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期末选填题压轴题（考题猜想，6 种必考题型）
题型一：手拉手的构造（共3题）
1．（2022秋•江汉区期末）如图，在 中， ， ，点 为 边上一点，将 绕
点 顺时针旋转 至 ，使 ， 在 异侧，连接 ，若 ，则 与 的关系是
．
【分析】如图所示，将 绕点 逆时针旋转得到 使得 与 重合，连接 ，证明
，推出 、 、 三点共线，得到 ，再根据四边形内角和定理得到
，即 ．【解答】解：如图所示，
将 绕点 逆时针旋转得到 使得 与 重合，连接 ，
， ， ，
，
， ，
，
，
、 在 的同一侧，
、 、 三点共线，
，
，
，即 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等边对等角，四边形内角和定理，正确作出辅
助线是解题的关键．
2．（2021秋•青山区校级月考）如图，四边形 中， ， ，若 ，
则 的度数为 ．（用 表示）
【分析】作 ，交 延长线于 ．由等腰三角形的性质得出 ，，证出 ，证明 ，得出 ， ，
得出 ， ，因此 ，设 ，则 ，由八字形
得出 ，解得 ，即可得出答案．
【解答】解：作 ，交 延长线于 ．如图所示：
， ，
， ，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
，
，
设 ，则 ，
由八字形得： ，
即 ，
，
；
故答案为： ．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟
练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
3．（2022•江岸区校级开学）如图，四边形 中， ，则△
的面积为 ．
【 分 析 】 过 作 交 延 长 线 于 点 ， 连 接 ， 证 △ △ ， 得 出
，再证 ，最后根据三角形的面积公式求得结果便可．
【解答】解：过 作 交 延长线于点 ，连接 ，
，
， ，
， ，
， ，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，， ，
，
．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，关键是
构造全等三角形解决问题．
题型二：角平分线的处理（共2题）
1．（2023 秋•椒江区校级期中）如图，点 为 内部一点，使得 ， ，且
，求 的度数是 ．
【分析】作辅助线，在 的延长线上截取 ，连 ， ，延长 交 于 ，交 于 ，
则可证得 ，则 为 的垂直平分线，结合 ，可得 ，
，可得 平分 ，进一步可求出 的度数．
【解答】解：在 的延长线上截取 ，连 ， ，延长 交 于 ，交 于 ，
，
在 和 中，
，则 ，
垂直平分 ， ，
，
， ，
垂直平分 ，
，
，
．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形“三线合一”的性质，解题的关键是作辅助
线，构造全等三角形．
2．（2023秋•东莞市期末）如图，等腰 ， ， ， 于点 ，点 是
延长线上一点，点 是线段 上一点， ，下面的结论：① ；② ；
③ ；④ ．其中正确的是 ．（填序号）
【 分 析 】 ① 根 据 等 边 对 等 角 ， 可 得 、 ， 则
，据此可求解；②可先求证 是等边三角形，再根据三角形
的三边关系判断即可；③因为点 是线段 上一点，所以 不一定是 的角平分线，据此可求解；
④先证明 ，则 ， ．
【解答】解：①如图1，连接 ，
， ，
， ，
， ，
，
，
、 ，
，
故①正确；
② ，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，则 ， ，
，
故②不正确；
③由①知： 、 ，
点 是线段 上一点，
与 不一定相等， 与 不一定相等，
故③不正确；
④如图2，在 上截取 ，连接 ，
，是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
，
，
故④正确．
故答案为：①④．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定与性
质的知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
题型三：夹半角与手拉手（共4题）
1．（2021秋•邗江区期末）如图，在 中， ， ，直角 的顶点 是 的
中点，两边 、 分别交 、 于点 、 ，连接 交 于点 ，以下五个结论：①
；② ；③ 和 互补；④ 是等腰直角三角形；⑤四边形 的面
积是 面积的 ，其中正确的结论是
A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④
【分析】利用 证明 ，得 ，则 是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形
