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7.5 空间几何的外接球（精练）
1．（2023秋·贵州铜仁）在三棱锥 中， 平面ABC， ， ，则三棱
锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥 的体积是 ，
底面 是正方形， 是等边三角形，平面 平面 ，则四棱锥 外接球表面积为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·甘肃酒泉）一个到球心距离为1的平面截球所得截面的面积为π，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·辽宁大连）已知某圆锥的底面半径为2，其体积与半径为1的球的体积相等，则该圆锥的母
线长为（ ）
A．2 B． C．5 D．
5．（2023春·陕西榆林 ）若正三棱锥 的高为 ， ，其各顶点都在同一球面上，则该球的
表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·广东韶关 ）已知三棱锥 的顶点都在球 的球面上， 平面
，若球 的体积为 ，则该三棱锥的体积的最大值是（ ）
A． B．5 C． D．
7．（2023春·湖南）2022年卡塔尔足球世界杯吸引了全世界许多球迷的关注，足球最早起源于我国古代
“蹴鞠”，被列为国家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗和臣子们蹴鞠的场景．已知某“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D，连接这四点构成三棱锥 如图所示，
顶点A在底面的射影落在△BCD内，它的体积为 ，其中△BCD和△ABC都是边长为 的正
三角形，则该“鞠”的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·山西太原）已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是 ，则该正方体的
体积为（ ）
A．4 B．16 C．8 D．64
9．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知四棱锥 的底面 是矩形，高为 ，
， ， ， ，则四棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，
设它的体积为 ，它的内切球的体积为 ，则 （ ）A． B． C． D．
11．（2023秋·广东深圳·高三校联考开学考试）已知一个圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥内切球的
表面积与圆锥的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023春·广西南宁 ）在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023春·重庆江津 ）如图，已知棱长为1的正方体 中，下列命题正确的是（ ）
A．正方体外接球的半径为
B．点 在线段 上运动，则四面体 的体积不变
C．与所有12条棱都相切的球的体积为D． 是正方体的内切球的球面上任意一点，则 长的最小值是
14．（2023春·陕西安康·高三校考阶段练习）如图，在三棱锥 中，已知 ， ，
， ，平面 平面 ，三棱锥 的体积为 ，若点 ， ， ， 都在球
的球面上，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023春·山东济宁 ）在三棱锥 中， ， 是边长为6的等边三角形，
若平面 平面 ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
16．（2023秋·浙江丽水 ）在四面体PABC中， ， 是边长为2的等边三角形，若二面角
的大小为 ，则四面体 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
17．（2023春·四川宜宾 ）在矩形 中， ， 为 的中点，将 和 沿 ，
翻折，使点 与点 重合于点 ，若 ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
18．（2023秋·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）在三棱锥 中，
，二面角 的大小为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为
．
19（2023春·贵州黔西·高一校考阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂
直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”（如图所示），其中 底面 ， ， ，，则该“阳马”的外接球的表面积为 ．
20．（2023春·四川成都 ）已知圆锥的底面半径为2，高为 ，则该圆锥的内切球表面积为 .
20．（2023春·辽宁沈阳 ）已知四面体 中， ， ，则该四
面体外接球的表面积为 ．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知点 均在球 的球面上运动，且满足 ，若三棱锥
体积的最大值为 ，则球 的体积为 .
22．（2023春·河北承德 ）已知三棱锥 的各侧棱长均为 ，且 ，则
三棱锥 的外接球的表面积为 .
23．（2023春·江西赣州 ）如图，在等腰直角三角形ABC中，点P为线段AB的中点， ，
，将 沿 所在直线进行翻折，得到三棱锥 ，当 时，此三棱锥的外接
球表面积为 ．
24．（2023春·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）已知正三棱锥 的顶点都在球O的球面
上，其侧棱与底面所成角为 ，且 ，则球O的表面积为1．（2024秋·甘肃武威·高三民勤县第一中学校联考开学考试）在三棱锥 中， 为等边三角形，
，则三棱锥 外接球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·广东阳江·高三统考开学考试）在三棱锥 中， ， ，二面角
的平面角为 ，则三棱锥 外接球表面积的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·江西赣州 ）已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球 ，然后再放入一
个球 ，使得球 与球 及正四面体的三个侧面都相切，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·贵州遵义 ）已知三棱锥 中， ， ， ，三棱锥
的外接球的表面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2023春·浙江丽水）如图，在三棱柱 中， 底面 ， ， ，
， 在上底面 （包括边界）上运动，则三棱锥 的外接球体积的最大值为
（ ）A． B．
C． D．
6．（2023春·山东聊城 ）（多选）已知正三棱锥的侧棱长为 ，底面边长为6，则（ ）
A．正三棱锥的高为6
B．正三棱锥的表面积为
C．正三棱锥的体积为
D．正三棱锥的外接球的体积为
7．（2023春·浙江金华）（多选）在三棱锥 中， 两两垂直， ，点
分别在侧面 和棱 上运动且 为线段 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥 的内切球的半径为B．三棱锥 的外接球的表面积为
C．点 到底面 的距离的最小值为
D．三棱锥 的体积的最大值为
8．（2023春·湖北武汉）（多选）如图，在四边形 中， 和 是全等三角形， ，
， ， ．下面有两种折叠方法将四边形 折成三棱锥．折法①；将
沿着 折起，得到三棱锥 ，如图1．折法②：将 沿着 折起，得到三棱锥 ，
如图2．下列说法正确的是（ ）．
A．按照折法①，三棱锥 的外接球表面积恒为
B．按照折法①，存在 满足
C．按照折法②﹐三棱锥 体积的最大值为
D．按照折法②，存在 满足 平面 ，且此时 与平面 所成线面角正弦值为
9（2023春·江苏南通）（多选）如图，圆锥 内有一个内切球 ，球 与母线 分别切于点 .若
是边长为2的等边三角形， 为圆锥底面圆的中心， 为圆 的一条直径（ 与 不重合），
则下列说法正确的是（ ）A．球的表面积与圆锥的侧面积之比为
B．平面 截得圆锥侧面的交线形状为抛物线
C．四面体 的体积的取值范围是
D．若 为球面和圆锥侧面的交线上一点，则 最大值为
10．（2023秋·全国·高三校联考开学考试））在三棱锥 中，平面 平面 ，底面 是
边长为3的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为 ，则该三棱锥体积的最大值为 .
11（2023春·甘肃金昌 ）已知四棱锥 的底面是边长为4的正方形，顶点M在底面的射影恰为A
点，且 为等腰三角形，则四棱锥 外接球的体积为 .
12．（2023春·海南 ）已知四棱锥 的外接球 的体积为 ， 平面 ，且底面
为矩形， ，则四棱锥 体积的最大值为 .
13．（2023春·江西九江 ）正四棱台 的高为 ， ， ，球 在该正四棱台
的内部，则球 表面积的最大值为 .
