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期末真题必刷常考提升 60 题（考题猜想，17 种必考题型）
一．乘法公式（共4题）
1．（2024春•枣庄期末）如图，从边长为 的大正方形中剪掉一个边长为 的小正方形，再将剩下的阴影
部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立A． B．
C． D．
【解答】解：由题意这两个图形的面积相等，
，
故选： ．
2．（2023秋•启东市期末）设有边长分别为 和 的 类和 类正方形纸片、长为 宽为 的 类
矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为 的正方形，需要1张 类纸片、1张 类纸片和2张 类
纸片．若要拼一个长为 ，宽为 的矩形，则需要 类纸片的张数为 张．
【解答】解： ，即 ，
要拼一个边长为 的正方形，需要1张 类纸片、1张 类纸片和2张 类纸片．
，即 ，
若要拼一个长为 ，宽为 的矩形，则需要 类纸片的张数为8张，
故答案为：8．
3．（2023秋•大理州期末）在课后服务课上，老师准备了若干张如图 1的三种纸片， 种纸片是边长为
的正方形， 种纸片是边长为 的正方形， 种纸片是长为 ，宽为 的长方形，并用 种纸片一张，
种纸片一张， 种纸片两张拼成如图2的大正方形．
【发现】
（1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 ；
【应用】
（2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题：
①已知： ， ，求 的值；
②如果一个长方形的长和宽分别为 和 ，且 ．求这个长方形的面积．【解答】解：（1）由图2可知， ，
故答案为： ；
（2）① ，
．
②令 ， ，
则 ，
，
即 ．
故这个长方形的面积为 ．
4．（2023秋•郯城县期末）如图，在边长为 的正方形中挖去一个边长为 的小正方形 ，把余下的
部分剪拼成一个矩形．
（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是： ；
．
．．
．
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知： ， ，求 的值；
②计算： ．
【解答】解：（1）第一个图形面积为 ，第二个图形的面积为 ，
可以验证的等式是： ，
故答案为： ；
（2）① ， ，
，
，
；
②原式 ．
．
二．因式分解（共3题）
5．（2023秋•乌兰察布期末）已知 、 是 的两边，且满足 ，则 的形状是．
【解答】解： ，
．
．
在 中， ，
．
，即 ．
是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
6．（2023秋•綦江区期末）若一个四位正整数 满足： ，我们就称该数是“振兴数”，则
最小的“振兴数”是 ；若一个“振兴数” 满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数
字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“振兴数” 的最小值为 ．
【解答】解： ，且 ， ， ， ，
当 ， ， ， 时，四位数最小，
故答案为：1001．
根据题意，得 ， ， 是正整数，
， ，
， ，
解得： ， ，
，
， ，
， ，
， ，
， ，， ，
解得： ， ，
故 ， ， 或 ， ， ， ，
故当 时， ，或 ，
当 时， ，或 ，
当 时， 或 ，
当 时， ，
最小，
， ， ，
根据 ，
故 ，
故最小数是4114，
故答案为：4114．
7．（2023秋•湖北期末）阅读以下材料
材料：因式分解：
解：将“ ”看成整体，令 ，则原式
再将“ ”还原，得原式
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解： ；
（2）因式分解： ；
（3）求证：无论 为何值，式子 的值一定是一个不小于1的数．
【解答】（1）解：令 ，
原式 ，将“ ”还原，得原式 ；
故答案为： ；
（2）解：令 ，
原式
，
将“ ”还原，得：
原式 ；
（3）证明：令 ，
原式
，
将 还原，
原式 ，
因为无论 为何值 ，
所以
即式子 的值一定是一个不小于1的数．
三．分式的运算（共2题）
8．（2023秋•潮安区期末）先化简，再求值： ，其中 ．【解答】解：原式
，
当 时，原式
．
9．（2023秋•洮北区期末）先化简，再求值 ，其中 ．
【解答】解：原式
当 时，
原式
四．分式方程（共7题）
