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§3.2 导数与函数的单调性
考试要求 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究
函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调
性判断大小，求参数的取值范围等简单应用．
知识梳理
1．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增
函数y＝f(x)在区间(a，
f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减
b)上可导
f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正
负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
常用结论
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，
b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)
在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( √ )
(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．( √ )
(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．( × )
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．( √ )
教材改编题
1．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )答案 C
解析 由f′(x)的图象知，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增；
当x∈(0，x)时，f′(x)<0，∴f(x)单调递减；
1
当x∈(x，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增．
1
2．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
答案 A
解析 ∵f′(x)＝2x－
＝(x>0)，
令f′(x)＝0，得x＝1(负值舍去)，
∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
3．已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f ，f(1)，f 的大小关系为________________．(用“<”
连接)
答案 f 0，所以函数f(x)在上单调递增，
又因为0<<1<<，所以f 0，
∴f(x)的单调递减区间为(0，e2)．
(2)若函数f(x)＝，则函数f(x)的单调递增区间为________．
答案 (0,1)
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，
令φ(x)＝－ln x－1(x>0)，
φ′(x)＝－－<0，
φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，
∴当x∈(0,1)时，φ(x)>0，
当x∈(1，＋∞)时，φ(x)<0，
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)．
思维升华 确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，
一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔
开．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝x－ln x－.判断函数f(x)的单调性．
解 因为f(x)＝x－ln x－，
所以f′(x)＝1－－＝(x>0)．
令g(x)＝x－ex，则g′(x)＝1－ex，
可得g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以g(x)0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
题型二 含参数的函数的单调性
例2 已知函数f(x)＝(2－a)x－ln x－1，a∈R.
(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的单调递增区间；
(2)若a<0，设g(x)＝f(x)＋ax2，求函数g(x)的单调区间．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝x－ln x－1，则f′(x)＝1－＝(x>0)，
当x>1时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．
(2)g(x)＝ax2＋(2－a)x－ln x－1(a<0)，其定义域为(0，＋∞)，
∴g′(x)＝2ax＋2－a－＝＝(a<0)，
令g′(x)＝0，可得x＝，x＝－>0，
1 2
①若－>，即－2－时，g′(x)<0；当0，
∴g(x)的单调递减区间为，，单调递增区间为；
②若－＝，即a＝－2，则g′(x)≤0，∴g(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；
③若0<－<，即a<－2，
当0时，g′(x)<0；当－0，
∴g(x)的单调递减区间为，，单调递增区间为.
综上，当－2ln 2，
则当x∈(－∞，ln 2)∪(a，＋∞)时，g′(x)>0，
当x∈(ln 2，a)时，g′(x)<0，
∴g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减．
②若a＝ln 2，则g′(x)≥0恒成立，
∴g(x)在R上单调递增，
③若a0，
当x∈(a，ln 2)时，g′(x)<0，
∴g(x)在(－∞，a)，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a，ln 2)上单调递减．
综上，当a>ln 2时，g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减；
当a＝ln 2时，g(x)在R上单调递增；
当aeln π
答案 AD
解析 设f(x)＝(x>0)，
则f′(x)＝，
所以当00，函数f(x)单调递增；当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．
因为<2ln ，故选项B不正确；
因为e<4<5，
所以f(4)>f(5)，即5ln 4>4ln 5，
故选项C不正确；
因为e<π，
所以f(e)>f(π)，即π>eln π，故选项D正确．
(2)已知函数f(x)＝cos x＋ex＋e－x－x2，则关于x的不等式f(2x－1)|2x－1|，解得－－有解，
又当x∈[1,4]时， ＝－1(此时x＝1)，
min
所以a>－1，又因为a≠0，所以实数a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．
思维升华 由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立．
(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解
集．
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝－ex＋2x－x3，若f(3a2)＋f(2a－1)≥0，则实数a的取值范围
是________．
答案 －1≤a≤
解析 由题意得f′(x)＝－－ex＋2－x2＝－＋2－x2，
因为ex＋≥2＝2，当且仅当x＝0时等号成立，所以f′(x)≤0，所以函数f(x)在R上单调递减，
又f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数，
所以f(3a2)＋f(2a－1)≥0⇒f(3a2)≥－f(2a－1)＝f(1－2a)，
即3a2≤1－2a，解得－1≤a≤.
(2)已知函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋2)上不单调，则实数t的取值范围是________．
答案 [0,1)
解析 由题意，f′(x)＝－x－3＋＝－，x∈(0，＋∞)，
当f′(x)＝0时，有x2＋3x－4＝0，得x＝－4或x＝1，
∵f(x)在(t，t＋2)上不单调，且(t，t＋2)⊆(0，＋∞)，
∴解得t∈[0,1)．
课时精练
1．函数f(x)＝xln x＋1的单调递减区间是( )A. B.
C. D．(e，＋∞)
答案 C
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1＋ln x，
令f′(x)<0，得00，则f(x)单调递增；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，
所以只有D选项符合．
3．(2023·邯郸模拟)已知函数f(x)＝ln x，且a＝f ，b＝f ，c＝ ，则( )
A．a>b>c B．c>a>b
C．a>c>b D．c>b>a
答案 B
解析 由f(x)＝ln x，
得f′(x)＝ln x＋，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
因为c＝f ，
0<<<<1，
所以f >f >f ，故c>a>b.
