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专题3.2 导数的概念及运算-重难点题型精练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022春•辽宁月考）函数f（x）＝﹣x3+1在区间[﹣1，2]上的平均变化率为（ ）
A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3
【解题思路】根据平均变化率的定义化简即可求解．
【解答过程】解：函数f（x）＝﹣x3+1在区间[﹣1，2]上的平均变化率为
f(2)−f(−1) (−23+1)−[−(−1) 3+1] 3，
= =−
2−(−1) 3
故选：D．
2．（5分）（2022春•珠海期末）下列函数的求导正确的是（ ）
1 1
A．( )'= B．（sinx）′＝﹣cosx
x x2
1
C．(ln2x)'= D．（xex）′＝（1+x）ex
2x
【解题思路】根据求导公式，结合选项判断即可．
1 1
【解答过程】解：对于A，∵( )'=− ，故A错误，
x x2
对于B，∵（sinx）′＝cosx，故B错误，
1 1
对于C，∵(ln2x)'= ×2= ，故C错误，
2x x
对于D，∵（xex）′＝ex+xex＝（1+x）ex，故D正确．
故选：D．
3．（5分）（2022春•定远县校级月考）函数y＝f（x）在x＝x 处的导数f'（x ）的几何意义是（ ）
0 0
A．在点（x ，f（x ））处与y＝f（x）的图象只有一个交点的直线的斜率
0 0
B．过点（x ，f（x ））的切线的斜率
0 0
C．点（x ，f（x ））与点（0，0）的连线的斜率
0 0
D．函数y＝f（x）的图象在点（x ，f（x ））处的切线的斜率
0 0
【解题思路】根据题意，由导数的几何意义分析可得答案．
【解答过程】解：根据题意，函数y＝f（x）在x＝x 处的导数f'（x ）的几何意义是函数图象在点（x ，
0 0 0
f（x ））处的切线的斜率，
0故选：D．
π π
4．（5分）（2022春•成都期中）若函数f（x）＝2cosx，则f（x）在点（ ，f( )）处的切线的倾斜角
6 6
为（ ）
π 3π π 5π
A． B． C． D．
4 4 6 6
π π
【解题思路】利用导数的几何意义求出f（x）在点（ ，f( )）处的切线的斜率，进而求出倾斜角．
6 6
【解答过程】解：∵f（x）＝2cosx，∴f'（x）＝﹣2sinx，
π π π π
∴f（x）在点（ ，f( )）处的切线的斜率k＝f'（ ）＝﹣2sin =−1，
6 6 6 6
3π
∴倾斜角为 ，
4
故答案为：B．
5．（5分）（2022春•朝阳区校级期中）如图，函数y＝f（x）的图像在点P处的切线方程是y＝﹣x+9，则
f（5）+f′（5）＝（ ）
A．﹣2 B．3 C．2 D．﹣3
【解题思路】根据导数的几何意义以及图像得f（5），f'（5），即可求出结果．
【解答过程】解：由导数的几何意义可得，f'（5）＝﹣1，f（5）＝﹣5+9＝4，
∴f（5）+f′（5）＝4+（﹣1）＝3，
故选：B．
lim f(1)−f(1−2Δx)
6．（5分）（2022•上饶一模）设f（x）为可导函数，且 ，则曲线y＝f（x）
Δx→0 =−1
Δx
在点（1，f（1））处的切线斜率为（ ）
1
A．2 B．﹣1 C．1 D．−
2lim f(1)−f(1−2△x)
【解题思路】将已知关系式化为 2，由此即可求解．
△x→0 ×
2△x
lim f(1)−f(1−2Δx)
【解答过程】解：因为f（x）为可导函数，且 ，
Δx→0 =−1
Δx
lim f(1)−f(1−2△x)
则 2＝2f′（1）＝﹣1，
△x→0 ×
2△x
1
所以f′（1）=− ，即为曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率，
2
故选：D．
2x−m
7．（5分）（2021•舒城县校级模拟）若函数f（x）＝lnx+x与g(x)= 的图象有一条公共切线，且
x−1
该公共切线与直线y＝2x+1平行，则实数m＝（ ）
17 17 17 17
A． B． C． D．
8 6 4 2
【解题思路】分别求得f(x),g(x)的导数，可得切线的斜率和方程，结合两直线平行的条件，求得切线方
程，结合切点既在切线上，又在曲线上，解方程可得m的值．
