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专题 3.3 导数与函数的单调性-重难点题型精讲
1．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
f′(x)>0 f (x)在(a，b)内单调递增
函数y＝f (x)在区
f′(x)<0 f (x)在(a，b)内单调递减
间(a，b)上可导
f′(x)＝0 f (x)在(a，b)内是常数函数
2．函数值变化快慢与导数的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，
函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这
个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些.
常见的对应情况如下表所示.【题型1 不含参函数的单调性】
【方法点拨】
确定不含参函数的单调性、单调区间的步骤：
(1)确定函数f (x)的定义域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为
单调递减区间；
(4)由此可得出函数f (x)的单调性；
【例1】（2022•扬州开学）下列函数中，在（1，+∞）上为增函数的是（ ）
4
A．y＝x3﹣3x B．y＝lnx﹣x C．y＝x+ D．y＝x2﹣3x+1
x
1
【变式1-1】（2022春•湖北期末）函数f（x）=− x2﹣lnx的递减区间为（ ）
2
A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（0，+∞）
6
【变式1-2】（2022春•长寿区期末）函数f(x)=x− −5lnx的单调递减区间为（ ）
x
A．（0，2） B．（2，3） C．（1，3） D．（3，+∞）
【变式1-3】（2022春•吉林期末）函数f（x）＝﹣lnx+x的递增区间是（ ）
A．（﹣∞，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，0）和（1，+∞）
C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）
【题型2 含参函数的单调性】
【方法点拨】
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
【例2】（2022春•巴宜区校级期末）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+b．
（1）若函数f（x）在x＝1处取得极小值﹣4，求实数a，b的值；
（2）讨论f（x）的单调性．
【变式2-1】（2022春•满洲里市校级期末）已知函数f（x）＝x2﹣（a+2）x+alnx（a R）．
（1）a＝﹣2，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程； ∈（2）讨论函数f（x）的单调性．
【变式2-2】（2022春•蓝田县期末）已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a≠0）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a＝﹣1时，证明：在（1，+∞）上，f（x）+2＞0．
【变式2-3】（2022春•南沙区期末）已知函数f（x）＝2lnx﹣ax2﹣2（a﹣1）x+1（a R）．
（1）求函数f（x）的单调区间； ∈
（2）若函数f（x）有两个不同的零点x ，x ，求实数a的取值范围．
1 2
【题型3 利用函数的单调性比较大小】
【方法点拨】
根据题目条件，构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性来比较大小，即可得解.
1
【例 3】（2022 春•眉山期末）已知实数 x，y，z 满足 eylnx﹣yex＝0，zex−exln =0，若 y＞1，则
x
（ ）
A．x＞y＞z B．y＞x＞z C．y＞z＞x D．x＞z＞y
【变式3-1】（2022春•绍兴期末）已知a＝e0.2﹣1，b＝ln1.2，c＝tan0.2，其中e＝2.71828⋯为自然对数的
底数，则（ ）
A．c＞a＞b B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c
【变式3-2】（2022春•渭南期末）已知函数f（x）＝sinx+cosx﹣2x，a＝f（﹣ ），b＝f（20），c＝f
（ln2），则a，b，c的大小关系是（ ） πA．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．c＞b＞a
【变式3-3】（2022•山东开学）已知0＜a＜4，0＜b＜2，0＜c＜3，且16lna＝a2ln4，4lnb＝b2ln2，9lnc＝
c2ln3，则（ ）
A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞c＞a
【题型4 利用函数的单调性解不等式】
【方法点拨】
要充分挖掘条件关系，恰当构造函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而转化求
解不等式.
【例4】（2021秋•重庆月考）已知f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），且f'（x）﹣2f
1
（x）＞0，f（ ）＝e（e为自然对数的底数），则关于x的不等式f（lnx）＜x2的解集为（ ）
2
e 1 e e
A．（0， ） B．（0，√e） C．（ ， ） D．（ ，√e）
2 e 2 2
【变式4-1】（2022春•新邵县期末）设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，
f'（x）g（x）﹣f（x）g'（x）＞0，且f（2）＝0，则不等式f（x）g（x）＞0的解集是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B．（﹣2，0）∪（0，2）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（2，+∞）
【变式4-2】（2022春•辽宁月考）已知函数f（x）在R上存在导函数f'（x），对 R满足f（x）+f（﹣
x
x）＝2x2，在x （0，+∞）上，f'（x）＜2x若f（2﹣m）﹣f（m）≥4﹣4m，实∀ ∈数m的取值范围是（
） ∈
A．[﹣1，1] B．（﹣∞，1]
C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
【变式4-3】（2022春•赣州期末）已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f'（x）．若f（x）＝﹣f
1
（﹣x）﹣cosx，且当 x≤0 时，f '(x)− sinx＞0，则不等式 f（ ﹣x）＞f（x）+cosx 的解集为
2
π
（ ）
π π
A．(−∞， ) B．（ ，+∞） C．（﹣∞， ） D．（ ，+∞）
2 2
π π
【题型5 函数单调性与导函数图象的关系】
【例5】（2022•赫山区校级开学）如图所示是函数f（x）的导函数f′（x）的图象，则下列判断中正确的
是（ ）A．函数f（x）在区间（﹣3，0）上是减函数
B．函数f（x）在区间（﹣3，2）上是减函数
C．函数f（x）在区间（0，2）上是减函数
D．函数f（x）在区间（﹣3，2）上是单调函数
【变式5-1】（2022春•平顶山期末）已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，且f'（x）是f（x）的导函
数，则（ ）
A．f'（﹣1）＝f'（﹣2）＜0＜f'（1）＜f'（2）
B．0＞f'（2）＞f'（1）＞f'（﹣1）＝f'（﹣2）
C．f'（2）＜f'（1）＜0＜f'（﹣1）＝f'（﹣2）
D．f'（2）＜f'（1）＜0＜f'（﹣2）＜f'（﹣1）
【变式5-2】（2022春•莆田期末）定义在（﹣1，3）上的函数y＝f（x），其导函数y＝f'（x）图象如右图
所示，则y＝f（x）的单调递减区间是（ ）
A．（﹣1，0） B．（﹣1，1） C．（0，2） D．（2，3）
【变式5-3】（2022春•遵义期末）函数f（x）的导函数为f'（x）的图象如图所示，关于函数f（x），下列
说法不正确的是（ ）A．函数在（﹣1，1），（3，+∞）上单调递增
B．函数在（﹣∞，﹣1），（1，3）上单调递减
C．函数存在两个极值点
D．函数有最小值，但是无最大值
【题型6 根据函数的单调性求参数】
【方法点拨】
根据函数单调性求参数的一般思路：
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f (x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f (x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且在(a，b)内的任一非空子区间上，
f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
1 3π
【例6】（2022•安徽开学）已知函数f(x)=4cosx− mx3在[ ，2π]上单调递增，则实数m的取值
3 4
范围为（ ）
16√3 16√2
A．(−∞，− ] B．(−∞，− ]
9π 9π2
32√3 32√2
C．(−∞，− ] D．(−∞，− ]
9π 9π2
【变式6-1】（2022春•清远期末）已知函数f（x）＝alnx+2x在[1，+∞）上单调递增，则实数a的最小值
为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
1
【变式6-2】（2022春•中山市校级月考）设函数f(x)= x3−27lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实
3
数a的取值范围是（ ）
A．（1，2] B．[4，+∞） C．（﹣∞，2] D．（0，3]
【变式6-3】（2022春•道里区校级月考）若函数f（x）＝（x2﹣ax﹣a）ex在区间（﹣2，0）内单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．[1，+∞） B．[0，+∞） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]