10．（2023秋•竹溪县校级期末）若关于 的不等式组 的解集为 ，且关于 的分式方程 的解为非负数，则所有满足条件的整数 的个数是
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解： ；
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
不等式组的解集为 ，
， ，
去分母得， ，
解得 ，
分式方程的解为非负数，且 ，
且 ，
且 ，
综上可知， 的取值范围为 且 ，
所有满足条件的整数为2，3，5，共有3个，
故选： ．
11．（2023秋•夏津县期末）已知关于 的分式方程 的解为非负数，则 的取值范围是
．
【解答】解：关于 的分式方程 化为整式方程为： ，
解得： ，且 ，
方程的解为非负数，
，且 ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
12．（2023秋•北流市期末）若关于 的分式方程 无解，则 的值为 ．【解答】解：去分母得：
，
整理得： ，
当 时，方程无解，故 ；
当 时， 时，分式方程无解，
则 ，
故关于 的分式方程 无解，则 的值为：1或 ．
故答案为：1或 ．
13．（2023 秋•宜都市期末）定义运算“※”： ※ ，若 5※ ，则 的值为
．
【解答】解：当 时， ， ，
经检验， 是原分式方程的解；
当 时， ， ，
经检验， 是原分式方程的解；
综上所述， 或10；
故答案为： 或10．
14．（2023秋•凉州区期末）若关于 的分式方程 有增根，则 的值为 ．
【解答】解：方程两边都乘 ，得
原方程增根为 ，把 代入整式方程，得 ，
解得 ．
故答案为： ．
15．（2024春•成华区期末）关于 的分式方程 有增根，则 ．
【解答】解：方程两边同乘 得： ，
由题意得： 是该整式方程的解，
，
解得： ，
故答案为： ．
16．（2023秋•朝阳区期末）解分式方程：
【解答】解：去分母得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的解．
五．分式方程的应用（共4题）
17．（2024春•安庆期末）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角
的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多 5元，且用
200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．
（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？
（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？
【解答】解：（1）设购买绿萝的单价为 元，则购买吊兰的单价为 元，
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
则 ，
答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为15元；
（2）设购买吊兰的数量为 盆，则购买绿萝的数量为 盆，由题意得： ，
解得： ，
为正整数，
的最大值为17，
答：购买吊兰的数量最多是17盆．
18．（2023秋•钢城区期末）“元旦”期间，某电商想购进 、 两种商品出售，已知每件 种商品的进
价比每件 种商品的进价少5元，且用400元购进 种商品的数量是用100元购进 种商品数量的2倍．
（1）求每件 种商品和每件 种商品的进价分别是多少元？
（2）商店决定购进 、 两种商品共80件， 种商品加价5元出售， 种商品比进价提高 后出售，
要使所有商品全部出售后利润不少于200元，求 种商品至少购进多少件？
【解答】解：（1）设每件 商品的进价为 元，则每件 商品的进价为 元，根据题意，得
，
解这个分式方程，得 ，
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，则 ，
答：每件 商品的进价为10元，每件 商品的进价为5元；
（2）设购进 商品 件，由题意得： ，
解得： ，
答： 种商品至少购进30件．
19．（2023秋•十堰期末）某区在进行雨水、污水管道改造工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测
算，甲工程队单独完成该项工程需120天．若由乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成．
（1）求乙单独完成该项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付1.5万元工程费，乙队施工一天，需付2.5万元工程费，若该工程计划在90天内
