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6.4 求和方法（精练）
1．（2023·江苏苏州·模拟预测）2022年11月8日，著名华人数学家张益唐教授以视频方式作学术报告，
与北大数学师生分享他围绕“朗道—西格尔零点猜想”所做的研究工作，他在“大海捞针”式的研究过程
中提出的新想法是基于一个简单的代数恒等式： .已知数列 的通项公式为
，则其前9项的和 等于（ ）
A．13280 B．20196 C．20232 D．29520
【答案】B
【解析】 ，
.故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）我们都听说过一个著名的关于指数增长的故事：古希腊著名的数学家、思
想家阿基米德与国王下棋.国王输了，问阿基米德要什么奖赏？阿基米德说：“我只要在棋盘上的第一格放
一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒……按此方法放到这棋盘的第64个格子就行了.”通
过计算，国王要给阿基米德 粒米，这是一个天文数字. 年后，又一个数学家小
明与当时的国王下棋，也提出了与阿基米德一样的要求，由于当时的国王已经听说过阿基米德的故事，所
以没有同意小明的请求.这时候，小明做出了部分妥协，他提出每一个格子放的米的个数按照如下方法计算，
首先按照阿基米德的方法，先把米的个数变为前一个格子的两倍，但从第三个格子起，每次都归还给国王
一粒米，并由此计算出每个格子实际放置的米的个数.这样一来，第一个格子有一粒米，第二个格子有两粒
米.第三个格子如果按照阿基米德的方案，有四粒米；但如果按照小明的方案，由于归还给国王一粒米，就
剩下三粒米；第四个格子按照阿基米德的方案有八粒米，但如果按照小明的方案，就只剩下五粒米.“聪
明”的国王一看，每个格子上放的米的个数都比阿基米德的方案显著减少了，就同意了小明的要求.如果按
照小明的方案，请你计算 个格子一共能得到（ ）粒米.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】D
【解析】按照小明的方案，设第 个格子放的米粒数为 ，其中 ，
则数列 满足： ， ， ，
所以，当 时， ，
故数列 是从第 项开始成以 为公比的等比数列，且 ，
所以， ，则 ，
所以，数列 的前 项和为
.故选：D.
3．（2023·广东广州·统考三模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若
是公差不为零的等差数列，则称数列 为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各
层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层
放10个小球， ，则第40层放小球的个数为（ ）
A．1640 B．1560 C．820 D．780
【答案】C
【解析】设第 层放小球的个数为 ，由题意 ， ，……，数列 是首项为2，公
差为1的等差数列，所以 ．
故 ，故 ．故选：C．
4．（2023·安徽淮南·统考二模）我国古代数学在宋元时期达到繁荣的顶点，涌现了一大批卓有成就的数学
家，其中朱世杰与秦九韶、杨辉、李冶被誉为我国“宋元数学四大家”.朱世杰著有《四元玉鉴》和《算学
启蒙》等，在《算学启蒙》中，最为引人入胜的问题莫过于堆垛问题，其中记载有以下问题：“今有三角、
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】四角果子垛各一所，共积六百八十五个，只云三角底子一面不及四角底子一面七个，问二垛底子一面几
何？”其中“积”是和的意思，“三角果子垛”是每层都是正三角形的果子垛，自上至下依次有1，3，
6，10，15，…，个果子，“四角果子垛”是每层都是正方形的果子垛，自上至下依次有1，4，9，
16，…，个果子，“底子一面”指每垛最底层每条边”.根据题意，可知该三角、四角果子垛最底层每条边
上的果子数是（ ）（参考公式： ）
A．4，11 B．5，12 C．6，13 D．7，14
【答案】B
【解析】设三角果子垛自上至下依次为 ，
当 时，所以
，且 时 ，
所以三角果子垛第 层的果子数为 ，
四角果子垛第 层的果子数为 ，
设三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数分别为 ，
所以三角果子垛各层果子总和为 ，
四角果子垛各层果子总和为 ，由题意
，
即 ，
解得 ，所以该三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数分别是 .故选：B.
5．（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王
子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行
的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一
定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项 ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（ ）
A．98 B．99 C．100 D．101
【答案】C
【解析】由已知，数列通项 ，所以
，
所以 ，
所以 .