的性质可对结论逐一进行判断．
【解答】解： ， ，
，
故①正确；
点 为 的中点， ， ，， ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
是等腰直角三角形，
四边形 的面积为 ，
故④正确，⑤不正确；
，
和 互补，
故③正确；
不是定长，故②不正确．
正确的有：①③④，
故选： ．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明
是解题的关键．
2．（槐荫区期末）如图，在等边三角形 中，在 边上取两点 、 ，使 ．若
， ， ，则以 ， ， 为边长的三角形的形状为
A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．随 ， ， 的值而定
【分析】将 绕点 顺时针旋转 得到 ．连接 ．想办法证明 ，
即可解决问题；
【解答】解：将 绕点 顺时针旋转 得到 ．连接 ．
是等边三角形，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
， ，
，
， ， 为边长的三角形 是钝角三角形，
故选： ．
【点评】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利
用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
3．（2023秋•蔡甸区校级期中）如图，在某次军事演习中，舰艇1号在指挥中心 处）北偏西 的 处，
舰艇2号在指挥中心南偏东 的 处，并且 ．接到行动指令后，舰艇1号向正东方向以60海里
小时的速度前进，舰艇2号沿北偏东 的方向以 海里 小时的速度前进．1.5小时后，指挥中心观测
到两舰艇分别到达点 ， 处，若 ， 海里，则 的值为 ．【分析】延长 、 相交于点 ，根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【解答】解：
延长 、 相交于点 ，
， ，
，
又 ， ，
，
即 ．
解得 ．
故答案为：80．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，方向角，正确作出辅助线是解本题的关键．
4．（2021秋•东坡区期末）如图，△ 是边长为6的等边三角形， ， ，以点
为顶点作一个 角，使其两边分别交 于点 ，交 于点 ，连结 ，则△ 的周长是 ．
【分析】要求△ 的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长 至 ，使 ，连接 ，通过证明△ △ ，及△
△ ，从而得出 ，△ 的周长等于 的长．
【解答】解： △ 是等腰三角形，且 ，
，
△ 是边长为6的等边三角形，
，
，
延长 至 ，使 ，连接 ，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
， ，
，
，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
，
△ 的周长是： ．
故答案为：12．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的
性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．
题型四：求线段长与面积（共13题）
1．（2023秋•洪山区期中）如图，在 纸片中， ， ，沿过点 的直线折叠这个三角形，
使点 落在 边上的点 处，折痕为 ，若 ，则 的长为
A． B． C． D．2
【分析】由折叠的性质可得： ， ， ，进而证得 ，
得到 ，由面积法可求解．
【解答】解：由折叠的性质可得： ， ， ， ，
，
如图，过点 作 于点 ，作 于点 ，则 ，
，
， ，
，
，
，
，，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了折叠的性质等面积法求高，解题的关键是作出常用辅助线及熟练掌握折叠的性质．
2．（2023秋•安乡县期末）如图，过边长为2的等边 的边 上点 作 于 ， 为 延
长线上一点，当 时，连 交 边于 ，则 长为 ．
【分析】过 做 的平行线至 于 ，通过求证 和 全等，推出 ，再通过证明
是等边三角形和 ，推出 ，即可推出 ，可得 ，即可
推出 的长度．
【解答】解：过 做 的平行线至 于 ，
，
等边 ，
， ，
是等边三角形， ， ，
，
，
在 和 中，，
，
， 于 ， 是等边三角形， ，
，
， ，
．
故答案为1．
【点评】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于正
确地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算．