完成，在不超过工程计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲、乙全程共同完
成更省钱，说明理由．
【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要 天．
由题意得： ，
解得： ，经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，
答：乙队单独完成这项工程需要80天．
（2）由甲、乙全程共同完成更省钱．理由如下：
由乙队独做需费用： （万元）；
甲队独做工期超过90天，不符合要求；
设甲、乙两队合作，完成这项工程需 天，
由题意得： ，
解得： ，
需要施工费用 为 （万元），
，
由甲、乙全程共同完成更省钱．
20．（2023秋•五华区校级期末）第一届全国学生（青年）运动会于2023年11月5日在广西南宁开幕，吉
祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具套餐在市场出现热销．某商家第一次用 33000元去购买吉祥物“壮壮”
和“美美”毛绒玩具套餐，由于深受顾客喜爱，很快售完，第二次又以 40000元购进同款的吉祥物毛绒玩
具套餐，第一次购进每套吉祥物的进价是第二次的1.1倍，且第二次比第一次多购进100套．
（1）求第一次购进一套吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具的价格．
（2）商家以每套140元的价格销售该款毛绒玩具，当第二次销售出 时，为快速销售决定降价促销，若
要使第二次的销售利润不低于13200元，剩余的吉祥物毛绒玩具每套售价至少要多少元？
【解答】解：（1）设第一批吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具进价是 元，则第二批吉祥物“壮壮”和
“美美”毛绒玩具进价是 元，由题意，得
，解得， ，
经检验 是分式方程的解，
所以， （元
答：第一批吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具每套的进价是110元；
（2）设剩余的吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具每套售价 元．
由（Ⅰ）知，第二批购进 （套 ，
由题意，得 ，
解得， ，
答：剩余的吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具每套售价至少要105元．
六．三角形内角和定理（共8题）
21．（2023秋•深圳期末）如图，在△ 中， 是角平分线， ，垂足为 ，点 在点 的左
侧， ， ，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：（1） ， ，
．
又 是 的角平分线，
．
．
，
．
．
故选： ．
22．（2024春•宿城区期末）已知 中， ，将 、 按照如图所示折叠，若 ，则 ．
【解答】解：由折叠知： ， ．
， ，
．
，
，
．
．
故答案为： ．23．（2023秋•九原区期末）如图，在 中， ， ， 是 的角平分线，点
是边 上一点，且 ．
求： 的度数．
【解答】解： 在 中， ， ，
，
平分 ，
，
，
，
．
【点评】本题考查了三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．
24．（2023秋•莘县期末）如图，在 中， ， 分别是 ， 的平分线， ， 分
别是 ， 的平分线．
（1）当 ， 时， ， ；
（2） ，求 ， 的度数；
（3）请你猜想，当 的大小变化时， 的值是否变化？请说明理由．【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可；
（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可；
（3）利用（2）的结论即得结果．
【解答】解：（1） ， 分别是 ， 的平分线， ， ，
， ， ，
；
， 分别是 ， 的平分线，
，
；
（2）在 中， ，
， 分别是 ， 的平分线，
，
；
， 分别是 ， 的平分线，；
；
（3） 的值不变．
由（1）知 ， ，
．
当 的大小变化时， 的值不变．
25．（2024春•西安期末）如图，在 中， ， ， 于点 ， 与
交于点 ．
（1）求 的度数；
（2）若 平分 ， 平分 ，试说明 ．【解答】解：（1） ，
．
，
，
．
（2） 平分 ，
，
．
平分 ，
．
，
．
．
26．（2023秋•邹平市校级期末）现有一张 纸片，点 、 分别是 边上两点，若沿直线