故选：C.
6．（2023·江西南昌·统考三模）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领
域，在数论､代数学､非欧几何､复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过
很多高斯的数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法等等.已知某数列的通项 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 当 时， ，
，
， ，
， ，即 .故选：D．
7．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的
求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，
第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个 第n层放 个物体堆成的堆垛，则
______．
【答案】 /
【解析】依题意，在数列 中， ，
当 时， ， 满足上式，
因此 ， ，数列 的前 项和为 ，
则 ，
所以 .
故答案为：
8．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的
高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对
的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现
一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数 ，设数列 满足
，若 ，则 的前n项和 _________．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【解析】由 得，
，
由 ，
得 ，
故 ，
故 ，
所以 ，
则 ，
两式相减得：
故 ，
故答案为：
9．（2023·全国·高三专题练习）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把
纸对折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ， 两种规格的图形，
它们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，
它们的面积之和 ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折
次，那么 ______ .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】 5
【解析】（1）由对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，所以对着
三次的结果有： ，共4种不同规格（单位 ；
故对折4次可得到如下规格： ， ， ， ， ，共5种不同规格；
（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积
成公比为 的等比数列，首项为120 ,第n次对折后的图形面积为 ，对于第n此对折后的
图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为 种（证明从略），故得猜想 ，
设 ，
则 ，
两式作差得：
，
因此， .
故答案为： ； .
10．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）正项数列 中， ， ， 的前n项和为 ，从下面
三个条件中任选一个，将序号填在横线______上．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】① ， ；
② 为等差数列；
③ 为等差数列，试完成下面两个问题：
(1)求 的通项公式；
(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）选①： ，设 ，
则n为奇数时， ，
，设 ，则n为偶数时， ，
所以 .
选②： 的第1项为 ，第2项 ，
则 ，则 .
选③: 为等差数列， ， ，
则 ，
则 ， ，
则 ，经检验 也成立，所以 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）证明：由（1）可得 ，
则 ，
则
11．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）已知正项数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求 ；
(2)在数列 的每相邻两项 、 之间依次插入 、 、 、 ，得到数列 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、 ，求 的前 项和 ．
【答案】(1) ， ．(2)
【解析】（1）解：对任意的 ，因为 ，
当 时，
，
因为 ，所以 ，故 ．
当 时， 适合 ，
所以 ， ．
（2）解：因为 ， ，
所以当 时， ，
所以， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以，数列 的前 项分别为： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、
、 ，
12．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列 满足 ．
(1)证明 是等比数列；
(2)若 ，求 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由题意得 ．
又因为 ，所以 ．
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（2）由（1）得 ．
所以 ．
所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
13．（2023·辽宁辽阳·统考二模）在①2 ，② 这两个条件中任选一
个，补充在下面问题中，并作答．问题：设数列 的前 项和为 ，且__________．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）选①，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
则 .
因为 满足上式，所以 .
选②，因为 ，所以 ，
所以 .
因为 满足上式，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，因为 满足上式，所以 .
（2）由（1）可得 ，则
14．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，求 的通项公式.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）解：设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
由 ，所以 ，解得 ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）解：由（1）得 ，
所以 ，
所以
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】15．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）设 为数列 的前n项积．已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】（1）依题意， 是以1为首项，2为公差的等差数列，则 ，
即 ，当 时，有 ，两式相除得， ，
显然 ，即 ，因此当 时， ，即 ，
所以数列 的通项公式 .
（2）设 的前 项和为 ，由（1）得， ，于是 ，
因此 ，
则 ，
所以数列 前 项和为 .
16．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知数列 的首项 ，且满足 .
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析(2)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）由 ，可得 ，
又 ，所以 是以3为首项，2为公差的等差数列；
（2）由（1）知： ，
所以 ，
所以 ，
所以
.