3．（2022春•横山区期末）如图，在 中， 交 于点 ， 平分 交 于点 ，
过点 作 于 ， 的面积为 ， 的面积为 ， ，则 的长为 ．
【分析】根据垂直的定义得到 ，根据三角形的面积求得 ，过 作 于 ，根
据角平分线的性质得到 ，于是得到结论．
【解答】解： ，
，
的面积为 ， ，，
过 作 于 ，
平分 交 于点
，
的面积为8，
，
，
故答案为：6．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
4．（2022秋•香坊区期末）在 中， ，有一个锐角为 ， ，点 在边 上
（不与点 、 重合）， ，则 的长为 ．
【分析】根据题意画出图形，分2种情况进行讨论，利用直角三角形的性质解答．
【解答】解：如图1，若 ，
则 ，
，
，，
，
则 ，
；
如图2，若 ，
则 ，
，
，
，
为等边三角形，
；
综上， 的长为3或 ．
故答案为：3或 ．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．
5．如图，已知 是等边三角形，点 在 的延长线上， 是射线 上一点，点 在 上，若
是等边三角形，且 ，已知 ， ，则 的长为 ．
【 分 析 】 过 作 于 ， 推 出 ， 由 等 边 三 角 形 的 性 质 得 到， ， ，由三角形外角的性质推出 ，即可证明
，得到 ，令 ，得到 ， ，由直角三角形的性质
得到 ，因此 ，求出 ，
即可得到 ．
【解答】解：过 作 于 ，
，
，
、 是等边三角形，
， ， ，
，
，
，
，
令 ，
， ，
， ，
，
，
，
．
故答案为：4．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，关键是证明 ．
6．（2023秋•荆门期末）如图的三角形纸片中， ， ，沿过点 的直线折叠这个三角形，使点 落在 边上的点 处，折痕为 ，若 的周长为 ，则 的长为 ．
【分析】根据折叠的性质和三角形的周长公式即可得到结论．
【解答】解： 沿过点 的直线折叠这个三角形，使点 落在 边上的点 处，
， ，
，
的周长为 ，
，
，
．
故答案为：6．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
7．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图，在等边△ 中，点 为线段 上一点， ，连接
，点 为线段 下方一点，连接 ，且 ， ，连接 交 于点 ，点
为线段 延长线上一点， ，连接 ．已知 ，则 的长为 ．
【分析】由等边三角形的性质得 ，则 ，可证明△ △ ，得
， ，再证明△ △ ，得 ，则 ，于是得到问
题的答案．【解答】解： △ 是等边三角形， ， ，
，
，
， ，且 ，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
， ，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
，
，
故答案为：4．
【点评】此题重点考查等边三角形的性质、等角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明△
△ 是解题的关键．
8．（2020秋•巴彦县期末）如图，在等边 中，点 在 的延长线上，连接 ，点 在线段
上，连接 ，交线段 于点 ， ， ， ，则线段 的长度为 ．【分析】连接 ，过点 作 ，交 于 ，连接 ，如图所示：利用全等三角形的性质证明
， ，推出 ，设 ， ，设 ， ，构
建方程组求解即可．
【解答】解：连接 ，过点 作 ，交 于 ，连接 ，如图所示：
是等边三角形， ，
， ，
， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，，
，
，
，
， ，
，
即 ，
，
可以假设 ， ，设 ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题
的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的
压轴题．
9．（2021秋•方正县期末）如图，在四边形 中， 是四边形的对角线， ，过点 作
于点 ， ， ，若 的长度比 的长度多2，则 的长为
．
【分析】在 上截取 ，连接 ，则 垂直平分 ，结合题意推出 ，过点 作
，交 于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，则有 ，
，进而得出 ，根据题意及三角形外角性质推出 ，利用 判定
，根据全等三角形的性质得到 ，结合题意即可得解．
【解答】解：在 上截取 ，连接 ，
，
垂直平分 ，
，
，
，
，
，，
，
过 点 作 ， 交 于 点 ， 过 点 作 ， 交 的 延 长 线 于 点 ， 则 有