【解答过程】解：设函数f（x）＝lnx+x图象上切点为（x ，y ），
0 0
1 1
因为f '(x)= +1，所以f '(x )= +1=2，得x ＝1，
x 0 x 0
0
所以y ＝f（x ）＝f（1）＝1，
0 0
所以切线方程为y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1，
2x−m
设函数g(x)= 的图象上的切点为（x ，y ）（x ≠1），
1 1 1
x−1
因为 2(x−1)−(2x−m) m−2 ，
g'(x)= =
(x−1) 2 (x−1) 2
所以 m−2 ，即 ，
g'(x )= =2 m=2x2−4x +4
1 (x −1) 2 1 1
1
又y ＝2x ﹣1＝g（x ） 2x −m，
1 1 1 = 1
x −1
1即 ，
m=−2x2+5x −1
1 1
5
所以2x2−4x +4=−2x2+5x −1，即4x2−9x +5=0，解得x = 或x ＝1（舍），
1 1 1 1 1 1 1 4 1
5 5 17
所以m=2×( ) 2−4× +4= ．
4 4 8
故选：A．
8．（5分）（2021秋•祁东县校级月考）设x R，函数f（x）＝ex+ae﹣x的导函数y＝f′（x）是奇函数，
∈
3
若曲线y＝f（x）的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ）
2
ln2 ln2
A． B．− C．ln 2 D．﹣ln 2
3 2
【解题思路】对函数求导，先有导函数为奇函数可求a，利用导数的几何意义设切点，表示切线的斜率，
解方程可得．
a
【解答过程】解：由题意可得，f′（x）＝ex− 是奇函数，
ex
∴f′（0）＝1﹣a＝0
1 1
∴a＝1，f（x）＝ex+ ，f′（x）＝ex− ，
ex ex
3
∵曲线y＝f（x）在（x，y）的一条切线的斜率是 ，
2
3 1
∴ =ex− ，
2 ex
解方程可得ex＝2，
∴x＝ln2．
故选：C．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022春•道里区校级月考）下列求导运算正确的是（ ）
A．若f（x）＝sin（2x+4），则f'（x）＝﹣2cos（2x+4）
B．若f（x）＝e﹣2x+1，则f'（x）＝e﹣2x+1
x 1−x
C．若f(x)= ，则f '(x)=
ex ex
D．若f（x）＝xlnx，则f'（x）＝lnx+1【解题思路】由已知结合函数的求导公式及复合函数的求导法则分别检验各选项即可判断．
【解答过程】解：若f（x）＝sin（2x+4），则f'（x）＝2cos（2x+4），A错误；
若f（x）＝e﹣2x+1，则f'（x）＝﹣2e﹣2x+1，B错误；
若 x ，则f′（x） ex−xex 1−x，C正确；
f(x)= = =
ex (ex
)
2 ex
若f（x）＝xlnx，则f'（x）＝lnx+1，D正确．
故选：CD．
10．（5分）（2022春•浙江月考）下列说法正确的是（ ）
A．已知函数f（x）＝x3+2x，则该函数在区间[1，3]上的平均变化率为30
B．已知A（x ，y ），B（x ，y ）在函数y＝f（x）图像上，若函数f（x）从x 到x 平均变化率为√3，
1 1 2 2 1 2
π
则曲线y＝f（x）的割线AB的倾斜角为
3
C．已知直线运动的汽车速度V与时间t的关系是V＝2t2﹣1，则t＝2时瞬时加速度为7
D．已知函数f(x)=√x，则f（9.05）≈3.008
【解题思路】对于AB，结合平均变化率的定义，即可求解，
对于C，结合导数的几何意义，即可求解，
对于D，将x＝9.05代入f（x），即可求解．
【解答过程】解：对于A，f（3）＝33，f（1）＝3，
f(3)−f(1) 33−3
则该函数在区间[1，3]上的平均变化率为 = =15，故A错误，
3−1 3−1
对于B，函数f（x）从x 到x 平均变化率为√3，
1 2
π
曲线y＝f（x）的割线AB的斜率为√3，即曲线y＝f（x）的割线AB的倾斜角为 ，故B正确，
3
对于C，直线运动的汽车速度V与时间t的关系是V＝2t2﹣1，
则V'（t）＝4t，
所以V'（2）＝8，故C错误，
对于D，函数f(x)=√x，则f（9.05）≈3.008，故D正确．
故选：BD．
11．（5分）（2022春•石家庄期末）若两曲线y＝x2﹣1与y＝alnx﹣1存在公切线，则正实数a的取值可能
