拟预测）已知函数 在 上单调递增.
(1)求 的取值范围；
(2)若存在正数 满足 （ 为 的导函数），求证： .
13．（2024高三下·全国·专题练习）设 是函数 的一个极值点．
(1)求 与 的关系式（用 表示 ），并求 的单调区间；
(2)设 ， ．若存在 ， ，使得 ，求实数 的取值范围．
14．（2024·浙江绍兴·三模）若函数 有且仅有一个极值点 ，函数 有且仅有一个极值点 ，且
，则称 与 具有性质 ．
(1)函数 与 是否具有性质 ？并说明理由．
(2)已知函数 与 具有性质 ．
（i）求 的取值范围；
（ii）证明： ．15．（2023·全国·模拟预测）已知函数 .
(1)设函数 ，若 恒成立，求 的最小值；
(2)若方程 有两个不相等的实根 、 ，求证： .
1．（重庆·高考真题）设函数 ， .
（1）求导数 ，并证明 有两个不同的极值点 ､ ；
（2）若不等式 成立，求 的取值范围.
2．（湖南·高考真题）设函数
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个极值点 和 ，记过点 的直线的斜率为 ，问：是否存在 ，
使得 ？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由．
3． 已知函数 ， 的导函数是 ．对任意两个不相等的正数 、 ，证明：
(1)当 时， ；
(2)当 时， ．