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
的长度比 的长度多2，
，
，
故答案为：1．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
10．（2024春•兴宁市期末）如图，在 中， 为 边的中线， 为 上一点，连接 并延长
交 于点 ，若 ， ， ，则 的长为 ．【分析】 延长 至 ，使 ，连接 ，可证明 ，则 ，
，根据 ，得 ，可证出 ，即得出 ，然后利用
线段的和差即可解决问题．
【解答】解：如图，延长 至 ，使 ，连接 ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：2.4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11．（2023秋•广水市期末）如图，在 中， 是高， ， ，在 边上取点 ，
连接 ， ，若 ， ，则 ．
【分析】过点 作 ，交 的延长线于 ，首先证明 ，再利用 证明
，得 ， ，再根据高相等的两个三角形面积比等于底之比解决问
题．
【解答】解：过点 作 ，交 的延长线于 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形面积等知识，作辅助线构造全等三角形是解题
的关键，有一定的难度．
12．（2024春•福田区校级期末）如图 中， ， 平分 交 于 ，点 在
的延长线上，满足 ，若 ， ，则线段 的长为 ．
【分析】延长 到 ，作 于 ．首先证明 ，推出 ，再证明
，由 ，可得 ，推出 ．
【解答】解：延长 到 ，作 于 ．
平分 ，
，， ，
，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：10．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造
全等三角形解决问题．
13．（2023秋•高青县期末）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图 1，在 △ 中，
， 是高， 是△ 外一点， ， ，若 ， ， ，
求△ 的面积．同学们可以先思考一下 ，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在 上截取
，（如图 ．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△ 的面积为
．【分析】由△ △ ，求出 ， 的长，再由面积公式求得即可．
【解答】解：如图所示，连接 ，
，
，
，
，
，
在△ 与△ 中，
，
△ △ ，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：64．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．题型五：求角度（共12题）
1．（2023秋•纳溪区期末）如图，点 是 内任意一点， ，点 和点 分别是射线 和
射线 上的动点， 周长的最小值是 ，则 的度数是
A． B． C． D．
【分析】分别作点 关于 、 的对称点 、 ，连接 ，分别交 、 于点 、 ，连接 、
、 、 、 ，由对称的性质得出 ， ， ； ，
， ，得出 ，证出 是等边三角形，得出 ，即
可得出结果．
【解答】解：分别作点 关于 、 的对称点 、 ，连接 ，
分别交 、 于点 、 ，连接 、 、 、 、 ，如图所示：
点 关于 的对称点为 ，关于 的对称点为 ，
， ， ；
点 关于 的对称点为 ，
， ， ，
， ，
周长的最小值是 ，
，
，
即 ，
，
即 是等边三角形，
，
；
故选： ．【点评】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，
证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
2．（2023秋•广陵区期末）如图，四边形 中， ， ，在 、 上分别
找一点 、 ，使 周长最小时，则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】根据要使 的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出 关于
和 的对称点 ， ，即可得出 ，进而得出 即
可得出答案．
【解答】解：作 关于 和 的对称点 ， ，连接 ，交 于 ，交 于 ，则 的长
即为 的周长最小值． ，
，
， ，
且 ， ，
，
故选： ．【点评】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，
根据已知得出 ， 的位置是解题关键．
3．（2023秋•南开区期末）如图， 中， ，点 为 内一点， ，
，则
A． B． C． D．
【分析】根据已知易证 ，所以想到等腰三角形的三线合一性质，过点 作 ，垂足为 ，
