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6.3 利用递推公式求通项（精讲）
一．公式法求通项
1.条件特征：前n项和与项或项数的关系
2.解题思路
①当n＝1时，由a＝S 求a 的值．
1 1 1
②当n≥2时，由a＝S－S ，求得a 的表达式
n n n－1 n
③检验a 的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示a．
1 n
④写出a 的完整表达式．
n
二．累加法
1. 条件特征：a -a =f(n)
后 前
2. 解题思路三．累乘法
1.条件特征：
2.解题思路
四．构造法
1.形如a ＝pa＋q，p≠0，其中a＝a型
n＋1 n 1
(1)若p＝1，数列{a}为等差数列；
n
(2)若q＝0，数列{a}为等比数列；
n
(3)若p≠1且q≠0，数列{a}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．
n
方法如下：设a ＋λ＝p(a＋λ)，得a ＝pa＋(p－1)λ，
n＋1 n n＋1 n
又a ＝pa＋q，所以(p－1)λ＝q，即λ＝(p≠1)，所以a ＋＝p，
n＋1 n n＋1
即构成以a＋为首项，以p为公比的等比数列．
1
2.形如a ＝pa＋qn(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)型
n＋1 n
（1）一般地，要先在递推公式两边同除以qn＋1，得＝·＋，引入辅助数列{b}，得b ＝·b ＋，再用待定系
n n＋1 n
数法解决；
（2）也可以在原递推公式两边同除以pn＋1，得＝＋·，引入辅助数列{b}，得b －b＝，再利用叠加法(逐
n n＋1 n
差相加法)求解．
3.形如a ＝pa＋qa ，其中a＝a，a＝b型
n＋1 n n－1 1 2
可以化为a －xa ＝x(a －xa )，其中x ，x 是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接
n＋1 1 n 2 n 1 n－1 1 2
构造数列{a－a }，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{a}．
n n－1 n4. 形如a ＝型
n＋1
两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为b ＝pb＋q型，求出的表达式，再求a．
n＋1 n n
考法一 公式法求通项
【例1-1】（2022·四川·什邡中学）数列 的前 项和 ，则它的通项公式是_______．
【例1-2】（2023春·安徽合肥）已知数列 的前 项和 ，则 的通项公式
【例1-3】（2022·全国·高三阶段练习（理））已知数列 满足 ， ，
则数列 的通项公式为___________.
【一隅三反】
1．（2023陕西）已知数列 前 项和为 ，且 ，则求数列 的通项公式；.
2．（2023·全国·高三专题练习）记 为数列 的前n项和，若 ，则 ______
3．（2023云南）已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 求 的通项公式：
4．（2023春·安徽）在数列 中 ，当 时， ，则其通项公式为
___．
考法二 累加法求通项【例2-1】（2023春·北京）若数列 满足 ，则通项公式为 __________.
【例2-2】（2023春·安徽马鞍山）在数列 中， ， ，则
【例2-3】（2023江苏）已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式 ；
【一隅三反】
1．（2023春·江苏盐城）设等差数列 满足 ， ，且 ， ，则
2．（2023北京）设数列 满足 ，则 =_______.
3．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列 满足 ， ，则数列 的通
项公式为______．
考法三 累乘法求通项
【例3-1】（2023海南）已知在数列 中， ，求数列 的通项公式
【例3-2】（2023春·广东佛山·）已知 ， ，则数列 的通项公式是
【一隅三反】1．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 满足 ， ，则 的通项公式为
___________．
2．（2023黑龙江）设数列 是首项为1的正项数列，且 ，则它的通项公式
______.
3．（2023·广东深圳）数列 满足： ， ，则数列 的通项公式
考法四 构造等比数列
【例4-1】（2023·吉林）已知数列 中， ，且 （ ，且 ），则数列 的通
项公式为__________．
【例4-2】（2023·北京）已知数列 满足 ，则数列 的通项公式为
_____________.
【例4-3】（2023·辽宁抚顺市）已知 是数列 的前 项和， ， ，
，求数列 的通项公式 ；
【一隅三反】
1．（2023广西）若数列 满足 ，且 ，则数列 的通项公式为 _________.
2.（2023黑龙江）已知数列 的前 项和为 ，且 ，求数列 的通项公式 ；3（2023湖北）设 为数列 的前 项和， ，且 ，数列 的通项公式 ；
考法五 构造等差数列
【例5-1】（2023春·云南临沧）已知数列 中， 数列 的通项公式
【例5-2】（2023河北）已知数列 的首项 ，且各项满足公式 ，则数列 的
通项公式为
A． B． C． D．
【例5-3】（2022·江西）已知数列 满足： ， （ ， ），则
___________.
【一隅三反】
1．（2023·安徽）已知数列 满足 ，求数列 的通项公式 ．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ．求数列 的通项公式
；
3（2023广东湛江）已知数列 中， ， ，求数列 的通项公式 .
