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6.3 利用递推公式求通项（精讲）
一．公式法求通项
1.条件特征：前n项和与项或项数的关系
2.解题思路
①当n＝1时，由a＝S 求a 的值．
1 1 1
②当n≥2时，由a＝S－S ，求得a 的表达式
n n n－1 n
③检验a 的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示a．
1 n
④写出a 的完整表达式．
n
二．累加法
1. 条件特征：a −a =f(n)
后 前
2. 解题思路
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】三．累乘法
1.条件特征：
2.解题思路
四．构造法
1.形如a ＝pa＋q，p≠0，其中a＝a型
n＋1 n 1
(1)若p＝1，数列{a}为等差数列；
n
(2)若q＝0，数列{a}为等比数列；
n
(3)若p≠1且q≠0，数列{a}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．
n
方法如下：设a ＋λ＝p(a＋λ)，得a ＝pa＋(p－1)λ，
n＋1 n n＋1 n
又a ＝pa＋q，所以(p－1)λ＝q，即λ＝(p≠1)，所以a ＋＝p，
n＋1 n n＋1
即构成以a＋为首项，以p为公比的等比数列．
1
2.形如a ＝pa＋qn(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)型
n＋1 n
（1）一般地，要先在递推公式两边同除以qn＋1，得＝·＋，引入辅助数列{b}，得b ＝·b ＋，再用待定系
n n＋1 n
数法解决；
（2）也可以在原递推公式两边同除以pn＋1，得＝＋·，引入辅助数列{b}，得b －b＝，再利用叠加法(逐
n n＋1 n
差相加法)求解．
3.形如a ＝pa＋qa ，其中a＝a，a＝b型
n＋1 n n－1 1 2
可以化为a －xa ＝x(a －xa )，其中x ，x 是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接
n＋1 1 n 2 n 1 n－1 1 2
构造数列{a－a }，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{a}．
n n－1 n
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4. 形如a ＝型
n＋1
两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为b ＝pb＋q型，求出的表达式，再求a．
n＋1 n n
考法一 公式法求通项
【例1-1】（2022·四川·什邡中学）数列 的前 项和 ，则它的通项公式是_______．
【答案】
【解析】当 时， ，
当 时，
经检验当 时不符合，所以 ，故答案为： ，
【例1-2】（2023春·安徽合肥）已知数列 的前 项和 ，则 的通项公式
【答案】
【解析】令 ，则 ，解得 ，
当 时， ，则 ，即 ， ，
所以数列 是以1为首项， 为公比的等比数列，所以 ．
【例1-3】（2022·全国·高三阶段练习（理））已知数列 满足 ，
，则数列 的通项公式为___________.
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】当 时， .
当 时， ，①
.②
① ②，得 .
因为 不满足上式，所以
故答案为：
【一隅三反】
1．（2023陕西）已知数列 前 项和为 ，且 ，则求数列 的通项公式；.
【答案】 ， .
【解析】当 时， ，
当 且 时， ，
而 ，即 也满足 ，
∴ ， .
故答案为： ， .
2．（2023·全国·高三专题练习）记 为数列 的前n项和，若 ，则 ______
【答案】
【解析】由题得，当 时， ，解得 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ①， ②，
① ②得 ，则 ，
则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，则 ，故 ．
故答案为： .
3．（2023云南）已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 求 的通项公
式：
【答案】
【解析】由已知条件可知，对任意的 ， .
当 时， ，解得 ；
当 时，由 可得 ，
上述两式作差得 ，即 ，
即 ，
由已知条件可知 ， ，
所以，数列 是等差数列，且首项为 ，公差也为 ，因此，
4．（2023春·安徽）在数列 中 ，当 时， ，则其通项公式为
___．
【答案】
【解析】当 时， ，当 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】两式相减得 ，即 ，
因此 ，即 ，于是 ，当 时也成立，n＝1时不成立，
所以 ．故答案为：
考法二 累加法求通项
【例2-1】（2023春·北京）若数列 满足 ，则通项公式为 __________.
【答案】
【解析】因为 ，
所以当 时， ，
当 时， ，满足 ，所以 ，故答案为： .
【例2-2】（2023春·安徽马鞍山）在数列 中， ， ，则
【答案】
【解析】由 得： ， ，…，
， ，将各式相加得： ，则
【例2-3】（2023江苏）已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式 ；
【答案】
【解析】因为 ，所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ， ，…， ，
所以 ，
于是 .当 时， ，所以 .
【一隅三反】
1．（2023春·江苏盐城）设等差数列 满足 ， ，且 ， ，则
【答案】
【解析】设等差数列 的公差为 ，由 可得， ，解得 ，
所以 .则 ，
所以当 时，
有 ，
当 时， ，满足上式，所以 ，
2．（2023北京）设数列 满足 ，则 =_______.
