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专题24.6 垂径定理（直通中考）
【要点回顾】
1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.垂径定理的推论
（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分线，并且平分弦所对的另一条弧.
一、单选题
1．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图， 都是 的半径， 交于点D．若
，则 的长为（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，
BE＝3，则四边形ACBD的面积为( )
A．36 B．24 C．18 D．72
3．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x轴、y轴
分别交于A、B两点，C、D是半径为1的 上两动点，且 ，P为弦CD的中点．当C、D
两点在圆上运动时， 面积的最大值是（ ）A．8 B．6 C．4 D．3
4．（2021·广西玉林·统考中考真题）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平
分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（ ）
A．两人说的都对
B．小铭说的对，小熹说的反例不存在
C．两人说的都不对
D．小铭说的不对，小熹说的反例存在
5．（2023·广西·统考中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱
桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为 ，拱高约为 ，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图， 是 的外接圆，弦 交 于点E， ，
，过点O作 于点F，延长 交 于点G，若 ， ，则 的长为(
)
A． B．7 C．8 D．
7．（2021·山东淄博·统考中考真题）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几
何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径
CD的长度是（ ）
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
8．（2022·四川泸州·统考中考真题）如图， 是 的直径， 垂直于弦 于点 ， 的延长
线交 于点 ．若 ， ，则 的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
9．（2022·安徽·统考中考真题）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，
PB＝6，则OP＝（ ）
A． B．4 C． D．5
10．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启
在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 为圆心的
圆，如图2，已知圆心 在水面上方，且 被水面截得的弦 长为6米， 半径长为4米．若点
为运行轨道的最低点，则点 到弦 所在直线的距离是（ ）A．1米 B． 米 C．2米 D． 米
二、填空题
11．（2021·湖南长沙·统考中考真题）如图，在⊙O中，弦 的长为4，圆心 到弦 的距离为2，
则 的度数为 ．
12．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若
⊙O的半径为2，则弦AB的长为 ．
13．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图， 是一个盛有水的容器的横截面， 的半径为 ．
水的最深处到水面 的距离为 ，则水面 的宽度为 ．
14．（2023·山东东营·统考中考真题）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：
“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”．用现在的几何语言表达即：如图， 为 的直径，弦 ，垂足为点 ， 寸， 寸，则直径
的长度是 寸．
15．（2022·湖南长沙·统考中考真题）如图，A、B、C是 上的点， ，垂足为点D，且D为
OC的中点，若 ，则BC的长为 ．
16．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题） 的直径 ，AB是 的弦， ，垂足为
M， ，则AC的长为 ．
17．（2021·青海西宁·统考中考真题）如图， 是 的直径，弦 于点E， ，
， 则 的半径 ．
18．（2022·湖北荆州·统考中考真题）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，
底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为 cm（玻璃瓶厚度忽
略不计）．三、解答题
19．（2023·广东清远·统考一模）如图，在⊙O中，直径 ，弦 ，连接 ．
(1) 尺规作图：过点O作弦 的垂线，交 于点E，交 于点D，且点D在劣弧 间．
(2) 连接 ，求 的面积．
20．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，已知扇形 ，请用尺规作图法在弧 上找一点C，使得
将扇形 分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法）21．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）如图， （非直径）为 的两条弦， 与
交于点 ，请从① 为 直径；② 为 中点；③ 为 中点；中选择两个作为题设，
余下的一个作为结论组成一个真命题，并完成证明．
22．（2021·上海·统考中考真题）已知：在圆O内，弦 与弦 交于点 分别是
和 的中点，联结 ．
（1）求证： ；
（2）联结 ，当 时，求证：四边形 为矩形．23．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，点 在第一象限内， 与 轴相切于点 ，与 轴相交
于点 ．连接 ，过点 作 于点 ．
(1) 求证：四边形 为矩形．
(2) 已知 的半径为4， ，求弦 的长．
24．（2022·湖北宜昌·统考中考真题）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造
的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何
图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为 ．桥的跨度（弧所对的弦长） ，设 所在圆的圆心为 ，半径 ，垂足为 ．拱高（弧的中点到弦的距离） ．连接 ．
(1) 直接判断 与 的数量关系；
(2) 求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到 ）．
参考答案
1．B
【分析】根据等腰三角形的性质得出 根据勾股定理求出 ，进一步可求出 的长．
解：∵∴点 为 的中点，
∵
∴ ，
由勾股定理得，
∴
∴
故选：B．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及圆的有关性质，正确掌握相关性质是解答
本题的关键
2．A
【分析】连接OC，首先根据题意可求得OC=6，OE=3，根据勾股定理即可求得CE的长，再根据垂径
定理即可求得CD的长，据此即可求得四边形ACBD的面积．
解：如图，连接OC，
∵AB＝12，BE＝3，
∴OB＝OC＝6，OE＝3，
∵AB⊥CD，
∴在Rt△COE中， ，
∴CD＝2CE＝6 ，
∴四边形ACBD的面积＝ ．
