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期末真题必刷选填压轴题（考题猜想，7 种必考题型）
题型一：多结论问题
1．（2023秋•沙坪坝区校级期末）已知两个实数 、 ，可按如下规则进行运算：若 为奇数，则计算
的结果：若 为偶数，则计算 的结果．根据上述规则，每得到一个数叫做
一次操作．对于给定的两个实数 、 ，操作一次后得到的数记为 ；再从 、 、 中任选两个数，操作
一次得到的数记为 ；再从 、 、 、 中任选两个数，操作一次得到的数记为 ，依次进行下去 以
下结论正确的个数为
①若 ， ，则 ；②若 、 为方程 的两根，则 ；
③若 、 均为奇数，则无论进行多少次操作，得到的 均不可能为偶数；
④若 ， ，要使得 成立，则 至少为4．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023秋•黄埔区期末）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于点 ，与
轴的交点 在 和 之间（不包括这两点），对称轴为直线 ．下列结论：
①
②
③
④
⑤ ．
其中含所有正确结论的选项是
A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤
3．（2023秋•越秀区期末）如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴的负半轴于点
，顶点为 ．下列结论：① ；② ；③若 ， ， ， 为该抛物线上两
点且 ，则 ；④若 是等腰直角三角形，则 ；⑤若 ， 是关于 的一元二次方程的两个根，则 ．其中正确的是
A．①②③ B．③④⑤ C．①④⑤ D．①③④
4．（2023秋•番禺区期末）抛物线 ， ， 是常数， 经过 ， ， 三点
且 ．在下列四个结论中：① ；② ；③当 时，若点 在该抛物线上，则
；④若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ，其正确结论的序号
是
A．②③④ B．①④ C．②③ D．③④
5．（2023秋•荔湾区期末）如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴的交点 在
和 之间（不包括这两点），对称轴为直线 ．则下列结论：① 时， ；②
；③ ；④ ．其中正确的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2023秋•南沙区期末）二次函数 图象上部分点的坐标满足下表：
0 1 2 3 4
8 3 0 3
下列说法中：①该二次函数的对称轴为直线 ；② ；③不等式 的解集为 ；
④方程 有两个不相等的实数根，正确的个数有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023秋•南开区期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 （单位： 与小球运动时间 （单
位： 之间的函数关系为 ，其中 ．有下列结论：
①当 时，小球运动到最大高度；
②当小球的运动高度为 时，运动时间为 或 ；
③小球运动中的最大高度为 ；
④小球从抛出到落地需要 ．
其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023秋•滨海新区期末）如图，用一段长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为 ．
设矩形菜园的边 的长为 ，面积为 ，其中 ．有下列结论：
① 的取值范围为 ；
② 的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为 ；
③矩形菜园 的面积的最大值为 ．
其中，正确结论的个数是A．0 B．1 C．2 D．3
9．（2024•海淀区）如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．
给出下面四个结论：
①一个圆的“半径三角形”有无数个；
②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；
③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是 ， 或 ；
④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为 ．
上述结论中，所有正确结论的序号是
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
10．（2023秋•龙岩期末）如图， 是△ 的外接圆， 是 延长线上一点，连接 ， ， ，
且 ，点 是 中点， 的延长线交 于点 ，则下列结论：① ；②
垂直平分 ；③直线 和 都是 的切线；④ ．其中正确的结论是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④
11．（2023秋•汉阳区期末）二次函数 ， 是常数， 的图象过点 ．现有以下结
论：
① ；