【答案】
【解析】因为数列 满足 ， ，
所以当 时，
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ， ，因为 ，也满足上式，
所以数列 的通项公式为 ， 故答案为：
3．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列 满足 ， ，则数列 的通
项公式为______．
【答案】
【解析】 ，两边同除 得： ，
所以 ，即 ，
化简得 ，∵ ，∴ ．故答案为： .
考法三 累乘法求通项
【例3-1】（2023海南）已知在数列 中， ，求数列 的通项公式
【答案】
【解析】 ，即 ，
【例3-2】（2023春·广东佛山·）已知 ， ，则数列 的通项公式是
【答案】2n
【解析】由 ，得 ，即 ，
则 ， ， ，…， ，由累乘法可得 ，因为 ，所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
【一隅三反】
1．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 满足 ， ，则 的通项公式为
___________．
【答案】
【解析】因为数列 满足 ， ，则 ，
所以，当 时， ，
也满足 ，所以，对任意的 ， ．故答案为：
2．（2023黑龙江）设数列 是首项为1的正项数列，且 ，则它的通项公式
______.
【答案】
【解析】由 ，则
又数列 为正项数列，即 ，
所以 ，即
所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：
3．（2023·广东深圳）数列 满足： ， ，则数列 的通项公式
【答案】
【解析】因为 ①；
当 时， ②；
①减②得 ，即 ，所以
，所以 ，所以
所以 ， ， ，……， ，
所以 ，所以 ，又 ，所以 ，
当 时 也成立，所以 故答案为：
考法四 构造等比数列
【例4-1】（2023·吉林）已知数列 中， ，且 （ ，且 ），则数列 的通
项公式为__________．
【答案】
【解析】由 ，得 ，即 由所以 ，
于是数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列，因此 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ,此式满足 ，所以数列 的通项公式为 .故答案为： .
【例4-2】（2023·北京）已知数列 满足 ，则数列 的通项公式为
_____________.
【答案】
【解析】解法一：设 ，整理得 ，可得 ，
即 ，且 ，
则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ；
解法二：(两边同除以 ) 两边同时除以 得： ，
整理得 ，且 ，
则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ；
解法三：(两边同除以 )两边同时除以 得： ，即 ，
当 时，则
，
故 ，
显然当 时， 符合上式，故 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为： .
【例4-3】（2023·辽宁抚顺市）已知 是数列 的前 项和， ， ，
，求数列 的通项公式 ；
【答案】
【解析】证明：因为 ，所以 ，即 ．
因为 ， ，所以 ，
故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ．
因为 ，
所以 ．
【一隅三反】
1．（2023广西）若数列 满足 ，且 ，则数列 的通项公式为 _________.
【答案】
【解析】由 ，则 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，故答案为：
2.（2023黑龙江）已知数列 的前 项和为 ，且 ，求数列 的通项公式 ；
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】当 时， ，
当 时， ，
两式相减得 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
则 ，所以 .故答案为：
3（2023湖北）设 为数列 的前 项和， ，且 ，数列 的通项公式 ；
【答案】
【解析】 ， ，
又 ，故数列 是首项为2，公比为2的等比数列，则 ， ，
当 时， ，故 .
考法五 构造等差数列
【例5-1】（2023春·云南临沧）已知数列 中， 数列 的通项公式
【答案】
【解析】因为 ，可得 ，
因为 ，则 ，即 ，可得 ，
对任意的 ，所以 ，等式两边取倒数可得 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以，数列 为等差数列，且其首项为 ，公差为1，
所以 ，故
【例5-2】（2023河北）已知数列 的首项 ，且各项满足公式 ，则数列 的
通项公式为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】因为数列 的首项 ，且各项满足公式 ，则 ， ， ，
以此类推，对任意的 ， ，
由 可得 ，所以， ，
所以，数列 是等差数列，且首项为 ，公差为 ， ，因此，
【例5-3】（2022·江西）已知数列 满足： ， （ ， ），则
___________.
【答案】
【解析】由题设， ，即 ，而 ，
∴ 是首项、公差均为 的等差数列，即 ，∴ .故答案为：
【一隅三反】
1．（2023·安徽）已知数列 满足 ，求数列 的通项公式 ．
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【解析】 为等差数列，
首项 ，公差为 ， .
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 中， ， ．求数列 的通项公式
；
【答案】
【解析】因为 ， 所以令 ，则 ，解得 ，
对 两边同时除以 ，得 ，
又因为 ，所以 是首项为1，公差为2的等差数列，所以 ，所以 ；
3（2023广东湛江）已知数列 中， ， ，求数列 的通项公式 .
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，∴数列 是等差数列，公差为 ，又 ，
∴ ，∴ .
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