17．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在公差不为零的等差数列 中， 且 ， ，
成等比数列．
(1)求通项公式 ；
(2)令 ，求数列 的前 项和 ；
【答案】(1) ， ；(2) ．
【解析】（1）由题意，设等差数列 的公差为 ， ， ， 成等比数列， ，
， 又 ， ，解得 ，
， ；
（2）由（1），可得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
．
18．（2023·山东烟台·统考三模）已知数列 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由 得， ，
所以 时， ，
故 ，又 ，则 ，当 时， 成立，
所以， ．
（2）由（1）知， ，
所以，
，
因为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】于是 ，
所以， ．
故数列 的前 项和为 ．
19．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）已知数列 满足 ，(1)求数列 的通项公
式；
(2)设 ，求数列 的前40项和.
【答案】(1) (2)784
【解析】（1）由题意易得 ，由 可得 ，
所以数列 是公差为2的等差数列.故 ，即 .
（2）由（1）知， .所以 的前40项和
.
20．（2023·陕西西安·校考模拟预测）正项数列 的前n项和为 ，已知 ．
(1)求证：数列 为等差数列，并求出 ， ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)若 ，求数列 的前2023项和 ．
【答案】(1) ； ；
(2) .
【解析】（1）由 可得， ，
又因为 为正项数列 的前n项和，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，数列 为等差数列，
所以 ， ， ，所以 .
（2） ，
.
21．（2023·重庆万州·统考模拟预测）在① ；② ， 与 都是等比数列；③
，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
已知数列 的前n项和为 ，且______．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
注：如果选择多个条件分别作答，则按所作第一个解答计分．
【答案】(1)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
【解析】（1）若选①：当 时， ，解得 ；
当 时， ， ，
两式相减得： ，
即 ，所以 ，
所以数列 是以 为首项，4为公比的等比数列.
所以 .
若选②： 都是等比数列，设 的公比为： ，
因为 是等比数列， ，
即 ，解得 （舍去）或 ，
因为 ，所以 .
若选③：当 时， ，解得 ；
当 时， ， ，
两式相减得： ，所以
所以 ，当 时，符合 ，
故 .
（2）由（1）可知： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
所以数列 的前n项和为：
，
，
两式相减得： ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
22．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知数列 的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和
公比都是 ，若对满足 的任意正整数 ， ，均有 成立．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）对满足 的任意正整数 ， ，
均有 成立，
令 ，则 即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ， ，得 ，
，
，
解得 ， ，
由题意数列 的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且公差和公比都是 ，
，即 ，
（2）由 1 知 ，
则 ，
，
，
．
23．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，
.
(1)求证：数列 为等比数列，并求出数列 的通项公式;
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】从① 和② 这两个条件中任意选择一个填入上面横线上，
并完成解答.注:若选择多个条件作答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)证明见解析，
(2)答案见解析
【解析】（1）依题意可得 ，
两式相减并化简得 ，所以
又 ， ，解得 .
所以 ，故
由于 ，所以 ，于是 .
故数列 是首项为3，公比为3的等比数列
，即
（2）选①: 由（1）得 ，则
两式相减得：
所以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】选②: 由（1）得 ，所以
（i）当 为偶数时，
（ii）当 为奇数时，
综上所述
24．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知 为正项等差数列， 为正项等比数列，
其中 ，且 ， 成等比数列， ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和．
【答案】(1) ，
(2)
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，则 ．
因为 ，且 成等比数列，
所以 解得 或 （舍去）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ．
因为 ，即 ，可得 或 （舍去），
所以 ．
（2） ，记 的前 项和为 ，
，①
，②
由①-②，得
，
所以 ．
25．（2023春·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）已知数列 为等差数列，且 ，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设数列 的公差为 ，则 ，即 ，则 ，
则数列 为等比数列，设其公比为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ， 得 ，解得 ，
所以 .
（2）由（1）得 ，
，
，
所以 ，
所以 .
26．（2023·全国·统考高考真题）设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
当 时， ，所以 ，
化简得： ，当 时， ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时都满足上式，所以 ．
（2）因为 ，所以 ，
，
两式相减得，
，
，即 ， ．
27．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）设数列 的前 项和为 ，已知 ，且
数列 是公比为 的等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求其前 项和
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 ，
所以由题意可得数列 是首项为1，公比为 的等比数列，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，即 ，
所以 ，
两式作差得： ，
化简得： 即 ，
所以 ，
所以数列 是以 为首项，以3为公比的等比数列，
故数列 的通项公式为 ；
（2）方法一：
设 ，
则有 ，比较系数得 ，
所以
所以 ，
所以 ，
所以 .
