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7.6 空间向量求空间距离（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现例题剖析
考点一 点线距
【例1】（2022·福建）在空间直角坐标系中，点 ，则 到直线 的距离为___．
【答案】
【解析】依题意得 ， 则 到直线 的距离为
故答案为：
【一隅三反】
1（2022·北京·二模）如图，已知正方体 的棱长为1，则线段 上的动点P到直线 的
距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】如图建立空间直角坐标系，则 ，设 ，则 ，
∴动点P到直线 的距离为
，当 时取等号，
即线段 上的动点P到直线 的距离的最小值为 .
故选：D.
2．（2022·浙江绍兴）如图，在正三棱柱 中，若 ，则C到直线 的距离为
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知， ，
取AC的中点O，则 ，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，
所以 ，
所以 在 上的投影的长度为 ，
故点C到直线 的距离为： .
故选：D
3．（2022·广东）如图，在棱长为4的正方体 中，E为BC的中点，点P在线段 上，
点Р到直线 的距离的最小值为_______.
【答案】【解析】在正方体 中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ，
因点P在线段 上，则 ， ，
，向量 在向量 上投影长为 ，
而 ，则点Р到直线 的距离
，当且仅当 时取“=”，
所以点Р到直线 的距离的最小值为 .
故答案为：考点二 点面距
A B C D
【例2】（2022·江苏常州）已知正方体 的棱长为2， ， 分别为上底面 1 1 1 1和侧面
的中心，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】
如图，以 为原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，易知
，
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，解得 ，
故点 到平面 的距离为 .
故选：A.
【一隅三反】
1．（2022·哈尔滨）在长方体 中， ， ，则点 到平面 的距离等
于_____.
【答案】
【解析】如图，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，
建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
点 到平面 的距离： ．
故答案为： .
2．（2022·江苏）将边长为 的正方形 沿对角线 折成直二面角，则点 到平面 的距离为
___．
【答案】
【解析】记AC与BD的交点为O，图1中，由正方形性质可知 ，
所以在图2中， ，所以 ，即
如图建立空间直角坐标系，易知
则则
设 为平面ABC的法向量，
则 ，取 ，得
所以点 到平面 的距离
故答案为：
3．（2022·福建福州）如图，在正四棱柱 中，已知 ， ，E，F分别为
， 上的点，且 ．
(1)求证： 平面ACF：
(2)求点B到平面ACF的距离．【答案】(1)证明见详解.(2) .
【解析】（1）以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则 ,设面 的一个法向量为 ，
，可得 ，即 ，不妨令 则 ,
平面 .
（2） ，则点 到平面 的距离为 .
考点三 线线距
【例3】（2022·全国·高三专题练习）在长方体 中， ， ， ，则异面直
线 与 之间的距离是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】如图所示，以 为原点， 所在直线为 轴如图建立空间直角坐标系
则
设直线 与 的公垂线的方向向量为 则
不妨令 又
则异面直线 与 之间的距离 故选：D
【一隅三反】
1．（2022·山东）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小
值.在长方体 中， ， ， ，则异面直线 与 之间的距离是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ，则 ， ，
设 和 的公垂线的方向向量 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
， .故选：D.
【点睛】
2．（2022·江苏）长方体 中， ， ， 为 的中点，则异面直线
与 之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
， ，
设 与 的公垂线的一个方向向量为 ，则 ，取 ，得 ， ，即 ，
又 ，所以异面直线 与 之间的距离为 ．故选：D．
3．（2022·全国·高三专题练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直
线距离的最小值．在棱长为1的正方体 中，直线 与 之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设 为直线 上任意一点， 过 作 ，垂足为 ，可知此时 到直线 距离最短设 ， ，
则 ，
，
， ，
即 ，
，即 ，
，
，
，
当 时， 取得最小值 ，
故直线 与 之间的距离是 .
故选：B.
