文档内容
[基础题组练]
1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是( )
A．一条直线和一条双曲线
B．两条双曲线
C．两个点
D．以上答案都不对
解析：选C.(x－y)2＋(xy－1)2＝0
故或
⇔
2.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，映射f将xOy平面上的
点P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v 上的点P′(2xy，x2－y2)，则当点
P沿着折线ABC运动时，在映射f的作用下，动点P′的轨迹是( )
解析：选D.当P沿AB运动时，x＝1，设P′(x′，y′)，则(0≤y≤1)，故y′＝1－(0≤x′≤2，
0≤y′≤1)．当P沿BC运动时，y＝1，则(0≤x≤1)，所以y′＝－1(0≤x′≤2，－1≤y′≤0)，由此
可知P′的轨迹如D项图象所示，故选D.
3．已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若MN2＝
λAN·NB，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是( )
A．圆 B．椭圆
C．抛物线 D．双曲线
解析：选C.以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立坐标系，设M(x，y)，A(－a，
0)，B(a，0)，则N(x，0)．
因为MN2＝λAN·NB，
所以y2＝λ(x＋a)(a－x)，即λx2＋y2＝λa2，
当λ＝1时，轨迹是圆；
当λ>0且λ≠1时，轨迹是椭圆；
当λ<0时，轨迹是双曲线；
当λ＝0时，轨迹是直线．
综上，动点M的轨迹不可能是抛物线．
4．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，OM＝OA＋OB，则点
M的轨迹方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选A.设M(x，y)，A(x，0)，B(0，y)，
0 0
由OM＝OA＋OB，得(x，y)＝(x，0)＋(0，y)，
0 0
则解得
由|AB|＝5，得＋＝25，
化简得＋＝1.
5．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P
关于y轴对称，O为坐标原点．若BP＝2PA，且OQ·AB＝1，则点P的轨迹方程是( )
A.x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)
B.x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)
C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)
D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)
解析：选A.设A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.由BP＝2PA，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x
＞0，b＝3y＞0.点Q(－x，y)，故由OQ·AB＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.将a＝x，b
＝3y代入ax＋by＝1，得所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．
6．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足向量OP在向量OA上的投
影为－，则点P的轨迹方程是________．
解析：由＝－，知x＋2y＝－5，即x＋2y＋5＝0.
答案：x＋2y＋5＝0
7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点C满足OC＝OA＋t(OB－
OA)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________．
解析：设C(x，y)，则OC＝(x，y)，OA＋t(OB－OA)＝(1＋t，2t)，所以消去参数t得点C的轨
迹方程为y＝2x－2.
答案：y＝2x－2
8．设F，F 为椭圆＋＝1的左、右焦点，A为椭圆上任意一点，过焦点F 向∠FAF 的外
1 2 1 1 2
角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________．
解 析 ： 由 题 意 ， 延 长 FD ， FA 并 交 于 点 B ， 易 证
1 2
Rt△ABD≌Rt△AFD，则|FD|＝|BD|，|FA|＝|AB|，又O为FF 的中点，
1 1 1 1 2
连接OD，则OD∥FB，从而可知|OD|＝|FB|＝(|AF|＋|AF|)＝2，设点
2 2 1 2
D的坐标为(x，y)，则x2＋y2＝4.
答案：x2＋y2＝4
9．如图所示，已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与点B(2，0)，分别求出满足下列条件的动点P的
轨迹方程．(1)△PAB的周长为10；
(2)圆P与圆A外切，且过B点(P为动圆圆心)；
(3)圆P与圆A外切，且与直线x＝1相切(P为动圆圆心)．
解：(1)根据题意，知|PA|＋|PB|＋|AB|＝10，即|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故P点轨迹是椭圆，
且2a＝6，2c＝4，即a＝3，c＝2，b＝.
因此其轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
(2)设圆P的半径为r，则|PA|＝r＋1，|PB|＝r，
因此|PA|－|PB|＝1.
由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，
且2a＝1，2c＝4，即a＝，c＝2，b＝，因此其轨迹方程为4x2－y2＝1.
(3)依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且
开口向左，p＝4.
因此其轨迹方程为y2＝－8x.
10.如图，动圆C ：x2＋y2＝t2，1＜t＜3与椭圆C ：＋y2＝1相交于A，B，C，D四点．点A，
1 2 1
A 分别为C 的左、右顶点，求直线AA 与直线AB交点M的轨迹方程．
2 2 1 2
解：由椭圆C ：＋y2＝1，知A(－3，0)，A(3，0)．
2 1 2
设点A的坐标为(x，y)，由曲线的对称性，
0 0
得B(x，－y)，
0 0
设点M的坐标为(x，y)，
直线AA 的方程为y＝(x＋3)． ①
1
直线AB的方程为y＝(x－3)． ②
2
由①②相乘得y2＝(x2－9)． ③
又点A(x，y)在椭圆C 上，故y＝1－. ④
0 0 2
将④代入③得－y2＝1(x＜－3，y＜0)．
因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x＜－3，y＜0)．
11.如图，P是圆x2＋y2＝4上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足DM＝DP.
(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)过点N(3，0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求
以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．
解：(1)设M(x，y)，则D(x，0)，
由DM＝DP，知P(x，2y)，
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以x2＋4y2＝4，故动点M的轨迹C的方程为＋y2＝1，且轨迹C是以(－，0)，(，0)为焦点，
长轴长为4的椭圆．
(2)设E(x，y)，由题意知l的斜率存在，
设l：y＝k(x－3)，代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－24k2x＋36k2－4＝0，
设A(x，y)，B(x，y)，则x＋x＝，
1 1 2 2 1 2
所以y＋y＝k(x－3)＋k(x－3)
1 2 1 2
＝k(x＋x)－6k
1 2
＝－6k＝.