②若 ，则 随 的增大而增大；③若该抛物线过点 ， ，则在 时， ；
④若该抛物线与直线 没有交点，则 ；
其中，正确的结论是 ．
12．（2023秋•白云区期末）如图，抛物线 的开口向上，经过点 和 且与 轴交于
负半轴．则下列结论：① ，② ；③ ；④ ，其中正确的结论是
．（填写所有正确结论的序号）
13．（2023秋•西城区校级期末）抛物线 交 轴于点 和 （点 在点 左侧），
抛物线的顶点为 ，下列四个结论：
①抛物线过点 ；
②当 时，△ 是等腰直角三角形；
③ ；
④抛物线上有两点 ， 和 ， ，若 ，且 ，则 ．
其中结论正确的序号是 ．
14．（2023秋•武汉期末）如图，二次函数 的图象与 轴的正半轴相交于 ， ，
两点 ，与 轴交于点 ．对称轴为直线 ，且 ，下列结论，其中正确的结论是
．（填写正确结论的序号）① ；
② ；
③若 ，则 ；
④关于 的方程 有一个根为 ．
15．（2023秋•硚口区期末）已知抛物线 ， ， 是常数）开口向下，过 ，
两点，且 ．下列四个结论：① ；②若 ，则 ；③若 ， ， ，
两点在抛物线上， ，且 ，则 ；④当 时，关于 的一元二次方程
必有两个不相等的实数根．其中正确的是 （填写序号）．
16．（2023秋•武汉期末）已知抛物线 ，下列说法：①抛物线与 轴必有两个交点；②若抛
物线经过 ， 两点，则 ；③若抛物线与 轴两个交点的距离大于4，则 ；④若
抛物线经过位于对称轴两侧的 ， 两点，且 ，则 ．其中一定正确的结论有
（填写序号即可）．
17．（2023 秋•江夏区校级期末）已知抛物线 与 轴交于点 ， ，其中
．下列结论：
① ；
② ；③不等式 的解集为 ；
④若关于 的方程 有实数根，则 ．
其中正确的是 ．（填写序号）
18．（2023秋•青山区期末）已知抛物线 经过点 ，且满足 ．下列四个结论：
①抛物线的对称轴是直线 ；
② 与 同号；
③若 ，则不等式 的解集 ；
④抛物线上的两个点 ， ，当 ，且 时， ．
其中一定正确的是 （填写序号）
19．（2023秋•花都区期末）如图， 是 的直径，弦 平分圆周角 ，则下列结论：
① ；
② 是等腰直角三角形；
③ ；
④ ；
正确的有 ．
题型二：最值问题
1．（2023秋•长沙期末）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，对称轴与 轴交于点 ，
点 ，点 ，点 是平面内一动点，且满足 ， 是线段 的中点，连接 ．则线段 的最大值是
A．3 B． C． D．5
2．（2023秋•武汉期末）如图（1），在 中， ， 为 平分线上一点，连接 ，
，将线段 绕点 逆时针旋转 到 ，连接 ， ．设 ， ， 与 的函数关系
如图（2），当 时，函数 有最小值．当 时， 的值为 ．
3．（2023秋•中山市期末）如图， 中， ， ，点 是 边上一个动点，以
为直径作 ，分别交 ， 于点 ， ，若 的长为 ，弦 长度的最小值为 ．
4．（2023秋•荔湾区期末）如图，在 中， ， ， ，点 是边 上的一动点，连接 ，作 于点 ，连接 ，则 的最小值为 ．
5．（2023 秋•青山区期末）如图，点 为等边 的边 上的一个动点， ，过点 作
于点 ， 交边 于点 ，当过 ， ， 三点的圆面积最小时，则
．
6．（2023秋•洪山区期末）如图，在 △ 中， ， ，过 ， 两点的 交
线段 于 点， 交 于 点， 交 于 ，则 的最大值为 ．
题型三：动点问题
1．（2023秋•花都区期末）如图，抛物线 与直线 交于 、 两点（点 在点 的
左侧），动点 从 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点 ，再到达 轴上的某点 ，最后运动到点
．若使点 运动的总路径最短，则点 运动的总路径的长为A． B． C． D．
2．（2023秋•南沙区期末）如图，在 中， ， ， ，点 是半径为4
的 上一动点，连接 ，点 是 的中点，当点 落在线段 上时，则 的长度为 ；若
点 在 上运动，当 取最大值时， 的长度是 ．
题型四：旋转（翻折 ）变换
1．（2023秋•汉阳区期末）边长为1的正方形 的顶点 在 轴正半轴上，点 在 轴正半轴上，将
正方形 绕顶点 顺时针旋转 ，如图所示，使点 恰好落在函数 的图象上，则 的
值为A． B． C． D．
2．（2023秋•武昌区期末）如图，在 中， ， ， ， 是斜边 上两点，满
足 ，将 绕点 顺时针旋转 得 ，下列结论：① ；②点 ， 关于直
线 对称；③点 ， 关于直线 对称；④如果 ， ，则 ．正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023秋•历城区期末）如图，在正方形 中， ，点 为线段 上一点，将 沿
所在直线翻折得到 （点 在正方形 内部），连接 ， ， ，若 ，
则 的长为 ．
4．（2023 秋•越秀区期末）如图，在长方形 中， ， ，点 为边 上一点，且
，点 为边 上动点，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ， 与边 交于点 ，
连接 ．
（1）当点 与点 重合时，△ 的面积是 ；
（2）当点 在 边上运动时，△ 的面积最小值是 ．5．（2023秋•沙河口区期末）如图， 是正方形 边 的上一点，将 绕点 旋转 得到