是（ ）
A．1.2 B．4 C．5.6 D．2e【解题思路】设公切线与两曲线的切点，利用导数求得过切点的切线方程，再由斜率相等、直线在 y轴
上的截距相等列式，可得 ，令g（x）＝﹣4x2（lnx﹣1）（x＞0），再由导数求最值
a=−4x2 (lnx −1)
2 2
得答案．
【解答过程】解：切线与两曲线y＝x2﹣1与y＝alnx﹣1的切点分别为A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
a
由y＝x2﹣1，得y′＝2x，由y＝alnx﹣1，得y′= ，
x
a
则两切线方程分别为y−(x2−1)=2x (x−x )与y−(alnx −1)= (x−x )，
1 1 1 2 x 2
2
a
化简得y=2x x−1−x2，y= x+alnx −a−1，
1 1 x2 2
{ 2x = a
又两条切线为同一条，可得 1 x ，得 a=−4x2 (lnx −1) ，
2 2 2
alnx −a=−x 2
2 1
令g（x）＝﹣4x2（lnx﹣1）（x＞0），得g'（x）＝4x（1﹣2lnx），
当x (0，√e)时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈ 时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，∴ ，
(√e，+∞) g(x) =g(√e)=2e
max
∈
∴a （0，2e]．
结合∈选项可得，正实数a的取值可能是ABD．
故选：ABD．
12．（5分）（2022春•佛山期末）设函数f（x）＝xex+a+bx，曲线y＝f（x）在点（﹣2，f（﹣2））处的切
线方程为y＝（e﹣1）x﹣4，则（ ）
A．f（﹣2）＝﹣2e﹣2 B．a＝2
C．a＝3 D．f（x）在R上单调递增
【解题思路】求出函数f（x）的导函数，得到函数在点（﹣2，f（﹣2））处的切线方程，结合题意可
得a与b的值，得到函数解析式，然后逐一分析四个选项得答案．
【解答过程】解：由f（x）＝xex+a+bx，得f′（x）＝ex+a+xex+a+b，
∵曲线y＝f（x）在点（﹣2，f（﹣2））处的切线方程为y＝（e﹣1）x﹣4，
∴f′（﹣2）＝ea﹣2﹣2ea﹣2+b＝e﹣1，且﹣2（e﹣1）﹣4＝﹣2ea﹣2﹣2b，
解得a＝2，b＝e，
∴f（x）＝xex+2+ex，则f（﹣2）＝﹣2e0﹣2e＝﹣2e﹣2，f′（x）＝e2﹣x﹣xe2﹣x+e＝（1﹣x+ex﹣1）e2﹣x，
令h（x）＝1﹣x+ex﹣1，则h′（x）＝﹣1+ex﹣1，
可得当x （﹣∞，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x （1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）
单调递增∈， ∈
∴h（x）≥h（1）＝1＞0，可得f′（x）＞0，
则f（x）在R上单调递增，
综上可知，ABD正确．
故选：ABD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022春•福安市校级月考）已知函数f（x）＝f'（1）x2﹣ex，则f'（1）= e ．
【解题思路】利用函数求导公式可解．
【解答过程】解：∵函数f（x）＝f'（1）x2﹣ex，
∴f′（x）＝2f′（1）x﹣ex，
故f′（1）＝2f′（1）﹣e，得f′（1）＝e．
故答案为：e．
14．（5分）（2022•宛城区校级三模）曲线y＝x3+m（x＜0）在点A处的切线方程为y＝3x+2m﹣2，则切
点A的坐标为 （﹣ 1 ， 3 ） ．
【解题思路】设出A的坐标，求解函数的导数，利用切线的斜率，结合切点在曲线以及切线上，转化求
解即可．
【解答过程】解：设点A（a，b），a＜0，y＝x3+m（x＜0）可得y′＝3x2，
曲线y＝x3+m（x＜0）在点A处的切线方程为y＝3x+2m﹣2，
所以3a2＝3，解得a＝﹣1，
所以﹣1+m＝﹣5+2m，解得m＝4，
所以b＝3，
切点A的坐标为（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
15．（5分）（2022•遵义开学）已知函数f（x）＝x2e2x﹣2，则曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与坐标轴围