方法二：
因为 ，
所以 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以
，
所以 .
28．（2023·山东潍坊·三模）已知数列 和 满足 ．
(1)证明： 和 都是等比数列；
(2)求 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为 ， ，
所以 ， ，
又由 ， 得 ， ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
（2）由（1）得 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】29．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知等比数列 的公比 ，前n项和为 ，满足：
.
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）法一：
因为 是公比 的等比数列，
所以由 ，得 ，即 ，
两式相除得 ，整理得 ，即 ，
解得 或 ，又 ，所以 ，故 ，
所以 ，
法二：因为 是公比 的等比数列，
所以由 得 ，即 ，则 ， ，解得 或
（舍去），
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，则 ，所以 .
（2）当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ，
所以
.
30．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，且
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2) ．
【解析】（1） ，
当 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】两式相减可得， ，
故等比数列 的公比为 ，
，
，
故数列 的通项公式为 ．
（2）由 得： ， ，
故 ，即 ，
，
，
得： ，
故 ．
31．（2022春·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）已知数列 ， ， 为数列 的前n项和，
，若 ， ，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 的通项公式为 ，令 为 的前n项的和，求 .
【答案】(1) ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
【解析】（1）解： ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 是公比为2，首项为2的等比数列，
， ，
，
综上， 是公差为1，首项为1的等差数列，
．
（2）解：令 ，
① ②，得 ，
，
．
32．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）数列 满足 ，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，求使 成立的最小正整数 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意知 ，可得 ，即
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，可得 ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）解：由 ，可得 ，
当 为偶数时， 为偶数，当为奇数时， 为奇数，
所以 ，
所以 前 项的和 ，
所以 ，
所以 ，不合题意，
又因为 ，且 ，
所以使 的最小值为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2022·全国·高三专题练习）设 ， 为数列的前n项和，求 的值是（ ）
A． B．0 C．59 D．
【答案】A
【解析】令 ①
则 ②
①+②可得： ，
， . .
故选：A
2．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）（多选）如图，杨辉三角形中的对角线之和1，1，
2，3，5，8，13，21，…构成的斐波那契数列经常在自然中神奇地出现，例如向日葵花序中央的管状花和
种子从圆心向外，每一圈的数字就组成这个数列，等等.在量子力学中，粒子纠缠态、量子临界点研究也离
不开这个数列.斐波那契数列 的第一项和第二项都是1，第三项起每一项都等于它前两项的和，则
（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】由题设 且 ，
由 ， ， ，...， ，
所以 ，
则 ，A错误；
由 ， ， ，...， ，
所以 ，则 ，B正确；
由 ，则 ，
所以
，C正确；
由 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以
，D正确.
故选：BCD.
3．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）数列 的前1357项均为正数,且有：
,则 的可能取值个数为（ ）
A．665 B．666 C．1330 D．1332
【答案】B
【解析】当 时, ,
因为数列 的前 项均为正数,
所以 ,
设数列 的前 项和为 ,
所以 ①,
则 ②,
②-①得: ,
化简得 ,
若 , ③,
则 ④,
③-④得 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为数列 的前 项均为正数,
所以 ,
即数列 是以 为首项, 为公差的等差数列,
所以 ,
所以 为定值.
由 可得:从 项到 项,连续两项之间有两种情况: 或 ,
根据相反数的立方和为零可得每增加两项，可能结果增加两种；而第1358项有两种可能；
所以最后结果的个数可能为: 种.
故选:B.
4．（2023·全国·高三对口高考）在如图所示的数表中，第 行第 列的数记为 ，且满足 ，
， ，则此数表中的第 行第 列的数是________；记第 行的数 、 、 、
、 、 为数列 ，则数列 的通项公式为________．
第1行 1 2 4 8 …
第2行 2 3 5 9 …
第3行 3 5 8 13 …
… …
【答案】
【解析】由题意可得 ， ，
且 ，则 ；
，记 ，则 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】且 ，
当 且 ，
，
也满足 ，故对任意的 ， ，
则 ，所以， ，且 ，
当 且 ，
，
也满足 ，故对任意的 ， .
故答案为： ； .
