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6.4 求和方法（精讲）
一．公式法：直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．
1.等差数列的前n项和公式S＝＝na＋d．
n 1
2.等比数列的前n项和公式S＝
n
二．裂项相消法
1.通项特征
（1）分式：分为可拆成偶数个同类因式相乘
（2）根式：利用平方差公式进行有理化
2.解题思路
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】三．错位相减法
1.通项特征
或
2.解题思路
四．分组转化求和法
1.通项特征
(1)若a＝b±c，且{b}，{c}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a}的前n项和．
n n n n n n
(2)若a＝且数列{b}，{c}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．
n n n
2.解题思路
五．并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和
1.通项特征
形如a＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
n
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2.解题思路
五．倒序相加法
如果一个数列{a}的前n项中，与首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前 n项和即可
n
用倒序相加法求解
1．并项求和时不能准确分组；
2．用错位相减法求和时易出现符号错误，不能准确“错项对齐”；
3．在应用裂项相消法求和时，要注意消项的规律具有对称性，即前面剩多少项，后面就剩多少项，且前
后对应项的符号相反．
考法一 裂项相消求和
【例1-1】（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知等差数列 的公差为正数，且
，若 分别是等比数列 的前三项．
(1)分别求数列 、 的通项公式；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)求数列 的前 项之和 ．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，因为 ， ， 是等比数列 的前三项，
所以 ，即 ，
化简得 ，又 ，所以 ．得 ．
由（1），可得数列 的前三项分别为 ， ， ，
显然该等比数列 的公比为3，首项为3．
所以 ．综上，两数列的通项公式分别为 ．
（2） ．
则
【例1-2】（2023·广东广州·统考三模）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和 ，求证： ．
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】（1）因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，又 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．所以 .
（2） ，
故数列 的前 项和 ，
因为 ，所以 ，所以 ．
【例1-3】（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， 且
.
(1)求数列 的通项公式;
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)
【解析】（1）因为 ，
当 时， ，
当 时， ，所以 ，即 ，
又因为 ，满足上式，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，则 .
（2）因为 ，
所以 .
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和
称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如 的一阶和数列是 ，设它的n阶和数列各
项和为 ．
(1)试求 的二阶和数列各项和 与三阶和数列各项和 ，并猜想 的通项公式（无需证明）；
(2)若 ，求 的前n项和 ，并证明： ．
【答案】(1) ， ，
(2) ，证明见解析
【解析】（1）由题意得，
，
，
，
，
…
，
由等比数列的前n项和公式可得， ，
所以 的通项公式 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由于 ，
所以 ，
则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又 随n的增大而减小，
所以当 时， 取得最大值 ，故 ．
2．（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知数列 满足 ．
(1)证明 为等差数列，并 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【解析】（1）证明：因为 ，所以 ，即
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，则 ，
所以 ；
（2）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
3．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）数列 中，
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明 .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）因为 ，即 ，
所以当 时， ，
将以上各式相加，得 ，则 ，
当 时也符合上式，故 .
（2）由题意 .
所以
4．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）设 为数列 的前 项和，已知 ，且满足
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 为数列 的前 项和，当 时， ．若对于任意 ，有 ，求 的取值
范围．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1) (2)
【解析】（1） ，
∴ ， ，
∴ ,
∴当 时， ；
当 时，也符合上式，
∴ ．
（2） ，
∵
，
∴ ，
当 时，满足 ，
当 时，存在 ，（其中， 表示不超过 的最大整数），
使得 ，则 ，
∴ ，不满足条件，∴ ．
考法二 错位相减求和
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例2】（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）已知数列 满足 ， （
）.记
(1)求证： 是等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由已知，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴易知数列 中任意一项不为 ，∴ ，∴数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）由第（1）问， ，∴ ，∴设数列 的前 项和为 ，则
①，
① 得，
②，
① ②得，
，
∴ ，
∴ .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴数列 的前 项和为 .
【一隅三反】
1．（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 ，
所以当 时， ，所以 ，
又当 时， ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以 是首项为 ､公比为 的等比数列，
所以 的通项公式为 .
（2）由（1）知 ，
所以 ，
所以 ，
两式相减，得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
所以 .
2．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知正项数列 的前 项和为 ，满足
，数列 的前 项积为 !.
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ，
(2)
【解析】（1）因为 ，①
当 时，可得 ，
当 时， ，②
由① ②得 ，
因为 ，所以 ，
所以 为常数，
所以 是首项为2，公比为2的等比数列，
所以 ；
由于数列 的前 项的乘积为 !，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，得 ；
当 时，得 .
又因为 符合通项，
所以 .
（2）由（1）可知， ，
则 ，①
即 ，②
则①-②得： ，
即 .
3．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）记正项数列 的前 项和为 ，已知点 在函数
的图象上，且 ，数列 满足 ， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ；
(2)
【解析】（1）因为点 在函数 的图象上，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，所以 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ， ，
两式相减得： ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ；
由 知， 是以 为公比的等比数列，又 ，
所以 .①
（2）因为 ，
，
，
两式相减可得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 .
