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9.5 三定问题及最值（精讲）
一．定点
1. 参数法解决定点问题的思路:
①引入动点的坐标或动直线中的参数表示变化量,即确定题目中的核心变量(此处设为k);
②利用条件找到k与过定点的曲线F(x,y)=0之间的关系,得到关于k与x,y的等式,再研究变化量与参数何
时没有关系,找到定点.其理论依据是:直线方程的点斜式y-y=k(x-x),则直线必过定点(x,y);直线方程的
0 0 0 0
斜截式y=kx+m,则直线必过定点(0,m).
2.特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
二．定值
1.从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
2.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
三．定直线：是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题
1.设点法:设点的轨迹,通过已知点轨迹,消去参数,从而得到轨迹方程;
2.待定系数法:设出含参数的直线方程,利用待定系数法求解出系数;
3.验证法:通过特殊点位置求出直线方程,对一般位置再进行验证.
四．最值
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
1.利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2.利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.
3.利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围.
4.利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围.
5.利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围.
考点一 定点
【例1-1】（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知椭圆 与椭圆
的离心率相同，且椭圆 的焦距是椭圆 的焦距的 倍．
(1)求实数 和 的值；
(2)若梯形 的顶点都在椭圆 上， ， ，直线 与直线 相交于点 ．且点 在
椭圆 上，证明直线 恒过定点．
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【解析】（1）由椭圆 方程可得其焦距为 ，离心率为 ；
由椭圆 可得其焦距为 ，离心率为 ；
由题意知： ，解得： （舍）或 ，
， .
（2）设 ， ， ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ， 分别为 的中点，
， ， ，
，
， ， ，即 ，
同理可得： ， 直线 的方程为 ，
直线 恒过定点 .
【例1-2】（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知椭圆 的离心率是 ，上、下顶点
分别为 ， .圆 与 轴正半轴的交点为 ，且 .
(1)求 的方程；
(2)直线 与圆 相切且与 相交于 ， 两点，证明：以 为直径的圆恒过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由已知得 ， ， .
则 ， ， ，所以 .
因为 ，又 ，所以 ， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 的方程为 .
（2）当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ，即 .
因为直线 与圆 相切，所以 ，即 .
设 ， ，则 ， .
由 化简，得 ，
由韦达定理，得
所以 ，
所以 ，
故 ，即以 为直径的圆过原点 .
当直线 的斜率不存在时， 的方程为 或 .
这时 ， 或 ， .
显然，以 为直径的圆也过原点 .综上，以 为直径的圆恒过原点 .
【一隅三反】
1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点
分别为 ， ，A，B分别是C的右、上顶点，且 ，D是C上一点， 周长的最大值为8.
(1)求C的方程；
(2)C的弦 过 ，直线 ， 分别交直线 于M，N两点，P是线段 的中点，证明：以 为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】直径的圆过定点.
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【解析】（1）依题意， ，
周长 ，当且仅当 三点共线时等号成立，
故 ，
所以 ，所以 的方程 ；
（2）设 ，直线 ，代入 ，整理得 ，
， ，
易知 ，令 ，得 ，同得 ，
从而中点 ，
以 为直径的圆为 ，
由对称性可知，定点必在 轴上，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 得， ，
，
所以 ，即 ，因为 ，
所以 ，即 ，
解得 ，所以圆过定点 .
2．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）已知圆 ： ，点 ， 是圆 上任意一点，
线段 的垂直平分线和半径 相交于
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)经过点 和 的圆与直线 ： 交于 ， ，已知点 ，且 、 分别与 交于 、 .
试探究直线 是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.
【答案】(1)
(2)经过定点，定点坐标为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）如图所示，
∵ ，且 ，
∴点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，
设椭圆方程 ，则 ， ，∴ ， .
所以点 的轨迹方程为： .
（2）设直线 的方程为： ，
由 ，得
设 ， ，则 ， .