4．已知a∈R，则“a≤2”是“f(x)＝ln x＋x2－ax在(0，＋∞)上单调递增”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 因为f(x)＝ln x＋x2－ax在(0，＋∞)上单调递增，
则f′(x)＝＋2x－a≥0对任意的x>0恒成立，即a≤2x＋，
当x>0时，由基本不等式可得2x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立，
所以a≤2.
因为{a|a≤2}{a|a≤2}，
因此，“a≤2”是“f(x)＝ln x＋x2－ax在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．
5．(多选)(2023·深圳模拟)若0ln B． － x D．x 0，
故f(x)在区间(0,1)上单调递增，
因为0ln ，
所以A正确，B错误；
令f(x)＝且x∈(0,1)，
则f′(x)＝<0，
故f(x)在区间(0,1)上单调递减，
因为0f(x)，
1 2即 > ，
故x >x ，
2 1
所以C正确，D错误．
6．(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x ，x(x≠x)都有>0，则称函数y＝f(x)为
1 2 1 2
“F函数”．下列函数不是“F函数”的是( )
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x2
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x
答案 ACD
解析 依题意，函数g(x)＝xf(x)为定义域上的增函数．
对于A，g(x)＝xex，g′(x)＝(x＋1)ex，
当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0，
∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”；
对于B，g(x)＝x3在R上单调递增，故B中函数为“F函数”；
对于C，g(x)＝xln x，g′(x)＝1＋ln x，x>0，
当x∈时，g′(x)<0，
∴g(x)在上单调递减，
故C中函数不是“F函数”；
对于D，g(x)＝xsin x，g′(x)＝sin x＋xcos x，
当x∈时，g′(x)<0，
∴g(x)在上单调递减，
故D中函数不是“F函数”．
7．函数f(x)＝e－xcos x(x∈(0，π))的单调递增区间为________．
答案
解析 f′(x)＝－e－xcos x－e－xsin x＝－e－x(cos x＋sin x)＝－e－xsin，
当x∈时，e－x>0，sin>0，则f′(x)<0；
当x∈时，e－x>0，sin<0，则f′(x)>0，
∴f(x)在(0，π)上的单调递增区间为.
8．已知函数f(x)＝－2x2＋ln x(a>0)，若函数f(x)在[1,2]上不单调，则实数a的取值范围是
________．
答案 0，所以00时，令f′(x)＝0，得x＝－ln a，
当x<－ln a时，f′(x)<0，当x>－ln a时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，
在(－ln a，＋∞)上单调递增，
综上，当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
当a>0时， f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
10．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex，x∈R.
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，f′(x)＝－(x2－2)ex，
令f′(x)>0，即x2－2<0，解得－0，
∴y＝x＋1－在(－1,1)上单调递增，∴y<1＋1－＝，
∴a≥，
∴a的取值范围是.
11．(多选)已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)－x，则下列说法正确的是( )
A．f(ln 2)＝ln B．f(x)是奇函数
C．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 D．f(x)的最小值为ln 2
答案 ACD
解析 f(ln 2)＝ln(e2ln 2＋1)－ln 2＝ln 5－ln 2＝ln ，A正确；
f(x)＝ln(e2x＋1)－x＝ln(ex＋e－x)定义域为R，其中f(－x)＝ln(e－x＋ex)＝f(x)，故f(x)是偶函数，
B错误；
f′(x)＝，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，C正确；
根据f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)是偶函数，可得f(x)在(－∞，0)上单调递减，故f(x)
的最小值为f(0)＝ln 2，D正确．
12．已知函数f(x)＝ex－e－x＋sin x＋1，实数a，b满足不等式f(3a＋b)＋f(a－1)<2，则下列不
等式成立的是( )
A．2a＋b<－1 B．2a＋b>－1
C．4a＋b<1 D．4a＋b>1
答案 C
解析 设g(x)＝ex－e－x＋sin x，则g(x)＝f(x)－1，
f(3a＋b)＋f(a－1)<2，即g(3a＋b)＋g(a－1)<0，
∵g(－x)＝e－x－ex－sin x＝－g(x)，∴函数g(x)是奇函数，
∵g′(x)＝ex＋e－x＋cos x≥2＋cos x＝2＋cos x>0，
∴g(x)是增函数，
∵g(3a＋b)＋g(a－1)<0，∴g(3a＋b)<－g(a－1)＝g(1－a)，
则3a＋b<1－a，即4a＋b<1.
13．(多选)(2023·杭州模拟)已知f(x)＝(a2－1)ex－1－x2，若不等式f >f 在(1，＋∞)上恒成立，
则a的值可以为( )
A．－ B．－1 C．1 D.
答案 AD
解析 设y＝x－1－ln x(x>1)，
则y′＝1－>0，∴y＝x－1－ln x在(1，＋∞)上单调递增，
∴x－1－ln x>0，
∴ln x>0.
又f >f 在(1，＋∞)上恒成立，
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴f′(x)＝(a2－1)ex－1－x≥0对∀x∈(1，＋∞)恒成立，
即a2－1≥在x∈(1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝，x∈(1，＋∞)，g′(x)＝，
当x>1时，g′(x)<0，
故g(x)1，x>0，x>1，
1 2
设f(x)＝xlog x(x>1)，则f′(x)＝log x＋>0，
2 2
即f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以 ＝x，
2
所以xx＝x· ＝2 024.
1 2 1