延长 交 与点 ，然后连接 ，易证 ，从而求出 ，再利用三角形
的外角求出 的度数，放在直角三角形中求出 的度数，进而证 ，可得 ，
最后放在等腰三角形 中求出 即可．
【解答】解：过点 作 ，垂足为 ，延长 交 与点 ，连接 ，
， ，
，
，
，
，
是 的垂直平分线，
，
，，
是 的一个外角，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性
质，利用等腰三角形的三线合一性质添加辅助线是解题的关键．
4．（2021秋•江汉区期末）如图，点 在 内部， ，点 在 上， 垂直平分 ，若
，则 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 ，即可得到 ，根据等腰三角形的性质得
到 ， ， ，进而得到 ，
利用三角形内角和定理求得 ，进而得出 ，根据
等腰三角形三线合一的性质即可求得 ．
【解答】解：连接 ，垂直平分 ，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知定理和性质是
解题的关键．
5．（2022秋•大足区期末）如图，在 中， ，点 为 上一点，连接 ，当 且
三个角与 的三个角分别相等时， 的度数为 ．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，得出 ，根据 三个角与 的
三个角分别相等，得出 ， ， ，根据三角形内角和定理，结合
，得出 ，求出 即可．【解答】解： ，
，
，
，
三个角与的三个角分别相等，
， ， ，
，
，
，
即 ，
，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据
已知条件得出 ， ， ．
6．（2024春•普洱期末）如图， 中， ， ，点 在线段 上运动（点 不与
点 ， 重合），连接 ，作 ， 交线段 于点 ．当 是等腰三角形时，
的度数为 ．
【分析】根据三角形内角和定理可得 的度数， 是等腰三角形，分情况讨论：① 时，
② 时，③ 时，分别求解即可．
【解答】解： ， ，
，
，
，
是等腰三角形，分情况讨论：
① 时， ，
，
此时 点与 点重合，不符合题意；② 时， ，
；
③ 时， ，
，
综上， 的度数为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，
注意分情况讨论．
7．（2024春•皇姑区期末）在 中， ， 为高，两条高所在的直线相交于 点，若 ，
求 的大小为 ．
【分析】根据同角的余角相等求出 ，再利用“角角边”证明 和 全等，根据全
等三角形对应边相等可得 ，求出 是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出
，然后分 是锐角三角形和钝角三角形两种情况求解即可．
【解答】解： ， 为高，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
是高，
是等腰直角三角形，
，
如图1， 是锐角三角形时， ，
如图2， 是钝角三角形时， ，
所以， 的大小为 或 ．
故答案为： 或 ．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
8．（2023秋•江门期末）如图，在四边形 中， ， ，在边 ， 上分别找
一点 ， 使 的周长最小，此时 ．
【分析】如图，作点 关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ，连接 ，交 于 ，交 于
，则点 ， 即为所求，结合四边形的内角和即可得出答案．
【解答】解：如图，作点 关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ，连接 ，交 于 ，交
于 ，则点 ， 即为所求．
四边形 中， ， ，
，
由轴对称知， ， ，在 中，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是轴对称 最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及四边形的内角和定理
等知识，根据已知得出 ， 的位置是解题关键．
9．（2023秋•鼓楼区校级期末）如图， 是 的一个外角， ， ， 平分
，则 ．
【分析】根据三角形外角的性质得出 ，再利用三角形的内角和定理可求解 的度数，由
平分 ，求得 的度数，再根据三角形外角的性质可求解．
【解答】解： ， ，
，
，
，
平分 ，
，
．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了角的平分线的定义，以及三角形的内角和定理以及三角形外角的性质．10．（2023秋•汉阳区校级期末）已知等腰 中， ，且 ，则等腰 的顶角度
数为 ．