，过点 作 的垂线分别交 、 于 、 ．若 ， ，则 ．（用含 的
式子表示）
6．（2023秋•中山区期末）如图，矩形 中， ， ， 是线段 上一动点，连接
并将 绕 顺时针旋转 得到线段 ．连接 ，直线 交 于 ．设 ， ，则
与 之间的函数关系式为
7．（2023秋•武汉期末）如图，在等腰 中， ，请将等腰 以点 为旋转中心
旋转 得到△ ，延长 与直线 交于点 ，若 ，则线段 的长为 ．
题型五：作图题1．（2023秋•大连期末）如图，在矩形 中， ，以 为圆心，适当长为半径画弧，交 ，
边于点 ， ，分别以 ， 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点 ，作射线 交
边于点 ，再以 为圆心， 长为半径画弧，交 边于点 ，将扇形 剪下来做成圆锥，则该
圆锥底面半径为
A．1 B． C．2 D．
2．（2023秋•西岗区期末）如图，在 中，以点 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 ，交
于点 ．再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点 ．
作射线 交 于点 ，过点 作 的平行线交 于点 ．若 ， ，则 的长为
A．3 B． C．2 D．
3．（2023秋•武侯区校级期末）如图，矩形 中， ， ，以点 为圆心，适当长为半径
画弧，分别交 ， 于点 ， ，再分别以点 ， 为圆心，大于 长为半径画弧交于点 作射线
，过点 作 的垂线分别交 ， 于点 ， ，则 的长为 ．4．（2023秋•锦江区校级期末）如图，在 的两边上分别截取 ， ，使 ；分别以点 ，
为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点 ；连接 ， ， ， ．若 ，四边形
的面积为 ．则 的长为 ．
5．（2023秋•南开区期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点 ， ，均在格点上．
（Ⅰ） 的长为 ；
（Ⅱ）若以 为边的矩形 ，其面积为11．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出矩形
，并简要说明点 ， 的位置是如何找到的（不要求证明） ．
6．（2023秋•红桥区期末）如图，在每个小正方形的边长为 1的网格中，点 在格点上，点 是小正方形
边的中点．
（Ⅰ）线段 的长等于 ；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出经过 ， 两点的圆的圆心 ，并简要说明点 的
位置是如何找到的（不要求证明）．7．（2023秋•滨海新区期末）如图，在每个小正方形的边长为 1的网格中，圆经过格点 ， ，与格线交
于点 ．
（Ⅰ） （度 ．
（Ⅱ）若点 在圆上，满足 ，请利用无刻度的直尺，在圆上画出点 ，使 ，
并简要说明点 的位置是如何找到的（不要求证明） ．
8．（2023秋•和平区校级期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点 ， ， 均在格点上，
半圆 的半径为3， 与半圆 相切于点 ．
（Ⅰ） 的大小 （度 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段 ．并简要说明点 的位置是如何找到的
（不要求证明） ．
题型六：一题多解问题
1．（2023秋•海珠区期末）如图，在 中， ， ， ，点 在 边上，且
，点 在直角边上，直线 把 分成两部分，若其中一部分与原 相似，则
．2．（2023 秋•大连期末）如图，在 和 中， ， ，
， ， ， 与 所在的直线相交于点 ，将 绕点 在平面内旋转，当点
与点 重合时，线段 的长为 ．
3．（2023 秋•龙岗区校级期末）如图，在矩形 中，点 在 上，若 且 ，
，则 的长为 ．
题型七:反比例函数系数k的几何意义与坐标特征
1．（2023秋•龙岗区校级期末）如图，反比例函数 图象经过正方形 的顶点 ， 边
与 轴交于点 ，若正方形 的面积为12， ，则 的值为A．3 B． C． D．
2．（2023秋•福州期末）如图， ， 两点分别为 与 轴， 轴的切点． ， 为优弧 的
中点，反比例函数 的图象经过点 ，则 的值为
A． B．8 C．16 D．32
3．（2023秋•海门区期末）如图，在平面直角坐标系 中，第一象限的点 ， 分别在反比例函数
， 的图象上， 轴， 轴于点 ，连接 交 于点 ，交反比例函数
的图象于点 ，若 ，则 的值为
A．9 B．8 C．4 D．3
4．（2023秋•锦江区校级期末）如图，点 在反比例函数 的图象上，点 在 轴负半轴上，
交 轴于点 ，若 ， ，则 的值为 ．5．（2023秋•海安市期末）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 在函数 的图象上，点
在点 左侧，延长 交 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，连接 并延长，交 轴于点 ，连
接 ．若 ， ，则 的值为 ．
