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6.3 利用递推公式求通项（精练）
1．（2023·全国·高三专题练习）数列 中， ， （ 为正整数），则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列 满足 , ,则（ ）
A． B．
C．数列 为递增数列 D．数列 为递减数列
【答案】BC
【解析】因为数列 满足， ， ，
则当 时， ， ，……， ，
所有的式子相乘得 ，即 ，当 时也符合通项，
故 ，数列 为递增数列，故选：BC
3．（2023·高三课时练习）在数列 中，若 ， ，则 的通项公式为______．
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由题意知 ，故 ，
故 ，
故答案为：
4．（2023广东）已知数列 满足 ．求数列 的通项公式 ；
【答案】
【解析】 数列 满足 ， ，
，
且 ，所以当n=1时成立.所以 .
5．（2023·福建）已知正项数列 满足 .求 的通项公式
；
【答案】
【解析】由 可得： ，
因为 为正项数列，所以 ，
所以 ，则 ，……， ，
将这 个式子相乘，则 ，
又因为 ，所以
6．（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列 满足 ， ．求 的通项公式
；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【解析】由 及 ，得 ，所以 ，
当 时，有
．
当 时， ，符合上式，所以 ．
7．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》
中，后人称为“三角垛”.已知一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有
10个，则第30层小球的个数为
【答案】465
【解析】设三角垛第 层小球的个数为 .
由题意可知， ， ， ， ，
所以，当 时，有 .
所以，
，
，
，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
两边同时相加可得， ，
所以， .
当 时， ，满足题意.
所以， .
所以， .
8．（2023春·广东佛山）已知 是数列 的前 项和， ， ，则 的通项公式为
【答案】
【解析】由 得 ，
两式相减得: ,
即 ，即 ，即 ， .
所以 ， ， ，…， .
相乘得： … … ，
即 ，因为 ，所以 ， .
当 时， ，所以 .
9．（2023·全国·高三专题练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将
《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一
个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺
序排成一列，构成数列 ，则
【答案】107
【解析】∵ 能被3除余2且被7除余2，∴ 既是3的倍数，又是7的倍数，
即是21的倍数，且 ，∴ ，即 ，∴ ．
10．（2023春·黑龙江双鸭山·）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新
的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等
差数列．现有一高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第100项为
_______.
【答案】4951
【解析】设该高阶等差数列为 ，由其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，
得 ， ， ， ， ， ，
所以 ，
即 .
即该数列的第100项为 .
故答案为： .
11．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知数列 的各项均不为零，且满足 ，
（ ， ），则 的通项公式 __________．
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】 ，则 ，
设 ， ，则 ，
，
而 也符合该式，故 ，故 .
故答案为：
12．（2023·河南新乡·统考三模）已知数列 满足 ， ，则 的最小值为__________．
【答案】6
【解析】由 得，
当 时， ， ，…， ，
将这 个式子累加得 ，
则 ， 时也适合，
所以 ，当且仅当 时，等号成立.
故答案为：6.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则数列 的通项公式为
___________.
【答案】
【解析】等式两侧同除 ，得 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，所以 ，
则 ， ， ，……， ，
累加得： ，而 ，故 ，
即 ，整理得 .
故答案为：
14．（2023·全国·高三专题练习）记数列 的前n项和为 ，已知 ， ，则 ______
【答案】
【解析】由已知可得， .当 时， ，所以 ；
当 时，有 ， ，两式相减得， ，所以 .所以有 ，
， ， ， ，
两边同时相乘可得， ，
整理可得， .
当 时， ，满足该式， ，满足该式，故 .故答案为： .
15．（2023·山东泰安·统考模拟预测）数列 的前 项和为 ，满足 ，且 ，则
的通项公式是______．
【答案】
【解析】 ， ，且 ，
， 是以 为首项， 为公比的等比数列．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ．
时， ，
且 不满足上式，所以 ．
故答案为： .
16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， 且 ，则数列 的通项
公式为_____________.
【答案】
【解析】∵ ，等式两侧同除 ，可得 ，
令 ，则 ，
∴ ，又 ，
∴ 是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴ ，即 ，
∴ ，即 .
故答案为： .
17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ，则数列 的通项公式为
_____________.
【答案】
【解析】因为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ，即 ，
根据对应项系数相等则 ，解得 ，故 ，
所以 是 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，即 .
故答案为：
18．（2023·全国·高三对口高考）已知数列 的前n项和为 ，数列 满足 ，
．则数列 的通项公式 ________；数列 的通项公式 ________．
【答案】
【解析】因为 ①，所以有 ， ②，
得 ，即 ，
所以数列 的通项公式为 ；
由 可得 ，
上述式子相加可得 ，
经检验 满足 所以数列 的通项公式
故答案为： ；
19．（2023春·河南平顶山）已知数列 的前n项和为 ，且满足 .则数列 的通项公式
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】为________， 的最大值为________.
【答案】 /0.4
【解析】空①,由 可得 ，
当 时， ，则 ，
有 ，有 ，即 .
可得数列 成等比数列，有 ，可得 .