故选：A．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键．
3．D【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出 ，确定 ，再由题意得出当 的延
长线恰好垂直 时，垂足为点E，此时 即为三角形的最大高，连接 ，利用勾股定理求解即可．
解：∵直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的底边 为定值，
∴使得 底边上的高最大时，面积最大，
点P为 的中点，当 的延长线恰好垂直 时，垂足为点E，此时 即为三角形的最大高，连接
，
∵ ， 的半径为1，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故选：D．
【点拨】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高
的最大值是解题关键．
4．D
【分析】根据垂径定理可直接进行排除选项．
解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：
小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但
不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；
故选D．
【点拨】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
5．B
【分析】由题意可知， ， ，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到 ，再利用
勾股定理列方程求解，即可得到答案．
解：如图，由题意可知， ， ，主桥拱半径R，
，
是半径，且 ，
，
在 中， ，
，
解得： ，
故选B【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用直角三角形求解是解题关键．
6．B
【分析】作 于点M，由题意可得出 ，从而可得出 为等边三角形，从而
得到 ，再由已知得出 ， 的长，进而得出 ， 的长，再求出 的
长，再由勾股定理求出 的长．
解：作 于点M，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴∠ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外接圆与外心、勾
股定理等知识点，综合性较强，掌握基本图形的性质，熟练运用勾股定理是解题关键．
7．D
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．
解：连接OA，如图所示，
设直径CD的长为2x，则半径OC=x，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB=10寸，
∴AE=BE= AB= ×10=5寸，
∵OA为⊙O的半径，，则OA=x寸，
根据勾股定理得x2=52+（x-1）2，
解得x=13，CD=2x=2×13=26（寸）．
故选：D．
【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理．正确的作出辅助线是解题的关键．
8．C
【分析】根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．
解：设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．
∵ 是 的直径， 垂直于弦 于点，
∴
∴OD是△ABC的中位线
∴BC=2OD
∵
∴ ，解得
∴BC=2OD=2x=2
故选：C
【点拨】本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD的长是解题的关键．
9．D
【分析】连接 ，过点 作 于点 ，如图所示，先利用垂径定理求得 ，
然后在 中求得 ，再在 中，利用勾股定理即可求解．
解：连接 ，过点 作 于点 ，如图所示，
则 ， ，
∵PA＝4，PB＝6，
∴ ，∴ ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
故选：D
【点拨】本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键．
10．B
【分析】连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根据勾股定理求得
OD的长，由CD=OC﹣OD即可求解．
解：根据题意和圆的性质知点C为 的中点，
连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD= AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，
∴OD= = = ，
∴CD=OC﹣OD=4﹣ ，
即点 到弦 所在直线的距离是（4﹣ ）米，
故选：B．
【点拨】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．
11．
【分析】先根据垂径定理可得 ，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得．解：由题意得： ， ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．
12．
解：如图，连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD= OC=1，
∵OC⊥AB，
∴D为AB的中点．
∴AB=2AD ．
故答案为：
13．
【分析】过点 作 于点 ，交 于点 ，则 ，依题意，得出 ，进
而在 中，勾股定理即可求解．
解：如图所示，过点 作 于点 ，交 于点 ，则 ，∵水的最深处到水面 的距离为 ， 的半径为 ．
∴ ，
在 中，
∴
故答案为： ．
【点拨】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
14．26
【分析】连接 构成直角三角形，先根据垂径定理，由 垂直 得到点 为 的中点，由
可求出 的长，再设出圆的半径 为 ，表示出 ，根据勾股定理建立关于 的方程，求解方
程可得 的值，即为圆的直径．
解：连接 ，
，且 寸，
寸，
设圆 的半径 的长为 ，则 ，
，
，
在直角三角形 中，根据勾股定理得：
，化简得： ，
即 ，（寸）．
故答案为：26．
【点拨】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．
15．7
【分析】根据垂径定理可得 垂直平分 ，根据题意可得 平方 ，可得四边形 是菱形，
进而根据菱形的性质即可求解．
解：如图，连接 ，
A、B、C是 上的点， ，
，
D为OC的中点，
，
四边形 是菱形， ，
．
故答案为：7．
【点拨】本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键．
16． 或
【分析】分①点 在线段 上，②点 在线段 上两种情况，连接 ，先利用勾股定理求出
的长，再在 中，利用勾股定理求解即可得．
解：由题意，分以下两种情况：
①如图，当点 在线段 上时，连接 ，的直径 ，
，
，
，
，
，
；
②如图，当点 在线段 上时，连接 ，
同理可得： ，
，
；
综上， 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了勾股定理、圆，正确分两种情况讨论是解题关键．17．
【分析】设半径为r，则 ，得到 ，由垂径定理得到 ，再根据勾股定理，
即可求出答案．
解：由题意，设半径为r，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，弦 于点E，
∴点E是CD的中点，
∵ ，
∴ ，
在直角△OCE中，由勾股定理得
，
即 ，
解得： ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理进行解题．
18．7.5
【分析】如详解中图所示，将题中主视图做出来，用垂径定理、勾股定理计算即可.
