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7.4空间距离（精讲）
一．点到线的距离
1.概念：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线
段的长度叫做这个点到该平面的距离；
⃗AP ⃗AP ⃗AQ
设 ＝ ，直线l的一个单位方向向量为 ，则向量 在直线l上的投影向量 ＝ ，在Rt△APQ
√|⃗AP|2-|⃗AQ|2
中，由勾股定理，得PQ＝ ＝
二．两异面直线间的距离：即两条异面直线公垂线段的长度.
三．点到平面的距离：已知平面α的法向量为 ，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α
的垂线l，交平面α于点Q，则 是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是
⃗AP在直线l上的投影向
⃗QP
量 的长度.因此四．直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条
直线到这个平面的距离；
五．两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，
我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
一．求点面距常见方法
方法一：作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离
方法二：等体积法
方法三：向量法
二.向量法求两异面直线的距离
分别以这两条异面直线上任意两点为起点和终点的向量为 ，与这两条异面直线都垂直的法向量为 ，则
两条异面直线间的距离就是 在 方向上的正射影向量的模，设为d，从而由公式 求解.
考点一 点线距
【例1-1】（2023春·江西南昌）如图， 是棱长为 的正方体，若 在正方体内部且满足
，则 到 的距离为（ ）A． B．
C． D．
【例1-2】（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在空间直角坐标系中，直线 的方程为 ，空间一点
，则点 到直线 的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
【一隅三反】
1．（2023春·广东茂名·高三校考阶段练习）菱形 的边长为4， ，E为AB的中点（如图
1），将 沿直线DE翻折至 处（如图2），连接 ， ，若四棱锥 的体积为 ，
点F为 的中点，则F到直线BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条棱
长都是a，且 ， ，E为 的中点，则点E到直线 的距离为（ ）A． B． C． D．
考点二 线线距
【例2】（2023·全国·高三专题练习）长方体 中， ， ， 为 的中点，
则异面直线 与 之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）在长方体 中， ， ， ，则异面直线
与 之间的距离是（ ）A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直
线距离的最小值．在棱长为1的正方体 中，直线 与 之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直
线距离的最小值.在长方体 中， ， ， ，则异面直线 与 之间的
距离是（ ）
A． B． C． D．
考点三 点面距
【例3-1】（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，侧面
是边长为 的正三角形，平面 平面 ， ．
(1)求证：平行四边形 为矩形；(2)若 为侧棱 的中点，且平面 与平面 所成角的余弦值为 ，求点 到平面 的距离．
【例3-2】（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）如图，在四面体 中，
．点 为棱 上的点，且 ，三棱锥 的体
积为 ．(1)求点A到平面 的距离；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
【一隅三反】
1．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）如图，四棱锥 中，底面ABCD为正方形， 为等边
三角形，面 底面ABCD，E为AD的中点.
(1)求证： ；
(2)在线段BD上存在一点F，使直线AP与平面PEF所成角的正弦值为 .
①确定点F的位置；
②求点C到平面PEF的距离.
2．（2023·江苏苏州·模拟预测）在如图所示的圆锥中，已知 为圆锥的顶点， 为底面的圆心，其母线长
为6，边长为 的等边 内接于圆锥底面， 且 .(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 为 中点，射线 与底面圆周交于点 ，当二面角 的余弦值为 时，求点 到平面
的距离.
考点四 面面距
【例4】（2023·全国·高三专题练习）在棱长为 的正方体 中，则平面 与平面 之
间的距离为A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， 底
面 ， ， 、 、 分别是 、 、 的中点．求：
(1)直线 与平面 的距离；
(2)平面 与平面 的距离．
2．（2023·全国·高三专题练习）直四棱柱 中，底面 为正方形，边长为 ，侧棱， 分别为 的中点， 分别是 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 的距离．
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体 的棱长为2，E，F，G分别为AB，
BC， 的中点．
(1)求证：平面 平面EFG；
(2)求平面 与平面EFG间的距离．4．（2023·全国·高三专题练习）底面为菱形的直棱柱 中， 分别为棱 的中
点.
(1)在图中作一个平面 ，使得 ，且平面 .（不必给出证明过程，只要求作出 与直棱柱
的截面）；
(2)若 ，求平面 与平面 的距离 .