考点四 线面距
【例4】（2022广西）如图，已知斜三棱柱 在底面 上的
射影恰为 的中点 又知 .(1)求证: 平面 ;
(2)求 到平面 的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：∵ 在底面 上的射影为 的中点 ，∴平面 平面 ，∵
，且平面 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，∵ 平面
，∴ ，∵ ，且 ， 平面 ，∴ 平面 ．
（2）解：取 的中点 ，以 为坐标原点， ， ， 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标
系，∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，∴四边形 是菱形，∵ 是 的中点，
∴ ，∴ ， ， ， ，∴ ，
，设平面 的法向量 ，则 ， ，取
， ， 到平面 的距离 ． ， 平面， 平面 平面 ， 到平面 的距离等于 到平面 的距离
.
【一隅三反】
1．（2022·山西）如图，在正方体 中， 为 的中点．
(1)证明： 平面ADE
1
(2)求直线 到平面 的距离；
【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1） ， ， 四边形 为平行四边形， ， 面 ，
面 ， 平面 ．
（2）如图建立空间直角坐标系 ，设正方体的棱长为 ，
则 ， ， ， ， ， 平面 ， 直线 到平面
的距离即为点 到平面 的距离，所以 ， ， ，设平面 的一个
法向量为 ，则 ，取 ，得 ，
， 直线 到平面 的距离为 .
2．（2022·海南）如图，在正方体 中，棱长为2， 为 的中点.(1)求 到平面 的距离.
(2)若 面 ，求 .
【答案】(1) (2)
【解析】(1)如图，以A为坐标原点， 分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则 ,
因为正方体 中， 平面 ,
所以 平面 ,则 到平面 的距离即为 到平面 的距离，
而 ，设平面 的法向量为 ，则 ,
即 ，令 ，则 ，
故 ，故 到平面 的距离 ，
即 到平面 的距离为 ；
(2) ,
由题意可得 .
3．（2022·北京）图1是直角梯形 ，四边形 是边长为2的菱形，并且
，以 为折痕将 折起，使点 到达 的位置，且 ，如图2.
(1)求证：平面 平面 ；(2)在棱 上是否存在点 ，使得 到平面 的距离为 ？若存在，求出直线 与平面 所成
角的正弦值.
【答案】(1)详见解析；(2)存在点 且为 的中点； .
【解析】(1)证明：如图所示：
在图1中连接AC，交BE于O，
因为四边形 是边长为2的菱形，并且 ，
所以 ，且 ，
在图2中，相交直线 均与BE垂直，
所以 是二面角 的平面角，
因为 ，则 ，
所以平面 平面 ；
(2)
由（1）分别以 为x，y，z建立如图所示空间直角坐标系，
则 ，所以 ，
设 ，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，
因为 到平面 的距离为 ，
所以 ，解得 ，
则 ，所以 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为： .
考点五 面面距
【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知正方体 的棱长为a，则平面 与平面
的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正方体的性质， ∥ , ∥ ， ， ，易得平面 平面 ，
则两平面间的距离可转化为点B到平面 的距离．
以D为坐标原点，DA，DC， 所在的直线分别为x轴、y轴、z轴
建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ．
连接 ，由 ， ，且 ，可
知 平面 ，
得平面 的一个法向量为 ，
则两平面间的距离 ．
故选：D
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为 的正方体 中，则平面 与平面 之间的距离为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的直角坐标系，则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，
即 ，解得 ，故 ，
显然平面 平面 ，
所以平面 与平面 之间的距离 ．
2．（2022山西）两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量
，则两平面间的距离是 （ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】 两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ， ，且两平面的一个法
向量 两平面间的距离 ，故选B.
3．（2022·青海西宁）底面为菱形的直棱柱 中， 分别为棱 的中点.
（1）在图中作一个平面 ，使得 ，且平面 .（不必给出证明过程，只要求作出 与直棱柱
的截面）.
（2）若 ，求平面 与平面 的距离 .
【答案】（1）见解析;（2） .
【解析】【详解】
（1）如图，取 的中点 ，连接 ，则平面 即为所求平面 .
（2）如图，连接 交 于 ，
∵在直棱柱 中，底面为菱形，
∴ ，
∴分别以 为 轴， 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
又∵所有棱长为2， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
设 是平面 的一个法向量，则 ，即 ，
令 得 ， ，∴点 到平面 的距离 ，
∴平面 与平面 的距离 .