【分析】分三种情形：如图1中，当 时，如图2中，当 ，如图3中，当 ，分别
利用等腰三角形的性质求出顶角的度数即可．
【解答】解：如图1中，当 时，
， ，
，
，
如图2中，当 ，
， ，
，
，
，
如图3中，当 ，， ，
，
，
，
综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
11．（2023 秋•六盘水期末）如图，在 中， ， 平分 ， ，
，则 ．（用含 的式子表示）
【分析】延长 到 ，使 ，连接 ， ，利用 证明 ，得 ，
，再证明 为等边三角形，得出 是 的角平分线，再通过导角得出答案．
【解答】解：如图，延长 到 ，使 ，连接 ， ，
平分 ，
，
在 与 中，，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
是 的角平分线，
是 的垂直平分线，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，
作辅助线构造全等三角形是解题的关键．12．（2023秋•瑶海区期末）如图，已知在四边形 内， ， ， ，
，则 ．
【分析】延长 到 连 从而可证 是等边三角形，就可解决问题．
【解答】解：延长 到 使 ，连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
．【点评】此题较难，考查了全等三角形，等边三角形的知识，要构造全等三角形，得到等边三角形．
题型六：多结论问题（共7题）
1．（2022 秋•应城市期末）如图，在 中， ， ， 平分 ， 平分
， 与 交于点 ， 为 外一点， ， ，连接 ．下列
结论：① ；② ；③ ；④ ．其中结论正确的
是
（只需要填写序号）．
【分析】①利用 即可证明 ；
②根据三角形内角和定理即可进行判断；
③根据角平分线定义即可进行判断；
④ 连 接 ， 可 知 点 为 三 角 形 角 平 分 线 交 点 ， 即 平 分 ， 可 得
，然后证明 ，可得 ， ．
进而可以进行判断．
【解答】解：① 平分 ，
，
，．
，
在 和 中，
，
，故①正确；
② ，
，
，
，故②正确；
③ ，
，
根据题意 ，
；故③错误；
④如图，连接 ，
可知点 为三角形角平分线交点，
即 平分
，
，
在 和 中，
，
，， ．
．
，故④正确
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是得到 ．
2．（2022秋•道县期末）如图， 为线段 上一动点（不与点 ， 重合），在 同侧分别作等边
和等边 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ，连结 ．以下五
个结论：
① ；② ；③ ；④ 为等边三角形；⑤ ．其中正确的有
．（注 把你认为正确的答案序号都写上）
【分析】①根据全等三角形的判定方法，证出 ，即可得出 ，①正确．
④先证明 ，即可判断出 ，即可得④正确；
②根据 ，可得 为等边三角形，证出 ，得出 ，②正确．
③没有条件证出 ，得出③错误；
⑤ ，⑤正确；即可得出结论．
【解答】解： 和 都是等边三角形，， ， ，
，
，
在 和 中，
， ， ，
，
，结论①正确．
，
，
又 ，
，
，
在 和 中，
， ， ，
，
， ，
又 ，
为等边三角形，结论④正确；
，
，结论②正确．
，
，
，
结论⑤正确．没有条件证出 ，③错误；
综上，可得正确的结论有4个：①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
【点评】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平
行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
3．（2022秋•闽清县期末）如图， ， ， ，则下列结论正确的是：
．（填序号）
① 平分 ；
② ；
③ ；
④ ．
【分析】根据已知 ， ，想到构造一个等腰三角形，所以延长 ，以 为圆心，
长为半径画弧，交 的延长线于点 ，则 ，就得到 ，然后再证明
，就可以判断出 平分 ，再由角平分线的性质想到过点 作 ，交 的延
长线于点 ，从而证明 ，即可判断．
【解答】解：延长 ，以 为圆心， 长为半径画弧，交 的延长线于点 ，则 ，过点
作 ，交 的延长线于点 ，
， ，， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分 ，
故①正确；
，
，
，
故②正确；
， ，
，
， ，
，
，
，
，
故③错误；
，
，
故④正确；故答案为：①②④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，必须根据已知结合图形添加适当的辅助
线是解题的关键．
4．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，在 △ 中， ，以 为边，作△ ，满足