考法三 分组转化求和
【例3-1】（2023秋·宁夏银川·高三校考期末）已知数列 是等差数列， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1） ，故 ，故 .
（2） ，
.
【例3-2】（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知等差数列 满足 ， ．
(1)求 ；
(2)数列 满足 ， 为数列 的前 项和，求 ．
【答案】(1)
(2)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）设等差数列 的公差为d，
因为 ， ．则 ，解得 ，
所以 ．
（2）由（1）可得 ，
则
，
所以 .
【一隅三反】
1．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）设 为公差不为0的等差数列 的前 项和，若 成等比数
列， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）设等差数列 的公差为 由 成等比数列可得 ，所以
，所以 ，
因为 ，所以 .①又 ，所以 ，②所以 ，
联立①②得 ，所以数列 的通项公式 .
（2）由（1）知 ，所以
.
2．（2023·广东深圳·校考二模）已知 是等差数列， ， ，且 ， ， 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，记 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 是等差数列， ， ，且 ， ， 成等比数列，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以 ．
（2）由题意 知， ，
所以
．
当 为偶数时，
，
当 为奇数时，
．
综上 ．
3．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知数列 的前 项和 满足 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）因为 ，当 时 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，即 是常数数列，又 ，所以 ，则 .
（2）因为 ，
当 为偶数时，
；
当 为奇数时，
；
综上可得 .
考法四 并项求和
【例4-1】（2023·广东韶关·统考模拟预测）设等比数列 的前 项和为 ，已知 ， .
(1)求数列 的通项公式；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设等比数列 的公比为 ，
①， ，
当 时，有 ，
当 时， ②，
由① ②得 ，即 ，
， ，
，
；
（2）由（1）得 ，则 ，
， ，
，
．
【例4-2】（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在数列 中， ，当 时，
(1)求证：数列 是等差数列；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)设 ，数列 的前n项和为 ，求
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为 ，
所以 ，两边同除以 ，得 ，
所以 是以 为首项，1为公差的等差数列.
（2）由（1）知， ，整理得： ，
则 ，
当n为偶数时， ，
当n为奇数时， ，
所以 .
【例4-3】（2023·江苏苏州·校联考三模）已知数列 是公差不为0的等差数列， ，且 成等
比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前2023项和.
【答案】(1)
(2)1012
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，由题意可知，
即
解得 ，所以 ；
（2）由（1）可知， ，
对于任意 ，有 ，
所以 ，
故数列 的前2023项和为
.
【一隅三反】
1．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和 ，其中 ，且
.
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前2023项和 .
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 ，则 ，由 ，可得 ，
当 时，则 ，整理得 ，即 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，则 ，可得 ，
整理得 ，
因为 ，则 ，
可得 ，即 ，
故数列 是以首项为1，公差为2的等差数列，
所以 .
（2）由（1）可得： ，
当 为偶数时，则 ，
所以
，
即 .
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知 的面积为1，点D，E，F分别为线段 ， ， 的
中点，记 的面积为 ；点G，H，I分别为线段 ， ， 的中点，记 的面积为 ；…；
以此类推，第n次取中点后，得到的三角形面积记为 ．
(1)求 ， ，并求数列 的通项公式；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意可知 , ，...，
由此可知 ，故 是以公比为 的等比数列，所以 .
（2）由 得 ， ，
当 为偶数时，
，
当 为奇数时， ，
故 .
3．（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）记 为数列 的前 项和，已知 ，且满足
.
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）方法1：
，
时， ，
累加得： ，
时也成立， .
， 是等差数列
方法2：
，
，
为常数数列， ，
， ， 是等差数列.
方法3：
当 时， ①，
②，
②-①可得：
，
是等差数列，因为 .
（2）由（1）知 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】方法1：并项求和
当 为偶数时，
，
方法2：错位相减求和
①
②
①-②：
考法五 倒序相加求和
【例5】（2023春·广西防城港·高三统考阶段练习）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，
并享有“数学王子”之称．小学进行 的求和运算时，他这样算的： ，
，…， ，共有50组，所以 ，这就是著名的高斯算法，课本上推导等
差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列 是公比不等于1的等比数列，且 ，
试根据以上提示探求：若 ，则 （ ）
A．2023 B．4046 C．2022 D．4044
【答案】B
【解析】根据等比数列的下标性质由 ，
∵函数 ，∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，∴ ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：B
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 为奇函数，且 ，若 ，则数
列 的前2022项和为（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【答案】B
【解析】由于函数 为奇函数，则 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
所以
因此数列 的前2022项和为 ．
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ，且 ，设函数
，则 ______．
【答案】 /
【解析】∵ ①，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴当 时， ②，
①－②得 ，∴ ；
当 时， ，∴ ，此时 仍然成立，
∴ ．
∴当n=1时， ；
当 时， ，
当n=1时，上式也成立，故 ．
由于 ，
设
则 ，
∴ ．
故答案为： ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