所以， ，
因为直线 的方程为： ，令 ，得 ，
所以， ，同理可得 ，
以 为直径的圆的方程为： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，
因为圆过点 ，所以， ，
得 ，代入得 ，
化简得， ，解得 或 （舍去），
所以直线 经过定点 ，
当直线 的斜率为0时，此时直线 与 轴重合，直线 经过点 ，
综上所述，直线 经过定点 .
考点二 定值
【例2】（2023·江西九江·统考一模）如图，已知椭圆 ( )的左右焦点分别为 ， ，
点 为 上的一个动点(非左右顶点)，连接 并延长交 于点 ，且 的周长为 ， 面积的
最大值为2．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若椭圆 的长轴端点为 ，且 与 的离心率相等， 为 与 异于 的交点，直线 交 于
两点，证明： 为定值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1） 的周长为 ，由椭圆的定义得 ，即 ，
又 面积的最大值为2， ，即 ，
， ， ，解得 ，
椭圆 的标准方程为 .
（2）由（1）可知 ， ，椭圆 的离心率 ，
设椭圆 的方程为 ，则有 ， ，解得 ，
椭圆 的标准方程为 ，
设 ， ， ， 点 在曲线 上， ，
依题意，可设直线 ， 的斜率分别为 ，
则 的方程分别为 ， ，
于是 ，
联立方程组 ，消去 整理，得 ，
， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
同理可得： ，
， ，
为定值.
【一隅三反】
1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知椭圆 ： （ ）与椭圆 ： （
）的离心率相同，且椭圆 的焦距是椭圆 的焦距的 倍．
(1)求实数a和b的值；
(2)若梯形 的顶点都在椭圆 上， ， ，直线BC与直线AD相交于点P．且点P在
椭圆 上，试探究梯形 的面积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)是定值，该定值为 ．
【解析】（1）由题意知， ，且 ，
解得 ， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）梯形 的面积是定值，该定值为 ．
理由如下：
由（1）知 ： ， ： ,
设 ， ， ，则 ，
因为 ， ，所以A，B分别为PD，PC的中点，
则 ， ，则 ，
作差可得， ．
因为 ，即 ，所以 ．
同理可得， ，所以C，D都在直线 上，
即直线CD的方程为 ．
联立 ，可得 ， ，
则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ．
又因为点P到直线CD的距离 ，
所以 的面积为 ．
又因为 ∽ ， ，所以 ，
所以梯形ABCD的面积为 ．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）在椭圆 ： （ ）中，其所有外切矩形的顶点在一
个定圆 ： 上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆 过 ， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过椭圆 的蒙日圆上一点 ，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点 ，若 ， 存在，证明：
为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）将 ， 代入到 ，
可得 ，解得 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以椭圆 的方程为： .
（2）由题意可知，蒙日圆方程为： .
（ⅰ）若直线 斜率不存在，则直线 的方程为： 或 .
不妨取 ，易得 ， ， ， ，
.
（ⅱ）若直线 斜率存在，设直线 的方程为： .
联立 ，化简整理得： ，
据题意有 ，于是有： .
设 （ ）， （ ）.
化简整理得： ，
，
， .
则
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，所以 .
综上可知， 为定值 .
考点三 定直线
【例3】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆 ： 的离心率为 ，右焦点为
， ， 分别为椭圆 的左、右顶点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作斜率不为 的直线 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，记直线 的斜率为 ，直线 的
斜率为 ，求证： 为定值；
(3)在（2）的条件下，直线 与直线 交于点 ，求证：点 在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）依题可得 ，解得 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以椭圆 的方程为 ．
（2）设 ， ，因为直线 过点 且斜率不为 ，
所以可设 的方程为 ，代入椭圆方程 得 ，
其判别式 ，所以 ， .
两式相除得 ，即 ．
因为 分别为椭圆 的左、右顶点，所以点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
所以 ， ．
从而 ．
（3）由（1）知 ，设 ，则 ，
所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立 可得 ，
所以直线 与直线 的交点 的坐标为 ，
所以点 在定直线 上.