，点 为 上一点，连接 ， ，连接 ．下列结论中正确的是
．（填序号）
① ；
② ；
③若 ，则 ；
④ ．
【分析】因为 ，且 ，所以需要构造 2 倍的 ，故延长 至 ，使
，从而得到 ，进一步证明 ，且 ，接着证明△ △
，则 ， ，所以②是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正
确的，设 ，则 ，因为 ，所以 ，接着用 表示出
，再计算出 ，故③是正确的，当 时，可以推导出 ，否则 不
垂直于 ，故①是错误的．
【解答】解：如图，延长 至 ，使 ，设 与 交于点 ，
，
，
垂直平分 ，
， ，，
，
，
，
在△ 与△ 中，
，
△ △ ，
， ，
②是正确的；
，
，
平分 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则无法说明 ，
①是不正确的；
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
，
③是正确的；
△ △ ，
，
，
，④是正确的，
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，通过二倍角这一条件，构造两倍的 ，是本题的突破
口，也是常用方法，同时，要注意本题设参数导角，对学生分析数据的能力有一定要求．
5．（2022秋•黄岛区校级期末）如图， ， 的内角 的角平分线 与 的
外角平分线交于点 ， 的外角 的角平分线与 的反向延长线交于点 ，以下结论：
① ；② ；③ ；④ 平分 ；⑤ ．
其中正确的结论有 ．（填序号）
【分析】根据等腰三角形的性质，角平分线的定义和性质、三角形内角和定理逐项进行判断即可．
【解答】解：如图，过点 作 于 ， 交 的延长线于点 ， 于 ，过点
作 于 ，
是 的平分线，
，
是 的平分线，
，
，
是 的平分线，即 ，
，
，
， ，
，
，
因此①正确；
平分 ， 平分 ， ，
，
即 ，
因此②正确；
是 的平分线，
，
是 的平分线，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
因此③正确；
，而
与 不一定相等，
因此④不正确；
，
，，
，
，
因此⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①②③⑤，
故答案为：①②③⑤．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的定义和性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性
质，角平分线的定义和性质、三角形内角和定理是正确解答的前提．
6．（2023秋•广阳区校级期末）如图，点 是正方形 的对角线 上一点， 于点 ，
于点 ，连接 ， ．给出下列五个结论：① ；② ；③ ；④
一定是等腰三角形；⑤ ．其中正确结论的序号是 ．
【分析】可以证明 ，即可证得①③是正确的，根据三角形的内角和定理即可判断⑤正确；根
据 的任意性可以判断②④的正确性．
【解答】解：延长 交 于点 ，延长 交 于点 ．
四边形 是正方形．
又 ， ，四边形 是正方形， ，
，
在 与 中，
，
，
， （故①③正确）；
与 中， ，
，（故⑤正确）；
是 上任意一点，因而 是等腰三角形和 不一定成立，（故②④错误）；
故正确的是：①③⑤．
故答案为：①③⑤
【点评】本题主要考查了正方形的性质，正确证明 ，以及理解 的任意性是解决本题的关键．
7．（2022秋•东西湖区校级期末）如图，在四边形 中， ．若 的角平分线 交
于 ，连接 ，且 边平分 ，得到如下结论：① ；② ；③ ；
④ ；⑤若 ，则 的取值范围为 ，那么以上结论正确的是 ．
（填序号）
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得 ，又 、 都是角平分线，可以推出 ，从而得到 ，然后延长 交 的延长线于点 ，先证明 与
全等，再根据全等三角形对应边相等得到 ，然后证明 与 全等，从而可以证明
①②⑤正确， 与 不一定相等，所以③④不正确．
【解答】解： ，
，
、 分别是 与 的平分线，
， ，
，
，
故①小题正确；
如图，延长 交 延长线于 ，
，
，
平分 ，
，
在 与 中，
，
，
， ，
，
，在 与 中，
，
，
，
，故②小题正确；
，
，即点 为 的中点，
与 不一定相等
与 不一定相等，故③小题错误；
若 ，则 是 斜边上的中线，则 ，
与 不一定相等，
与 不一定相等，故④小题错误；
， ，
的取值范围为 ，故⑤小题正确．
综上所述，正确的有①②⑤．
故答案为：①②⑤．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，角平分线的定义，证明 并作
出辅助线是解题的关键，本题难度较大，对同学们的能力要求较高．