9
成的三角形的面积为 ．
8
【解题思路】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程、三角形面积公式进行求解即可．
【解答过程】解：由题意可得f′（x）＝（2x2+2x）e2x﹣2，则曲线y＝f（x）在x＝1处的切线斜率为4，切点为（1，1），
故切线方程为y﹣1＝4（x﹣1），即y＝4x﹣3．
3
令x＝0，得y＝﹣3；令y＝0，得x= ．
4
3
则该切线与坐标轴分别交于点（0，﹣3），（ ，0），
4
1 3 9
故该切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ×3× = ．
2 4 8
9
故答案为： ．
8
16．（5分）（2022•安徽模拟）若直线l：y＝kx+b是曲线y＝ex的切线，切点为M（x ，y ），也是曲线y
1 1
＝（x+1）2的切线，切点为N（x ，y ），则2x ﹣x ＝ 1 ．
2 2 1 2
【解题思路】分别求得y＝ex，y＝2（x+1）2的导数，可得切线的斜率，由切点既在切线上又在曲线上，
可得x ，x 的方程，化简可得所求值．
1 2
【解答过程】解：y＝ex的导数为y′＝ex，y＝（x+1）2的导数为y′＝2（x+1），
则k＝ex1＝2（x +1），y ＝kx +b＝ex1，y ＝kx +b＝（x +1）2，
2 1 1 2 2 2
即有ex1﹣kx ＝ex1（1﹣x ）＝（x +1）2﹣2x （x +1），
1 1 2 2 2
化为2（x +1）（1﹣x ）＝（x +1）2﹣2x （x +1），x +1＞0，
2 1 2 2 2 2
即有2（1﹣x ）＝x +1﹣2x ，
1 2 2
即有2x ﹣x ＝1．
1 2
故答案为：1．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022春•海淀区校级月考）求下列函数的导数：
（1）y＝（2x2﹣1）（3x+1）；
3−2x
（2）y= ；
x2+1
（3）y＝excosx．
【解题思路】根据导数的公式即可得到结论．
【解答过程】解：（1）∵y＝（2x2﹣1）（3x+1）；
∴y′＝4x（3x+1）+3（2x2﹣1）＝18x2+4x﹣3；
3−2x
（2）∵y= ；
x2+1∴y′
−2(x2+1)−(3−2x)⋅2x 2x2−6x−2；
= =
(x2+1) 2 (x2+1) 2
（3）∵y＝excosx，
∴y′＝excosx﹣exsinx．
1
18．（12分）（2021春•嘉兴校级期中）已知曲线y= 上一点P（1，1），用导数的定义求在点P处的
x2
切线的斜率．
lim △y
【解题思路】本题根据题意进行分析，从 1到1+△x时，曲线的增量为△y，则根据 的意义
△x→0
△x
即可求得答案．
【 解 答 过 程 】 解 ：
1
lim △y
△
l
x
i
→
m
0 (1+△x) 2
−1 lim 1−(1+△x) 2 lim −△x2−2△x lim −△x−2
△x→0 = =△x→0 =△x→0 =△x→0 =−
△x △x △x(1+△x) 2 △x(1+△x) 2 (1+△x) 2
2.
19．（12分）（2021春•石首市校级月考）已知曲线S：y＝2x﹣x3．
（1）求曲线S在点A（1，1）处的切线方程；
（2）求过点B（2，0）并与曲线S相切的直线方程．
【解题思路】（1）先对函数进行求导，根据导函数在点A处的值为切线方程的斜率可得答案．
（2）先设切点坐标，然后得出斜率的表达式求出斜率，最后根据直线的点斜式方程可得答案．
【解答过程】解：（1）∵y＝2x﹣x3∴y'＝﹣3x2+2
当x＝1时，y'＝﹣1
∴点A（1，1）处的切线方程为：y﹣1＝（﹣1）（x﹣1）即：x+y﹣2＝0
（2）设切点坐标为（m，2m﹣m3）
2m−m3
则直线斜率k= ，
m−2
而y'＝2﹣3m2，
整理得到：m3﹣3m2+2＝0
m3﹣m2﹣2（m2﹣1）＝0m2（m﹣1）﹣2（m+1）（m﹣1）＝0
（m﹣1）（m2﹣2m﹣2）＝0
解得m ＝1，m ＝1+√3，m ＝1−√3
1 2 3
当m＝1时：k＝2﹣3m2＝﹣1，直线方程为y＝﹣（x﹣2）＝2﹣x；
当m＝1+√3时，k＝2﹣3m2＝﹣10﹣6√3，直线方程为y＝（﹣10﹣6√3）（x﹣2），
当m＝1−√3时，k＝2﹣3m2＝﹣10+6√3，直线方程为y＝（﹣10+6√3）（x﹣2）.