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ，设函数
，则 ___________， ___________.
【答案】 /
【解析】由于 ，①，
当 时 ，所以 ，
当 时， ，②，
① ②得： ，
所以 ，显然 时 也成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，
当 时 也成立，所以 ；
根据函数 ，
所以 ， ，
所以 ；
所以
．
故答案为： ；
6．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）在高中的数学课上，张老师教会了我们用如下方法求
解数列的前n项和：形如 的数列，我们可以错位相减的方法对其进行求和；形如
的数列，我们可以使用裂项相消的方法对其进行求和．李华同学在思考错位相减和裂
项相消后的本质后对其进行如下思考：
错位相减：设 ，
综上：当中间项可以相消时，可将求解 的问题用错位相减化简
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】裂项相消：设 或 为公比为1的等比
数列；
①当 时，
②当 为公比为1的等比数列时， ；
故可为简便计算省去②的讨论，
综上：可将求解 的问题用裂项相消转化为求解 的问题
你看了他的思考后虽觉得这是“废话文学”，但是你立刻脑子里灵光一闪，回到座位上开始写下了这三个
问题：
(1)用错位相减的方法“温故”张老师课堂上举的例子，求解数列{ }前n项和 ；
(2)用裂项相消的方法“知新”张老师课堂上举的例子，求解数列{ }前n项和 ；
(3)融会贯通，求证： 前n项和 满 ．
请基于李华同学的思考做出解答，并写出裂项具体过程．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)裂项过程见解析，证明见解析.
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ；
（2）因为 ，设 ，
则 ，所以 ， ，
故
所以 ，
所以 ；
（3）因为 ，设 ，
则 ，
则 ，所以 ，
即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以
所以 ，
所以
7．（2023·全国·统考高考真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ，
的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，而 ，
则 ，
于是 ，解得 ， ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）方法1：由（1）知， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 为偶数时， ，
，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
方法2：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时，若 ，则
，显然 满足上式，因此当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
8．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 是 与 的等差中
项；数列 中 .
(1)求数列 与 的通项公式；
(2)若 ，证明： ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)设 ，求 .
【答案】(1) ， ；
(2)证明见解析；
(3) .
【解析】（1） 是 与 的等差中项， .
当 时， ；
当 时， .
则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，则 ；
当 时， ， 满足上式，
综上， ， ；
（2）由（1），当 时， .
则当 时， 不等式成立；当 时， ；
当 时，
综上， ；
（3） .
则 ，得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
则
9．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）记 为数列 的前 项和，已知 .
(1)求 的通项公式；
(2)设单调递增的等差数列 满足 ，且 成等比数列.
（i）求 的通项公式；
（ii）设 ，证明： .
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii）证明见解析.
【解析】（1）解：因为 ，可得 ，
两式相减可得 ，即 ，
则 ，
又因为 ，可得 ，
所以当 时， ，即 ，
当 时， 不满足上式，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以数列 的通项公式为
（2）解：（i）设数列 的公差为 ，
因为 成等比数列，且 ，
所以 ，
整理得 ，解得 或 ，
因为 ，可得 ，
又因为 ，所以数列 的通项公式为 .
（ii）由（i）知， ，
可得 ，
当 时， ；
当 时，
，
综上可得，对于任意 ，都有 .
10．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知等差数列 与等比数列 的前 项和分别为：
，且满足： ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 求数列 的前 项的和 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1) ；
(2)
【解析】（1） ，解得：
设等差数列 的公差为 ，等比数列 的首项为 ，公比为
， ，
，则：
又 ，得：
（2）
数列 的前 项的和： .
11．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列 各项都不为0， ， ，
的前 项和为 ，且满足 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ， ；
(2)
【解析】（1） 时， ， ，两式相减，可得 ，由题意得 ，
可得 ，则有
当 为奇数时， 为等差数列， ，
当 为偶数时， 为等差数列， ，
（2） ，
，利用倒序相加，可得
，
解得 ，
，
12．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知 是单调递增的等差数列，其前 项和
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】为 . 是公比为 的等比数列. .
(1)求 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
由题意可得： ，解得 或 （舍去），
所以 .
