文档内容
7.5 外接球（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 汉堡模型
【例1】（2022·陕西）已知底面边长为1，侧棱长为 则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的
体积为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知在三棱锥 中， ， ， ， 平
面 ，则三棱锥 的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知在三棱锥 中， 平面 ，
，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．3．（2023·山西大同·高三阶段练习）球内接直三棱柱 ，则
球表面积为___________.
考点二 墙角模型
【例2】（2022·全国·高三专题练习）长方体的长，宽，高分别为3， ，1，其顶点都在球O的球面上，
则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知四棱锥P-ABCD中， 平面ABCD，底面ABCD是矩形，
，若四棱锥P-ABCD外接球的表面积为 ，则四棱锥P-ABCD的体积为（ ）
A．3 B．2 C． D．1
2．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥 中， ， 底面 ， ，
，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·海原县）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，且 平面 ，
， ， ，则球 的表面积为___________.
考点三 斗笠模型
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上
是边长为 的正三角形，则球 的表面积等于（ ）
A． B． C． D．【一隅三反】
1（2022·全国·高三专题练习）已知圆台的母线长为2，母线与轴的夹角为60°，且上、下底面的面积之比
为1：4，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为 ，则
该正三棱锥体积的最大值为___________.
3．（2022·江西）正三棱锥P－ABC底面边长为2，M为AB的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P－ABC外接球的
体积为（ ）
A． B． C． D．
考点四 麻花模型
【例4】（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， ， ，
，则三棱锥 外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， ， ， ，则
三棱锥 的外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥A-BCD中， ， ，二面角A-
BD-C是钝角.若三棱锥A-BCD的体积为2，则A-BCD的外接球的表面积是（ ）
A．12π B．13π C． D．
考点五 L模型
【例5】（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 中，平面 平面 ， ，
，则该三棱锥外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1（2022·江西高三）在三棱锥 中， 是等边三角形，平面 平面
， ，则三棱锥 的外接球体积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川雅安市）在四面体ABCD中，已知平面 平面 ，且
，其外接球表面积为 （ ）A． B． C． D．
3．（2023·重庆九龙坡区）在三棱锥 中，平面 平面
， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（
）
A． B． C． D．
考点六 怀表模型
【例6】（2022·全国·高三专题练习）在边长为6的菱形ABCD中， ，现将 沿BD折起到
的位置，当三棱锥 的体积最大时，三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A．60π B．45π C．30π D．20π
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， 是边长为 的等边三角形， ，
二面角 是150°，则三棱锥 外接球的表面积是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， 为等腰直角三角形， ，
为正三角形，且二面角 的平面角为 ，则三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
考点七 矩形模型【例7】（2022·湖北襄阳市）若矩形ABCD的面积是4，沿对角线AC将矩形ABCD折成一个大小是60°的
二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积最小值为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2022.江西）在矩形 中 ， ，沿对角线 进行翻折，则三棱锥 外
接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·天津河）将长、宽分别为 和 的长方形 沿对角线 折成直二面角，得到四面体
，则四面体 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川）中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为
“鳖臑”.如图所示的鳖臑 中， 面 ， ，若 ， ，且顶点
均在球 上，则球 的表面积为______.
考点八 内切球【例8】（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 中， ，
，若三棱锥 的内切球 的表面积为 ，则此三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2022·江西·高三阶段练习（理））在正三棱锥 中， ， 分别是 ， 的中点，且
， ，则正三棱锥 的内切球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， 平面 ，且
，若球 在三棱锥 的内部且与四个面都相切（称球 为三棱锥 的内
切球），则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3.（2022黑龙江）如图，在四棱锥 中， 是正方形 的中心， 底面 ，， ，则四棱锥 内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
