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[基础题组练]
1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函
数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
x 1.992 3 4 5.15 6.126
y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01
A.y＝2x－2 B．y＝(x2－1)
C．y＝log x D．y＝logx
2
解析：选B.由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越
来越快，分析选项可知B符合，故选B.
2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对于进价)，
则该家具的进价是( )
A．118元 B．105元
C．106元 D．108元
解析：选D.设进价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.故选D.
3．小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，
共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为
t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位
置可能是图1中的( )
A．点M B．点N
C．点P D．点Q
解析：选D.A.假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函
数图象不符，故本选项错误；B.假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y
的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；C.假设这个位置在点P，则由函数图象可
得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30 s时教练到小明的距离，
而点P不符合这个条件，故本选项错误；D.经判断点Q符合函数图象，故本选项正确，故选D.
4．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初
质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )
A．5.2 B．6.6
C．7.1 D．8.3解析：选B.设这种放射性元素的半衰期是x年，则(1－10%)x＝，化简得0.9x＝，即x＝log
0.9
＝＝＝≈6.6(年)．故选B.
5．(2019·高考全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的
长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂
维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度
之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下
端的长度为26 cm，则其身高可能是( )
A．165 cm B．175 cm
C．185 cm D．190 cm
解析：选B.26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618)÷0.618≈178(cm)，故其身高可能是175 cm，故
选B.
6．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．
已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是
( )
A．75，25 B．75，16
C．60，25 D．60，16
解析：选D.由函数解析式可以看出，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品
所需时间为＝30，解得c＝60，将c＝60代入＝15，得A＝16.
7．拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m＞
0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话
费为________元．
解析：因为m＝6.5，所以[m]＝6，则f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.
答案：4.24
8．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米)
2016年5月1日 12 35 000
2016年5月15日 48 35 600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．
解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而
行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．
答案：8
9．(2019·河北唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年
的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每
年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．
解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x
＝14.4，化简得x－6×0.9x＝0.令f(x)＝x－6×0.9x，
易得f(x)为单调递增函数，又f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，所以函数f(x)在(3，4)上
有一个零点．
故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元．
答案：4
10．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为
了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
解：(1)如图，作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，
在△EDF中，＝，所以＝，
所以y＝－x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．
(2)设矩形BNPM的面积为S，
则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，
所以S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x＝10，
所以当x∈[4，8]时，S(x)单调递增，
所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，最大值为48平方米．
11．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明： “活水围
网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 v(单位：千克/年)是养殖密度
x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，
v
的值为2千克/年；当480时，y>5，不满足条件②；故该函数模型不符合公司要
求．
(b)对于函数模型(ⅱ)y＝log x－2，它在[10，100]上是增函数，满足条件①，
2
x＝100时，y ＝log 100－2＝2log 5<5，即f(x)≤5恒成立．满足条件②，
max 2 2
设h(x)＝log x－2－x，则h′(x)＝－，
2
又x∈[10，100]，所以≤≤，
所以h′(x)≤－<－＝0，
所以h(x)在[10，100]上是递减的，因此h(x)≤h(10)＝log 10－4<0，即f(x)≤恒成立，满足条
2件③，
故该函数模型符合公司要求．
综上所述，函数模型(ⅱ)y＝log x－2符合公司要求．
2