（2）由（1）可得 ，
当 为奇数时，则 ，
设 ，
则 ，
两式相减得
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ；
当 为偶数时，则 ，
设 ，
所以 ；
综上所述： ，
当 为奇数时，则
；
当 为偶数时，则
；
综上所述： .
13．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）2023年4月23日，是中国海军成立74周年74年向海图强，
74年劈波斩浪．74年，人民海军新装备不断增加，新型作战力量加速发展，从“101南昌舰”到“108咸
阳舰”，8艘055型驱逐舰列阵.我国自主研制的075型两栖攻击舰“31海南舰”“32广西舰”“33安徽
舰”也相继正式入列．从小艇到大舰，从近海防御到挺进深蓝大洋，人民海军步履铿锵，捍卫国家主权，
维护世界和平．为了庆祝中国海军成立74周年，某公司设计生产了三款两栖攻击舰模型（分别为“31海
南舰”､“32广西舰”“33安徽舰”），并限量发行若该公司每个月发行300件（三款各100件），一共
持续12个月，采用摇号的方式进行销售．假设每个月都有3000人参与摇号，摇上号的将等可能获得三款
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】中的一款．小周是个“战舰狂热粉”，听到该公司发行两栖攻击舰模型，欣喜若狂．
(1)若小周连续三个月参与摇号，求他在这三个月集齐三款模型的概率；
(2)若摇上号的人不再参加后面的摇号．已知小周从第一个月开始参与摇号，并且在12个月的限量发行中
成功摇到并获得了模型．设他第X个月 摇到并获得了模型，求X的数学期望．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题可知，小周第1个月摇上号的概率为 ，所以小周连续三个月摇上号的概率为
，
小周连续三个月摇上号的前提下，三个月集齐三款模型共有 种情况，三个月获得模型共有 种情况，
所以在小周连续三个月摇上号的前提下，三个月集齐三款模型的概率为 ,
设事件 为“小周在这三个月集齐三款模型”，则 ．
（2）由题意得 ， ，
则 ，
两边同乘 得 ，
两式相减得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
所以 ．
14．（2023·山东烟台·统考三模）现有甲、乙两个袋子，每个袋子中均装有大小、形状、质地完全相同的
个黑球和 个红球，若每次分别从两个袋子中随机摸出 个球互相交换后放袋子中，重复进行 次
此操作．记第 次操作后，甲袋子中红球的个数为 ．
(1)求 的分布列和数学期望；
(2)求第 次操作后，甲袋子中恰有 个红球的概率 ．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【解析】（1）由题知， 的所有可能取值为 、 、 ，
， ， ，
所以， 的分布列为
所以， 的数学期望 ．
（2）由题知，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，
所以， ，
整理得， ，
所以， ，
又因为 ，所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以， ，
所以， ，即 .
所以 的前 项是由 个 与 个 组成．所以 ．
15．（2023·山东泰安·统考模拟预测）现有一种不断分裂的细胞 ，每个时间周期 内分裂一次，一个
细胞每次分裂能生成一个或两个新的 细胞，每次分裂后原 细胞消失，设每次分裂成一个新 细胞的
概率为 ，分裂成两个新 细胞的概率为 ；新细胞在下一个周期 内可以继续分裂，每个细胞间相互
独立.设有一个初始的 细胞，在第一个周期 中开始分裂，其中 .
(1)设 结束后， 细胞的数量为 ，求 的分布列和数学期望；
(2)设 结束后， 细胞数量为 的概率为 .
（i）求 ；
（ii）证明： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i） ；（ii）证明见解析
【解析】（1） 个 结束后， 的取值可能为 ,其中 ,
，
， ，
所以 分布列为
.
（2）（i） 表示分裂 结束后共有 个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成 个 细胞. 不
妨设在第 时分裂为 个 细胞，之后一直有 个 细胞，
此事件概率 ，
所以
.
（ii） 代表分裂 后有 个细胞的概率，设细胞 在 后分裂为 个新的 细胞，这两个 细胞在
剩下的 中，其中一个分裂为 个 细胞，一个保持一直分裂为 个 细胞，此事件的概率
，
得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
其中 ， .
令 , ，
记 ， ,令 ，得 .
当 , , 递增；
当 ， , 递减.
故 ，
也就是 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