【一隅三反】
1．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出
的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的左、右焦点分别为 、 ，从 发出的光线经过图2中的 、 两点反射后，分别
经过点 和 ，且 ， .
(1)求双曲线 的方程；
(2)设 、 为双曲线 实轴的左、右顶点，若过 的直线 与双曲线 交于 、 两点，试探究直
线 与直线 的交点 是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)在直线 上
【解析】（1）解：如图所示：
延长 与 交于 ，因为 ， ，
则 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，则 ，
所以， ，
由双曲线的定义可得 ，则 ，
，则 ，
又因为 ，即 ，解得 ，
所以， ， ，
由勾股定理可得 ，则 ，
故 ，
因此，双曲线 的方程为 .
（2）解：若直线 与 轴重合，则直线 与双曲线 的交点为双曲线 的两个顶点，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ，
由题意可得 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由韦达定理可得 ， ，
易知点 、 ，则 ， ，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立直线 、 的方程并消去 可得 ，
可得
，解得 ，
因此，直线 与直线 的交点 在定直线 上.
2．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知双曲线C： ，直线l在x
轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为
.
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，
， 均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】（1）由已知C： ，点A的坐标为 ，得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】焦点 ， ， .
所以 ， ，故C： .
（2）设l的方程为 ，则 ，故 ，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为 ，故 .
与双曲线方程联立得： ，
由已知得 ， ，设 ， ，
则 ， ①
由 ， 得： ， ，
消去 得： ，
即 ②
由①②得： ，由已知 ，
故存在定直线l： 满足条件.
考点四 最值
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例4-1】（2023·江西景德镇·统考三模）设椭圆 的左､右顶点分别为 ，且焦距
为 .点 在椭圆上且异于 两点，若直线 与 的斜率之积为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 作不与 轴重合的直线与椭圆 相交于 两点，直线 的方程为： ，过点 作
垂直于直线 ，交 于点 .求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意知： ， ，设 ，
则 ， ，
又 ， ， ，
椭圆 的标准方程为： .
（2）
设直线 ， ，则 ，
由 得： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】显然 ， ， ，
，又 ，
直线 方程为： ，
令 ，则 ，
直线 过定点 ；
而 ，
则 ，
令 ，有 在 上单调递增，
则 ，即 时 ， 取最小值4，
于是当 时， ，
所以 面积的最大值是 .
【一隅三反】
1．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知点 在椭圆 上，直线 交 于 ， 两点，
直线 ， 的斜率之和为0．
(1)求直线 的斜率；
(2)求 的面积的最大值（ 为坐标原点）．
【答案】(1)1
(2)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）由题意得 ，解得 ，
代入椭圆方程中， ，解得 或6（舍去），
故 ，
当直线 的斜率不存在时， 关于 轴对称，此时有对称性可知，直线 ， 的斜率之和不为0，舍
去；
设 ，联立椭圆方程 得， ，
则 ，则 ，
设 ，则 ，
，
故 ，
即 ，故 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，
当 时， ，此时直线 ，
显然直线 恒过 ，矛盾，
当 时，经检验，满足题意，
故直线 的斜率为1；
（2）设 ，联立椭圆方程 得， ，
，解得 ，
，
点 到直线 的距离为 ，
故
，
故当 ，即 时， 取得最大值，最大值为 .
2．（2023·陕西宝鸡·校考一模）设抛物线 ，直线 与C交于A，B两点，且
.
(1)求p；
(2)设C的焦点为F，M，N为C上两点， ，求 面积的最小值.
【答案】(1)2
(2)
【解析】（1）设 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，可得 ，
所以 ， ，
所以 ，
即 ，因为 ，解得 ；
（2）由（1）得抛物线 ，
因为 ，显然直线 的斜率不可能为零，
设直线 ： ， ， ，
由 ，可得 ，所以 ， ，
，
因为 ，所以 ，
即 ，
亦即 ，
将 ， 代入得，
， ，
所以 ，且 ，解得 或 ，
设点 到直线 的距离为 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
所以 的面积 ，
而 或 ，
所以当 时， 的面积 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