折叠．
研究（1）：如果折成图①的形状，使点 落在 上，则 与 的数量关系是 ．
研究（2）：如果折成图②的形状，猜想 与 的数量关系是 ；
研究（3）：如果折成图③的形状，猜想 、 和 的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）如图1， ，理由是：
由折叠得： ，
，
；
故答案为： ；
（2）如图2，猜想： ，理由是：
由折叠得： ， ，
，
，
；
故答案为： ；
（3）如图3， ，理由是：
， ，
，
，
，
．
故答案为：（1） ；
（2） ．
（3） ．27．（2023秋•台江区期末）在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两
个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中 ， ，
（1）将三角尺如图1所示叠放在一起．
① 与 大小关系是 ；
② 与 的数量关系是 ．
（2）小亮固定其中一块三角尺 不变，绕点 顺时针转动另一块三角尺，从图2的 与 重合开
始，到图3的 与 在一条直线上时结束，探索 的一边与 的一边平行的情况．
①求当 时，如图4所示， 的大小；
②直接写出 的其余所有可能值．
【解答】解：（1）① 与 大小关系是相等；
， ，
，
故答案为：相等；
② 与 的数量关系是： ；
， ，
；
（2）①过点 作 ，如图4.1，，
，
， ，
；
②当 时，如图4.2，则 ；
当 时，如图4.3，则 ；
当 时，如图4.4，则 ，
；当 时，如图4.5，则 ，
；
综上所述： 的其余可能值为 或 或 或 ．
28．（2023秋•东湖区校级期末）课本再现：
（1）由三角形内角和定理可以推导出三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，
我们可以进一步推导：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．
如图1， 是 的外角，则 ，所以 ．（填“ ”、“ ”
或“ ”
（2）实验与探究：
三角形中边与角之间的不等关系
学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角
所对的边也相等．那么不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样
呢？大边所对的角也大吗？
智慧小组把以上问题转化成如下证明题：“如图 2，在 中， ，求证： ．”并作出
了辅助线：作 的平分线 ，在 上截取 ，连接 ．请你结合智慧小组的探究思路完
成该问题的证明过程．
（3）创新小组总结了智慧小组的实验探究结论：在一个三角形中，大边对大角；反之，大角对大边．并
且他们还提出了一个新问题：如图3，在 中， ，那么 ， 之间有怎样的数量关系？
你的猜想是 （填“ ”、“ ”或“ ” ．请证明你的猜想．【解答】（1）解：由三角形外角的定义可知，
， ，
故答案为： ； ；
（2）证明： 是 的平分线，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图
在线段 上取点 ，使得 ，
，
，
，
，
故 ，
，
，
即 ，
故答案为： ．
七．三角形的外角性质（共3题）29．（2023秋•萍乡期末）如图，在 中， ， 是 内角 的平分线，
是 外角 的平分线， 是 外角 的平分线，以下结论不正确的是
A． B．
C． D． 平分
【 分 析 】 、 由 平 分 的 外 角 ， 求 出 ， 由 三 角 形 外 角 得
，且 ，得出 ，利用同位角相等两直线平行得出结论
正确．
、由 ，得出 ，再由 平分 ，所以 ， ，
得出结论 ，
、 在 中 ， ， 利 用 角 的 关 系 得
， 得 出 结 论
；
、用排除法可得结论．
【解答】解： 、 平分 的外角 ，
，
，且 ，
，
，
故 正确．
、由（1）可知 ，
，
平分 ，
，
，
，，
故 正确．
、在 中， ，
平分 的外角 ，
，
，
， ，
， ，
，
，
故 正确；
不妨设， 选项正确，可以推出 ，推出 ，显然不可能，故
错误．
故选： ．
30．（2023秋•江门期末）如图： 是 的外角， 平分 ， 平分 ，且 、
交于点 ．若 ，则 等于A． B． C． D．
【解答】解： 平分 ， 平分 ，
， ．
．
，
．
故选： ．
31．（2023秋•新宾县期末）综合与探究小明在学习中遇到这样一个问题：如图1， ，点 ，
分别在 ， 上运动（不与点 重合）．
探究与发现：若 是 的平分线， 的反向延长线与 的平分线交于点 ．
（1）①若 ，则 ；
②猜想： 的度数是否随 ， 的运动而发生变化？并说明理由；
（2）拓展延伸：如图2，若 ， ，求 的度数．