空②,记 ，有 ，
可得 ，当 时， ，
有 .
故答案为： ； .
20．（2023·江苏）已知正项数列 满足 ， .求 的通项公式 ；
【答案】
【解析】对任意的 ，因为 ，
当 时，
，
因为 ，故 .当 时， 符合 ，
所以 ， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】21．（2023春·广东佛山·高二顺德市李兆基中学校考阶段练习）已知数列 的前 项和为
.求数列 的通项公式 ；
【答案】
【解析】因为 ，显然 ，所以 ，
当 时，由累乘法得 ，
则 ，又 ，所以 ，
所以当 时， ， 时， 也符合，
所以 .
22．（2023春·云南临沧·高二云南省凤庆县第一中学校考期中）设数列 的前 项和为 ，且
.求 =
【答案】
【解析】由 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，
所以 ，
整理得： ，①所以有 ，②
①-②可得 ，所以 为等差数列，
因为 ，所以公差为 ，所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】23．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，求 的通项公式 ．
【答案】 ．
【解析】 ， ，则 ，
则 ，
，所以 是以2为首项，2为公比的等比数列．
于是 ， ．
24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足： 求 .
【答案】
【解析】因为
所以两边同时加上 得： ，
所以 ， ，
当 时， 所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
于是
25．（2023春·江西南昌）已知数列 中， ，且 .
(1)求 ，并证明 是等比数列；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)求 的通项公式.
【答案】(1) ，证明见解析；(2)
【解析】（1）由 ， ，
得 ，
， ，
∴ ，
是首项为1，公比为2的等比数列；
（2）由（1）知 .
74．（2021秋·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）数列 的前 项和为 ，已知
.
(1) 时，写出 与 之间的递推关系；
(2)求 的通项公式.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）因为 ①，
所以当 时， ②，
得： ，即 ，
在①中：令 得 ，也符合上式，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 .
（2）因为 ，则 ，且
所以数列 是以4为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，故 .
1．（2023·江苏镇江）（多选）已知数列 满足 ，则下列结论正确的有（ ）
A． 为等比数列 B． 的通项公式为
C． 为递增数列 D． 的前n项和
【答案】ABD
【解析】因为 ，所以 +3，所以 ，
又因为 ，所以数列 是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；
，即 ，故B正确；
因为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 为递减数列，故C错误；
，则 ，故D正确.故选：ABD.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则数列 的通
项公式为_____________.
【答案】
【解析】∵ ，则
当 时，则 ，解得 ；
当 时，等式两侧同除 ，可得 ，
则 ，
令 ，则 ， ，
利用叠加法可得： ， ， ，
叠加得 ，即 ，
所以 ，
即 ，可得 ；
综上所述： .
故答案为： .
3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ， ，
，求
【答案】
【解析】因为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 .
4．（2023春·湖南岳阳·高二校联考阶段练习）若数列 的前 项和为 ，且满足
(1)求 的值；
(2)求数列 的通项公式．
【答案】(1) ， ；(2) .
【解析】（1）由已知可得
．
故 ， .
（2）由题得
当 时, ，
上面两式相减得
整理得： ，于是当 时
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】相减得
由（1），此关系式对于 也成立
所以 ．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}的前n项和为 ， ， ，求{an}的通项.
【答案】
【解析】∵ ……①
∴ ……②
②-①得：
……③
∵{a}的特征函数为： ，
由 x=1.
设 ， ……④
将④代入③得：
，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ .
6．（2023·安徽）已知数列 中， ，求 的通项公式 ．
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】 化为 ，即 ，
，可得 或 ，（所得两组数值代入上式等价），
不妨令 ， ，
所以 是以1为首项， 为公比的等比数列，则 ，
累加法可得： ，
又 符合上式，故 .
7．（2023·黑龙江）已知数列的递推公式 ，且首项 ，求数列 的通项公式．
【答案】
【解析】令 ．先求出数列的不动点 ，解得 ．
将不动点 代入递推公式，得 ，
整理得 ， ，
∴ ．
令 ，则 ， ．
∴数列 是以 为首项，以1为公差的等差数列．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ 的通项公式为 ．
将 代入，得 ．
∴ ．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ， ，求 =
【答案】 = ． + ．
【解析】法1：已知 ，所以 ，
则 是首项为 ，公比为3的等比数列，
故 ，则 ，
得，
当n为奇数时， ， ， ， ， ，
累加可得， ，
所以 ，
当n为偶数时， ，
综上， ；
法2：由特征根方程 得， ， ，
所以 ，其中 ，解得 ， ，
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】9．（2023·全国·高三专题练习）设数列 的前n项和为Sn，满足 ，且
成等差数列．
(1)求 的值；
(2)求数列 的通项公式．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 ，
所以令 得： ，即： ①，
令 得： ，即： ②，
又因为 ， ， 成等差数列，
所以 ③，
由①②③得： ， ， .
故 的值为1.
（2）因为 ，
当 时， ，
两式作差可得： ，
所以 ， ，
由（1）知， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
即： ， ，
将 代入 得： ，符合，
综上， .
故数列 的通项公式为 .
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