20．（12分）（2022•衡阳县校级二模）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝2x2．
（Ⅰ）求x＜0时，f（x）的表达式；
（Ⅱ）令g（x）＝lnx，问是否存在x ，使得f（x），g（x）在x＝x 处的切线互相平行？若存在，请求
0 0
出x 值；若不存在，请说明理由．
0
【解题思路】（Ⅰ）先取x＜0，﹣x＞0，再由奇函数的性质f（x）＝﹣f（﹣x）及x≥0时，f（x）＝
2x2．求出解析式即可
（Ⅱ）求出两个函数的导数，令f'（x ）＝g'（x ），若此方程有根，则说明存在，否则说明不存在
0 0
【解答过程】解：（Ⅰ）当x＜0时，﹣x＞0，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣2（﹣x）2＝﹣2x2；
（Ⅱ）若f（x），g（x）在x 处的切线互相平行，则f'（x ）＝g'（x ），
0 0 0
1 1
f '(x )=4x =g'(x )= ，解得，x =± ，
0 0 0 x 0 2
0
1
∵x≥0，得x = .
0 2
21．（12分）（2021•秦州区校级一模）已知函数f（x）＝2x3﹣3（a﹣1）x2+4x+6a（a R），g（x）＝
4x+6． ∈
（1）若函数y＝f（x）的切线斜率的最小值为1，求实数a的值；
（2）若两个函数图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）先求函数的导数，利用二次函数的最小值的为1，解方程即可求得实数a的值；
（2）将题中条件：“两个函数图象有且只有一个公共点，”等价于“h（x）＝f（x）﹣g（x）＝2x3﹣3
（a﹣1）x2+6（a﹣1）图象与x轴只有一个交点”，利用导数求得函数的极值，最后要使h（x）＝f
（x）﹣g（x）＝2x3﹣3（a﹣1）x2+6（a﹣1）图象与x轴只有一个交点，得到关于a的不等关系，从而
求实数a的取值范围．
【解答过程】解：（1）f（x）＝2x3﹣3（a﹣1）x2+4x+6a，求导得
4×6×4−36(a−1) 2 3
f′（x）＝6x2﹣6（a﹣1）x+4≥ =4− (a−1) 2=1，
4×6 2∴a＝1±√2，
（2）∵g（x）＝4x+6的图象是一条直线，
因此两个函数图象有且只有一个公共点的个数取决于方程f（x）＝g（x）的解的个数，
所以只需研究函数h（x）＝f（x）﹣g（x）＝2x3﹣3（a﹣1）x2+6（a﹣1）图象与x轴关系．
h′（x）＝6x2﹣6（a﹣1）x＝6x[x﹣（a﹣1）]，
①当a＝1时，h′（x）＝6x2≥0，h（x）在R上单调递增，则h（x）与x轴只有一个交点；
②当a≠1时，h′（x）＝0有两根x ＝0，x ＝a﹣1，
1 2
而h（x ）＝6（a﹣1），h（x ）＝（a﹣1）[6﹣（a﹣1）2]，
1 2
∵h（x）与x轴只有一个交点，则需h（x ）h（x ）＞0，
1 2
∴6（a﹣1）（a﹣1）[6﹣（a﹣1）2]＞0，解得1−√6＜a＜1+√6且a≠1，
由①②可知实数a的取值范围为（1−√6，1+√6）．
22．（12分）（2021秋•湖南期末）已知函数f（x）＝ex﹣2，g（x）＝ex+1﹣1．
（1）O是坐标原点，f（x）的图象在x＝2处的切线与x，y轴分别交于A，B两点，求△OAB面积；
（2）若直线y＝kx+b是曲线y＝f（x）与y＝g（x）的公切线，求k，b的值．
【解题思路】（1）由题意，求出切线方程及A，B点的坐标，再求三角形的面积即可，
（2）求出y＝f（x）与y＝g（x）的公切线，再求k，b的值即可．
【解答过程】解：（1）∵f（x）＝ex﹣2，∴f′（x）＝ex﹣2，
∴f′（2）＝1，f（2）＝1，
∴在x＝2处的切线方程为y＝x﹣1，
故A（1，0），B（0，﹣1），
1 1
则S△AOB = ×1×1= ，
2 2
（2）解：设直线y＝kx+b与f（x）的图象相切于点P （x ，y ），与g（x）的图象相切于点P （x ，
1 1 1 2 2
y ），又g′（x）＝ex+1，则 ．
2 y =ex 1 −2，y =ex 2 +1−1
1 2
由点P （x ，y ）在切线上，得 ；
1 1 1 y−ex 1 −2=ex 1 −2 (x−x )
1
由点P （x ，y ）在切线上，得 ．
2 2 2 y−ex 2 +1+1=ex 2 +1 (x−x )
2
故 { ex 1 −2=ex 2 +1 ，
ex 1 −2 (1−x )=ex 2 +1 (1−x )−1，解得x =−ln3−1.
1 2 21 ln3 1
故k=e−ln3= ，b= − ．
3 3 3