（3）在图 1 的基础上，如果 ，其余条件不变，随着点 、 的运动（如图 ，
（用含 的代数式表示）
【解答】解：（1）① ， 平分 ，，
，
，
平分 ，
，
，
；
故答案为：45；
②不变化，
理由如下：
平分 ， 平分 ，
，
，
，
，
，
的度数不发生变化；
（2）由（1）②知： ，
，
，
，
；
（3） 平分 ， 平分 ，
，，
，
，
．
故答案为： ．
八．全等三角形的判定（共3题）
32．（2023秋•集贤县期末）如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是
A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等
D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
【解答】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能
有两种情况，故三角形不能确定，
所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等，
故选： ．
33．（2023秋•商州区期末）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点
在 轴上运动（不与点 重合），点 在 轴上运动（不与点 重合），当以点 、 、 为顶点的三角形与 全等时，则点 的坐标为 ．
【解答】解：当点 在 轴负半轴上，点 在 轴负半轴上时， ，
，
；
当点 在 轴负半轴上，点 在 轴正半轴上时， ，
，
；
当点 在 轴的正半轴上，点 在 轴负半轴上时， ，
，
．
故答案为： 或 或
34．（2023秋•广安期末）如图， ， ， ，点 在线段 上以 的
速度由点 向点 运动，同时，点 在线段 上以 的速度由点 向点 运动．它们运动的时间
为 ．当 与 全等时， 的值为 ．
【解答】解：由题意知， ， ， ，与 全等， ，
分两种情况求解：
①当 时， ，即 ，解得 ；
②当 时， ，即 ，解得 ， ，即 ，解得 ；
综上所述， 的值是1或 ，
故答案为：1或 ．
九．直角三角形全等的判定（共2题）
35．（2023秋•九台区期末）如图，在 △ 中， ， ，分别过点 ， 作过点
的直线的垂线 ， ，若 ， ，则 ．
【解答】解： 在 △ 中， ，
，
△ △
，
．
故填7．
36．（2023秋•浦北县期末）如图所示，在 中， ， ， 是 延长线上一点，
点 在 上，且 ．求证： ．【解答】证明： ，
，
，
为等腰直角三角形，
，
在 和 中，
，
．
十．全等三角形的判定与性质（共8题）
37．（2023秋•茌平区期末）如图， ， ， 于点 ， 于点 ， ，
，则 的长是
A．2 B．5 C．7 D．9
【解答】解： 于点 ， 于点 ，
，
在 △ 与 △ 中，
，△ △ ，
， ，
，
故选： ．
38．（2023秋•商丘期末）如图，在 中， ， ，点 的坐标为 ，点 的坐
标为 ，点 的坐标是 ．
【解答】解：过 和 分别作 于 ， 于 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，， ， ，
， ，
，
则 点的坐标是
故答案为
39．（2023 秋•新抚区期末）如图， 平分 ， ， 的延长线交 于点 ，如果
，则 的度数为 ．
【解答】解： 平分 ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
40．（2024春•道里区期末）如图，在 中， ， ， ， 为 边上的
高，点 从点 出发，在直线 上以 的速度移动，过点 作 的垂线交直线 于点 ，当点
运动
时， ．【解答】解： ，
，
为 边上的高，
，
，
，
，
，
过点 作 的垂线交直线 于点 ，
，
在 和 中，
，
，
，
①如图，当点 在射线 上移动时， ，
点 从点 出发，在直线 上以 的速度移动，
移动了： ；
②当点 在射线 上移动时， ，
点 从点 出发，在直线 上以 的速度移动，
移动了： ；
综上所述，当点 在射线 上移动 或 时， ；故答案为：2或5．
41．（2023秋•雨花区期末）如图，在△ 中， ， ，点 在线段 上运动（点
不与点 、 重合），连接 ，作 ， 交线段 于点 ．
（1）当 时， ， ；
（2）线段 的长度为何值时，△ △ ？请说明理由；
（3）在点 的运动过程中，△ 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出 的度数；若
不可以，请说明理由．
【解答】解：（1） ，
，
， ，
，
，
故答案为： ； ；
（2）当 时，△ △ ，
理由： ， ，
，
，
，
，
，
，