解：如下图所示，设球的半径为rcm，
则OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=（12-r）cm，
∵EG过圆心，且垂直于AD，
∴G为AD的中点，
则AG=0.5AD=0.5×12=6cm，
在 中，由勾股定理可得，
，
即 ，解方程得r=7.5，
则球的半径为7.5cm．
【点拨】本题考查了主视图、垂径定理和勾股定理的运用，准确做出立体图形的主视图是解题的关键．
19．(1)见详解；(2)
【分析】（1）分别以点A、C为圆心，以大于 为半径画弧，两弧相交于点F，连接 ，交
于点D，交 于点E；
（2）根据垂径定理得到 ，再求出半径 ，根据三角形面积公式即可求解．
（1）解：如图，OD为所作；
作法：分别以点A、C为圆心，以大于 为半径画弧，两弧相交于点F，连接 ，交 于点D，
交 于点E；
证明：连接 、 、 ，
由作图得 ，由圆的性质得 ，
∴点 都在线段 的垂直平分线上，
∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ ；
（2）解：∵ ，∴ ，
∵直径 ，
∴ ，
∴ 的面积＝ ．
【点拨】本题考查了作线段的垂线，垂径定理等知识，会作线段的垂直平分线，熟知垂径定理是解题
关键．
20．见分析
【分析】连接 ，过点O作 垂直 交 于点C，即可求解．
解：如图，点C即为所求．
．
【点拨】本题主要考查了垂径定理，尺规作图，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
21．见分析
【分析】分三种情况分别进行推理论证即可．
解：（1）知①，②推③：如图，连接 ，
为 中点，
，
为 中垂线，
∵ 为 直径，∴ ,
所以 为弧 中点,
（2）知①③推②：如图，连接 ，
为 中点,
,
又 ,
为 的中垂线,
为 中点
（3）知②③推①：如图，连接 ，
∵ 为 中点，
∴ ,
,
∵ 为 中点，
∴ ，
为 中垂线,
即 为圆 直径.
【点拨】此题考查了垂径定理及其推论，等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定和性质等
知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．22．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）连结 ，由M、N分别是 和 的中点，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由
， 可得 ，可证 ， ，根据等腰三角
形三线合一性质 ;
（2）设OG交MN于E，由 ，可得 ，可得 ，
，可证 可得 ，由CN∥OG，可得 ，
由 可得AM∥CN，可证 是平行四边形，再由 可证四边形ACNM是
矩形．
解：证明：（1）连结 ，
∵M、N分别是 和 的中点，
∴OM，ON为弦心距，
∴OM⊥BC，ON⊥AD，
，
在 中， ，
，
在Rt OMG和Rt ONG中，
△ △
，
，
∴ ，
;（2）设OG交MN于E，
，
∴ ，
∴ ，即 ，
，
在△CMN和△ANM中
，
，
，
∵CN∥OG，
，
，
，
∴AM∥CN，
是平行四边形，
，
∴四边形ACNM是矩形．
【点拨】本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，
矩形的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形
的判定是解题关键．
23．(1)见分析；(2)
【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可．
（2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可．
解：（1）证明：∵ 与 轴相切于点 ，
∴ 轴．
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．（2）如图，连接 ．
四边形 是矩形，
．
在 中， ，
．
点 为圆心， ，
．
【点拨】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关
键．
24．(1) ；(2)这座石拱桥主桥拱半径约为
【分析】（1）根据垂径定理即可得出结论；
（2）设主桥拱半径为 ，在 中，根据勾股定理列出方程，即可得出答案．
（1）解：∵半径 ，
∴ ．
故答案为： ．
（2）设主桥拱半径为 ，由题意可知 ， ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理，得 ，
即 ，
解得 ，
∴ ，
因此，这座石拱桥主桥拱半径约为 ．【点拨】此题考查垂径定理和勾股定理，是重要考点，根据题意利用勾股定理列出方程是解题关键．