因为四边形OAEB为平行四边形，
所以OE＝OA＋OB＝(x＋x，y＋y)＝，
1 2 1 2
又OE＝(x，y)，
所以
消去k得，x2＋4y2－6x＝0，
由Δ＝(－24k2)2－4(1＋4k2)(36k2－4)＞0，
得k2＜，所以0＜x＜.
所以顶点E的轨迹方程为x2＋4y2－6y＝0.
[综合题组练]
1．(创新型)已知正方体ABCDABC D 的棱长为1，点M在AB上，且AM＝，点P在平面
1 1 1 1
ABCD内，且动点P到直线AD 的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨
1 1
迹是( )
A．直线 B．圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：选D.在平面ABCD内过点P作PF⊥AD，垂足为F，过点F在平面AADD内作
1 1
FE⊥AD，垂足为E，连接PE，则有PE⊥AD，即PE为点P到AD 的距离．
1 1 1 1 1 1
由题意知|PE|2－|PM|2＝1，
又因为|PE|2＝|PF|2＋|EF|2，所以|PF|2＋|EF|2－|PM|2＝1，
即|PF|2＝|PM|2，即|PF|＝|PM|，
所以点P满足到点M的距离等于点P到直线AD的距离．
由抛物线的定义知点P的轨迹是以点M为焦点，AD为准线的抛物线，
所以点P的轨迹为抛物线．
2．(创新型)若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对
值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )
A．x＋y＝5 B．x2＋y2＝9
C.＋＝1 D．x2＝16y
解析：选B.因为M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，所以M的轨
迹是以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线，方程为－＝1.
A项，直线x＋y＝5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B项，x2＋y2＝9的圆心为(0，0)，
半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；C项，＋＝1的右顶点为(5，0)，满足题意，为
“好曲线”；D项，方程代入－＝1，可得y－＝1，即y2－9y＋9＝0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”．
3.(创新型)如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，
平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是( )
A．直线
B．抛物线
C．椭圆
D．双曲线的一支
解析：选C.母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB与平
面α的夹角为60°，则截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨
迹为椭圆．故选C.
4．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为(－4，0)，(4，0)，C为动点，且满
足sin B＋sin A＝sin C，则C点的轨迹方程为________．
解析：由sin B＋sin A＝sin C可知b＋a＝c＝10，
则|AC|＋|BC|＝10＞8＝|AB|，所以满足椭圆定义．
令椭圆方程为＋＝1，则a′＝5，c′＝4，b′＝3，
则轨迹方程为＋＝1(x≠±5)．
答案：＋＝1(x≠±5)
5．(应用型)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l，l 分别交C于
1 2
A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．
解：由题意知F，
设直线l 的方程为y＝a，直线l 的方程为y＝b，
1 2
则ab≠0，且A，B，P，
Q，R.
记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.
(1)证明：由于F在线段AB上，则1＋ab＝0.
记AR的斜率为k，FQ的斜率为k，则
1 2
k＝＝＝＝＝－b＝＝k.
1 2
所以AR∥FQ.
(2)设l与x轴的交点为D(x，0)，则S ＝|a－b|·|FD|＝|a－b|，S ＝.
1 △ABF △PQF
由题意可得|a－b|＝，
所以x＝1或x＝0(舍去)．
1 1
设满足条件的AB的中点为E(x，y)．
当AB与x轴不垂直时，
由k ＝k 可得＝(x≠1)．
AB DE而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．
当AB与x轴垂直时，E与D重合，
此时E点坐标为(1，0)，
满足方程y2＝x－1.
综上所求的轨迹方程为y2＝x－1.
6．(应用型)(2019·湖北武汉模拟)在平面直角坐标系xOy中取两个定点A(－，0)，A(，0)，
1 2
再取两个动点N (0，m)，N (0，n)，且mn＝2.
1 2
(1)求直线AN 与AN 的交点M的轨迹C的方程；
1 1 2 2
(2)过R(3，0)的直线与轨迹C交于P，Q两点，过点P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点
N，F为轨迹C的右焦点，若RP＝λRQ(λ＞1)，求证：NF＝λFQ.
解：(1)依题意知，直线AN 的方程为y＝(x＋)，①
1 1
直线AN 的方程为y＝－(x－)，②
2 2
设M(x，y)是直线AN 与AN 的交点，①×②得y2＝－(x2－6)，
1 1 2 2
又mn＝2，整理得＋＝1.故点M的轨迹C的方程为＋＝1.
(2)证明：设过点R的直线l：x＝ty＋3，P(x，y)，Q(x，y)，则N(x，－y)，
1 1 2 2 1 1
由消去x，得(t2＋3)y2＋6ty＋3＝0，(*)
所以y＋y＝－，yy＝.
1 2 1 2
由RP＝λRQ，得(x－3，y)＝λ(x－3，y)，故x－3＝λ(x－3)，y＝λy ，
1 1 2 2 1 2 1 2
由(1)得F(2，0)，要证NF＝λFQ，即证(2－x，y)＝λ(x－2，y)，
1 1 2 2
只需证2－x＝λ(x－2)，只需＝－，即证2xx－5(x＋x)＋12＝0，又xx＝(ty ＋3)(ty ＋
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
3)＝t2yy＋3t(y＋y)＋9，x＋x＝ty ＋3＋ty ＋3＝t(y＋y)＋6，所以2t2yy＋6t(y＋y)＋18－
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
5t(y＋y)－30＋12＝0，即2t2yy＋t(y＋y)＝0，
1 2 1 2 1 2
而2t2yy＋t(y＋y)＝2t2·－t·＝0成立，即证．
1 2 1 2