在△ 和△ 中，，
△ △ ；
（3）当 的度数为 或 时，△ 的形状是等腰三角形，
①当 时， ，
；
②当 时， ，
，
此时，点 与点 重合，不合题意；
③当 时， ，
；
综上所述，当 的度数为 或 时，△ 的形状是等腰三角形．
42．（2023秋•汉阳区校级期末）如图所示，人教版八年级上册数学教材 数学活动中有这样一段描述：
如图，四边形 中， ， ．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）试猜想筝形的对角线 与 有什么位置关系？并用全等三角形的知识证明你的猜想；
（2）过点 作 交 于点 ，若 ， ，求 的长．
【解答】解：（1） ，
证明：在 和 中，
，
，
，
， ，．
（2） ，
，
，
，
，
， ，
，
，
的长为6．
43．（2023 秋•蓬莱区期末）如图，在 中， ， ，点 是 内一点，
， ，点 是 延长线上一点， ．
（1）求 的度数；
（2）线段 ， ， 之间有什么数量关系？请说明理由．
【解答】解：（1） ， ，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，，
，
；
（2） ，
理由如下：在线段 上截取 ，连接 ，
， ，
是等边三角形，
．
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
．
，
．
44．（2023秋•颍泉区校级期末）在 中， ， ，点 在 的延长线上， 是
的中点， 是射线 上一动点，且 ，连接 ，作 ， 交 延长线于点 ．（1）如图1，当点 在 上时，填空： （填“ ”、“ ”或“ ” ．
（2）如图2，当点 在 的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断 与 的数量关系，并证明
你的结论．
【解答】解：（1） ，理由如下：
连接 ，如图1所示：
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
，
是 的中点，
，
在 和 中，，
，
，
，
故答案为： ；
（2）根据题意将图形补全，如图2所示：
与 的数量关系： ，证明如下：
连接 ，
，点 在 的延长线上，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
，
是 的中点，
，
在 和 中，
，
，
，．
十一．全等三角形的应用（共2题）
45．（2024春•海州区校级期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点 ， 的距离，小明在池塘外取
的垂线 上的点 ， ，使 ，再画出 的垂线 ，使 与 ， 在一条直线上，这时测得
的长就是 的长，依据是
A． B． C． D．
【解答】解：因为证明在 用到的条件是： ， ， ，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即 这一方法．
故选： ．46．（2023秋•遵义期末）某同学用10块高度都是 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，
木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板 ，点 在 上，点 和 分别与
木墙的顶端重合．
（1）求证：△ △ ；
（2）求两堵木墙之间的距离．
【解答】（1）证明：由题意得： ， ， ， ，
，
， ，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ；
（2）解：由题意得： ， ，
△ △ ，
， ，
，
答：两堵木墙之间的距离为 ．
十二．角平分线的性质（共3题）
47．（2023秋•蜀山区期末）如图，已知 ， 平分 ，点 在 上， 于 ，，点 是射线 上的动点，则 的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解： ， 平分 ，
，
， ，
，
过点 作 于点 ，
平分 ， ， ，
，
的最小值为 ．
故选： ．
48．（2023秋•凉州区校级期末）如图，在 中， ， 是 的平分线， 于点
， ．则 的面积为 ．【解答】解：作 于 ，
是 的平分线， ，
，
的面积 ．
故答案为：9．
49．（2023秋•西峰区期末）如图， 是 的角平分线， 于点 ， ， ，
，则 长是 ．
【解答】解：过 作 于 ，
是 的角平分线， ，
，
，
的面积为7，
的面积为 ，
，，
故答案为：3
十三．等腰三角形的判定与性质（共3题）
50．（2023秋•东城区期末）如图，在△ 中， ， ， 和 的平分线交于 点，
过点 作 的平行线交 于 点，交 于 点，则△ 的周长为 ．
