文档内容
9.5 三定问题及最值（精讲）
一．定点
1. 参数法解决定点问题的思路:
①引入动点的坐标或动直线中的参数表示变化量,即确定题目中的核心变量(此处设为k);
②利用条件找到k与过定点的曲线F(x,y)=0之间的关系,得到关于k与x,y的等式,再研究变化量与参数何
时没有关系,找到定点.其理论依据是:直线方程的点斜式y-y=k(x-x),则直线必过定点(x,y);直线方程的
0 0 0 0
斜截式y=kx+m,则直线必过定点(0,m).
2.特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
二．定值
1.从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
2.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
三．定直线：是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题
1.设点法:设点的轨迹,通过已知点轨迹,消去参数,从而得到轨迹方程;
2.待定系数法:设出含参数的直线方程,利用待定系数法求解出系数;
3.验证法:通过特殊点位置求出直线方程,对一般位置再进行验证.
四．最值
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
1.利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.2.利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
3.利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.
4.利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.
5.利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
考点一 定点
【例1-1】（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知椭圆 与椭圆
的离心率相同，且椭圆 的焦距是椭圆 的焦距的 倍．
(1)求实数 和 的值；
(2)若梯形 的顶点都在椭圆 上， ， ，直线 与直线 相交于点 ．且点 在
椭圆 上，证明直线 恒过定点．【例1-2】（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知椭圆 的离心率是 ，上、下顶点
分别为 ， .圆 与 轴正半轴的交点为 ，且 .
(1)求 的方程；
(2)直线 与圆 相切且与 相交于 ， 两点，证明：以 为直径的圆恒过定点.
【一隅三反】
1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点
分别为 ， ，A，B分别是C的右、上顶点，且 ，D是C上一点， 周长的最大值为8.
(1)求C的方程；
(2)C的弦 过 ，直线 ， 分别交直线 于M，N两点，P是线段 的中点，证明：以 为
直径的圆过定点.2．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）已知圆 ： ，点 ， 是圆 上任意一点，
线段 的垂直平分线和半径 相交于
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)经过点 和 的圆与直线 ： 交于 ， ，已知点 ，且 、 分别与 交于 、 .
试探究直线 是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.
考点二 定值
【例2】（2023·江西九江·统考一模）如图，已知椭圆 ( )的左右焦点分别为 ， ，
点 为 上的一个动点(非左右顶点)，连接 并延长交 于点 ，且 的周长为 ， 面积的
最大值为2．(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若椭圆 的长轴端点为 ，且 与 的离心率相等， 为 与 异于 的交点，直线 交 于
两点，证明： 为定值．
【一隅三反】
1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知椭圆 ： （ ）与椭圆 ： （
）的离心率相同，且椭圆 的焦距是椭圆 的焦距的 倍．
(1)求实数a和b的值；
(2)若梯形 的顶点都在椭圆 上， ， ，直线BC与直线AD相交于点P．且点P在
椭圆 上，试探究梯形 的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）在椭圆 ： （ ）中，其所有外切矩形的顶点在一
个定圆 ： 上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆 过 ， .
(1)求椭圆 的方程；(2)过椭圆 的蒙日圆上一点 ，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点 ，若 ， 存在，证明：
为定值.
考点三 定直线
【例3】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆 ： 的离心率为 ，右焦点为
， ， 分别为椭圆 的左、右顶点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作斜率不为 的直线 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，记直线 的斜率为 ，直线 的
斜率为 ，求证： 为定值；
(3)在（2）的条件下，直线 与直线 交于点 ，求证：点 在定直线上.【一隅三反】
1．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出
的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线
的左、右焦点分别为 、 ，从 发出的光线经过图2中的 、 两点反射后，分别
经过点 和 ，且 ， .
(1)求双曲线 的方程；
(2)设 、 为双曲线 实轴的左、右顶点，若过 的直线 与双曲线 交于 、 两点，试探究直线 与直线 的交点 是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由．
2．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知双曲线C： ，直线l在x
轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为
.
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，
， 均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.考点四 最值
【例4-1】（2023·江西景德镇·统考三模）设椭圆 的左､右顶点分别为 ，且焦距
为 .点 在椭圆上且异于 两点，若直线 与 的斜率之积为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 作不与 轴重合的直线与椭圆 相交于 两点，直线 的方程为： ，过点 作
垂直于直线 ，交 于点 .求 面积的最大值.
【一隅三反】
1．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知点 在椭圆 上，直线 交 于 ， 两点，
直线 ， 的斜率之和为0．
(1)求直线 的斜率；
(2)求 的面积的最大值（ 为坐标原点）．2．（2023·陕西宝鸡·校考一模）设抛物线 ，直线 与C交于A，B两点，且
.
(1)求p；
(2)设C的焦点为F，M，N为C上两点， ，求 面积的最小值.
