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7.5 空间几何的外接球（精讲）考点一 汉堡模型
【例1】（2023春·重庆）设直三棱柱 的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积为 ，
，则此直三棱柱的高是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【一隅三反】
1．（2023春·安徽宣城）在三棱锥 中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱PA⊥平面ABC，且
，则三棱锥 的外接球表面积为 ．
2．（2023春·广东韶关 ）三棱锥 中, 平面 , , , ,则三棱锥
外接球的体积是 ．
3．（2023春·江苏扬州）已知正四棱柱 中， ，直线 与平面 所成角的正切
值为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为 .
考法二 墙角模型
【例2】（2023春·天津河北）长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3，4，5，且它的8个顶点都在同一
个球面上，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023春·山西朔州）长方体的长、宽、高分别为4，3，2，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面
积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·贵州黔东南）在三棱锥 中， 平面 ，则三棱锥
的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·广东深圳）如图，在长方体 中，四边形 是边长为1的正方形，，则该长方体的外接球表面积是（ ）
A． B． C． D．
考法三 斗笠模型
【例3-1】（2023春·北京海淀）已知侧棱长为 的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面
两两垂直，则这个球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（2023·贵州贵阳·校联考三模）已知一圆锥内接于球，圆锥的表面积是其底面面积的3倍，则圆
锥与球的体积之比是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023春·江西）在正四棱锥 中， ，若该棱锥的所有顶点都在球 的表面上，
则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为 ，则
该正三棱锥体积的最大值为___________.
3．（2023·江西）正三棱锥P－ABC底面边长为2，M为AB的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P－ABC外接球的
体积为（ ）
A． B． C． D．
考点四 L模型
【例4】（2023·黑龙江大庆·统考二模）如图，边长为 的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直， ，N为AF的中点， ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023春·山东枣庄）已知三棱锥底面ABC是边长为2的等边三角形，顶点S与AB边中点D的连线SD
垂直于底面ABC，且 ，则三棱锥S－ABC外接球的表面积为（ ）
A． B． C．12π D．60π
2．（2023秋·四川泸州已知三棱锥 的底面 是正三角形，侧面 底面 ，且
， ，若该三棱锥的外接球的表面积为 ，则AB的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
3．（2023春·广东广州）已知三棱锥 所在顶点都在球 的球面上，且 平面 ，若
，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
考点五 棱台外接球
【例5】（2023春·黑龙江）（多选）已知四棱台 上下底面均为正方形，其中 ，
， ，则下述正确的是（ ）A．该四棱台的高为 B．该四棱台外接球的表面积为
C． 与 所在直线的夹角为 D．该四棱棱台的表面积为26
【一隅三反】
1．（2023秋·湖北）在正三棱台 中，侧棱长均为 ，侧棱 与底面所成的角60°，
，则该三棱台的外接球的体积＝ .
2．（2023春·黑龙江绥化 ）正四棱楼台的上、下底面的面积分别为 ， ，若该正四棱台的体积为
，则其外接球的表面积为 ．
3．（2023春·广东广州）在正四棱台 中，上、下底面边长分别为 、 ，该正四棱
台的外接球的球心在棱台外，且外接球的表面积为 ，则该正四棱台的高为 ．
考点六 最值
【例6】（2023·河南开封·统考三模）在三棱锥 中， ， 平面ABC， ，
，则三棱锥 外接球体积的最小值为（ ）A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）在正三棱柱 中， ，点D在棱BC上运动，
若 的最小值为 ，则三棱柱 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）球O内接三棱锥 ， 平面
， .若 ，球O表面积为 .则三棱锥 体积最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