【解答】解： 为 的平分线， 为 的平分线，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
，
， ，
△ 周长为 ，
故答案为：10
51．（2023秋•宁安市期末）如图，在 中， 平分 ， 于点 ， 交 于
点 ，若 ，则 ．【解答】解： 是 的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：4．
52．（2023秋•秦安县校级期末）如图1， 中， 、 的平分线交于 点，过 点作 平
行线交 、 于 、 ．
（1）请写出图1中线段 ， ， 之间的数量关系？并说明理由．
（2）如图2， 若 的平分线与 的外角平分线交于 ，过点 作 平行线交 于 ，
交 于 ．那么 ， ， 之间存在什么数量关系？并证明这种关系．【解答】解：（1） ，理由如下：
和 的平分线相交于点 ，
， ，
过 点作 平行线交 、 于 、 ．
，
， ，
， ，
， ，
，
即 ；
（2） ，理由如下：
和 的平分线相交于点 ，
， ，
过 点作 平行线交 、 于 、 ．
，
， ，
， ，
， ，
，
．十四．等边三角形的判定与性质（共2题）
53．（2023秋•乳山市期末）在△ 中， ， ， ，垂足为 ，且 ．
，其两边分别交边 ， 于点 ， ．
（1）求证：△ 是等边三角形；
（2）求证： ．
【解答】（1）证明： ， ，
，
，
，
，
△ 是等边三角形；
（2）证明： △ 是等边三角形，
，
，
，
，
，
在△ 与△ 中，
，
△ △ ，
．54．（2023秋•宣化区期末）已知：如图所示，△ 是边长 的等边三角形，动点 、 同时从 、
两点出发，分别在 、 边上匀速移动，它们的速度分别为 ， ，当点 到
达点 时， 、 两点停止运动，设点 的运动时间为 ．
（1）当 为何值时，△ 为等边三角形？
（2）当 为何值时，△ 为直角三角形？
【解答】解：（1）由题意可知 ， ，则 ，
当△ 为等边三角形时，
则有 ，即 ，
解得 ，
即当 时，△ 为等边三角形；
（2）当 时，
，，
在 △ 中， ，
即 ，
解得 ；
当 时，
同理可得 ，
即 ，
解得 ，
综上可知当 为 或 时，△ 为直角三角形．
十五．含30度角的直角三角形（共2题）
55．（2023秋•凉州区校级期末）如图，在△ 中， ， ， ，点 从点
出发以每秒 的速度向点 运动，点 从点 同时出发以每秒 的速度向点 运动，其中一个动点到
达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为 秒，当△ 为直角三角形时， 的值为
A．2.5秒 B．3秒 C．2.5或3秒 D．3或 秒
【解答】解：根据题意得： ， ，
△ 为直角三角形， ，
当 ， 时，则 ，，
解得： ，
当 ， 时，则 ，
，
解得： ，
综上，当 的值为3秒或 秒时，△ 为直角三角形，
故选： ．
56．（2024春•威海期末）如图，在△ 中， ， ， ，点 在 的延长线上，
点 在 边上，且 ，若 ，则 的长等于
A．3 B． C．2 D．
【解答】解：过点 作 于 ．
在 △ 中， ， ，
，
， ，
，
，
．
， 于 ，
，
．故选： ．
十六．多边形内角与外角（共2题）
57．（2023秋•都匀市期末）如图，七边形 中， ， 的延长线交于点 ，若 ， ，
， 的外角和等于 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： 、 、 、 的外角的角度和为 ，
，
，
五边形 内角和 ，
，
，
故选： ．
58．（2024春•肥乡区期末）把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若 ，
，则 ．【解答】解：等边三角形的内角的度数是 ，正方形的内角度数是 ，正五边形的内角的度数是：
，
则 ．
故答案为： ．
十七．轴对称-最短路线问题（共2题）
59．（2023秋•微山县期末）如图，在 中， ， ， 于点 ． 是 上的
一个动点， 于点 ，连接 ．若 ，则 的最小值是
A．5 B．6 C．8 D．9
【解答】解：如图，作 于 ，交 于 ，连接 ， ，
在 中， ， ，是等边三角形，
， ，
， ，
点 关于 的对称点为点 ，
，
，
当 、 、 在同一直线上且 时， 的值最小，为 ，
的最小值是6，
故选： ．
60．（2024春•城关区校级期末）如图，在 中， ， ， ， ，点
是 上一点，连接 ，点 到 的距离等于 的长， 、 分别是 、 上的动点，连接 ，
，则 的最小值是 ．
【解答】解：点 到 的距离等于 的长，
是 的平分线，
过点 作 交 于点 ，再过点 作 交 于点 ，
，
，此时 有最小值，
中， ， ， ， ，
，
，
故答案为：4.8．
