文档内容
第 11 讲 二次函数与幂函数
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如 y ＝ x α 的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，x，x为f(x)的零点.
1 2 1 2
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
(抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点
坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上是减函数； 在上是增函数；在上是增函数 在上是减函数
1、【2021年甲卷文科】下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于C， 在 为减函数，不合题意，舍.
对于D， 为 上的增函数，符合题意，
故选：D.
2、(2016全国III) 已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ， ，且幂函数 在 上单调递增，指数函数
在 上单调递增，所以 ，故选A．
2
1、若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·xm －6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为( )
A.1或3 B.1
C.3 D.2
【答案】 B
【解析】 由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0，解得m＝1.
2、若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝2x2－3x
B．g(x)＝3x2－2xC．g(x)＝3x2＋2x
D．g(x)＝－3x2－2x
【答案】 B
【解析】 二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，
设二次函数为g(x)＝ax2＋bx，
可得
解得a＝3，b＝－2，
所求的二次函数为g(x)＝3x2－2x.
3、已知 ，若幂函数 为奇函数，且在 上递减，则 =_____．
【答案】
【解析】由题意 为奇函数，所以 只能取 ，又 在 上递减，所以
4、若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围为( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，2)
【答案】A
【解析】二次函数y＝kx2－4x＋2的对称轴为x＝，当k>0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是
增函数，只需≤1，解得k≥2.
当k<0时，<0，此时抛物线的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y＝kx2－4x＋2在区间[1，2]上是减函
数，不符合要求．综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞)
考向一 幂函数的图像与性质
例1、（1）幂函数y＝f(x)的图像过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的解析式为___________．
（2）图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的图像．已知α取±2，±四个值，则相应于曲线C ，C ，C ，C
1 2 3 4
的α值依次为____________．
（3）已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？
【答案】（1） ．
（2）2，，－，－2（3）m＝－1．
【解析】（1）令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝，∴ ．（2）：2，，－，－2
（3）∵函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3是幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1．
当m＝2时，－5m－3＝－13，函数y＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；
当m＝－1时，－5m－3＝2，函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数．∴m＝－1．
变式1、已知幂函数f(x)＝ ，若f(a＋1)＜f(10－2a)，求实数a的取值范围．
【解析】 由题意，得函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．
因为f(a＋1)10－2a>0或0>a＋1>10－2a或 a＋1<0<10－2a，
解得30，则当≥1，即0
