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期末真题必刷常考提升 60 题（考题猜想，17 种必考题型）
一．乘法公式（共4题）
1．（2024春•枣庄期末）如图，从边长为 的大正方形中剪掉一个边长为 的小正方形，再将剩下的阴影
部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立
A． B．C． D．
2．（2023秋•启东市期末）设有边长分别为 和 的 类和 类正方形纸片、长为 宽为 的 类
矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为 的正方形，需要1张 类纸片、1张 类纸片和2张 类
纸片．若要拼一个长为 ，宽为 的矩形，则需要 类纸片的张数为 张．
3．（2023秋•大理州期末）在课后服务课上，老师准备了若干张如图 1的三种纸片， 种纸片是边长为
的正方形， 种纸片是边长为 的正方形， 种纸片是长为 ，宽为 的长方形，并用 种纸片一张，
种纸片一张， 种纸片两张拼成如图2的大正方形．
【发现】
（1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 ；
【应用】
（2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题：
①已知： ， ，求 的值；
②如果一个长方形的长和宽分别为 和 ，且 ．求这个长方形的面积．4．（2023秋•郯城县期末）如图，在边长为 的正方形中挖去一个边长为 的小正方形 ，把余下的
部分剪拼成一个矩形．
（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是： ；
．
．
．
．
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知： ， ，求 的值；
②计算： ．
二．因式分解（共3题）5．（2023秋•乌兰察布期末）已知 、 是 的两边，且满足 ，则 的形状是
．
6．（2023秋•綦江区期末）若一个四位正整数 满足： ，我们就称该数是“振兴数”，则
最小的“振兴数”是 ；若一个“振兴数” 满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数
字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“振兴数” 的最小值为 ．
7．（2023秋•湖北期末）阅读以下材料
材料：因式分解：
解：将“ ”看成整体，令 ，则原式
再将“ ”还原，得原式
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解： ；
（2）因式分解： ；
（3）求证：无论 为何值，式子 的值一定是一个不小于1的数．
三．分式的运算（共2题）
8．（2023秋•潮安区期末）先化简，再求值： ，其中 ．
9．（2023秋•洮北区期末）先化简，再求值 ，其中 ．四．分式方程（共7题）
10．（2023秋•竹溪县校级期末）若关于 的不等式组 的解集为 ，且关于 的分式
方程 的解为非负数，则所有满足条件的整数 的个数是
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．（2023秋•夏津县期末）已知关于 的分式方程 的解为非负数，则 的取值范围是
．
12．（2023秋•北流市期末）若关于 的分式方程 无解，则 的值为 ．
13．（2023 秋•宜都市期末）定义运算“※”： ※ ，若 5※ ，则 的值为
．
14．（2023秋•凉州区期末）若关于 的分式方程 有增根，则 的值为 ．
15．（2024春•成华区期末）关于 的分式方程 有增根，则 ．
16．（2023秋•朝阳区期末）解分式方程：五．分式方程的应用（共4题）
17．（2024春•安庆期末）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角
的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多 5元，且用
200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．
（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？
（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？
18．（2023秋•钢城区期末）“元旦”期间，某电商想购进 、 两种商品出售，已知每件 种商品的进
价比每件 种商品的进价少5元，且用400元购进 种商品的数量是用100元购进 种商品数量的2倍．
（1）求每件 种商品和每件 种商品的进价分别是多少元？
（2）商店决定购进 、 两种商品共80件， 种商品加价5元出售， 种商品比进价提高 后出售，
要使所有商品全部出售后利润不少于200元，求 种商品至少购进多少件？
19．（2023秋•十堰期末）某区在进行雨水、污水管道改造工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测
算，甲工程队单独完成该项工程需120天．若由乙先单独做20天，余下的工程由甲、乙合做36天可完成．
（1）求乙单独完成该项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付1.5万元工程费，乙队施工一天，需付2.5万元工程费，若该工程计划在90天内
完成，在不超过工程计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲、乙全程共同完
成更省钱，说明理由．
20．（2023秋•五华区校级期末）第一届全国学生（青年）运动会于2023年11月5日在广西南宁开幕，吉
祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具套餐在市场出现热销．某商家第一次用 33000元去购买吉祥物“壮壮”
和“美美”毛绒玩具套餐，由于深受顾客喜爱，很快售完，第二次又以 40000元购进同款的吉祥物毛绒玩
具套餐，第一次购进每套吉祥物的进价是第二次的1.1倍，且第二次比第一次多购进100套．
（1）求第一次购进一套吉祥物“壮壮”和“美美”毛绒玩具的价格．（2）商家以每套140元的价格销售该款毛绒玩具，当第二次销售出 时，为快速销售决定降价促销，若
要使第二次的销售利润不低于13200元，剩余的吉祥物毛绒玩具每套售价至少要多少元？
六．三角形内角和定理（共8题）
21．（2023秋•深圳期末）如图，在△ 中， 是角平分线， ，垂足为 ，点 在点 的左
侧， ， ，则 的度数为
A． B． C． D．
22．（2024春•宿城区期末）已知 中， ，将 、 按照如图所示折叠，若 ，
则 ．
23．（2023秋•九原区期末）如图，在 中， ， ， 是 的角平分线，点
是边 上一点，且 ．
求： 的度数．24．（2023秋•莘县期末）如图，在 中， ， 分别是 ， 的平分线， ， 分
别是 ， 的平分线．
（1）当 ， 时， ， ；
（2） ，求 ， 的度数；
（3）请你猜想，当 的大小变化时， 的值是否变化？请说明理由．
25．（2024春•西安期末）如图，在 中， ， ， 于点 ， 与
交于点 ．
（1）求 的度数；
（2）若 平分 ， 平分 ，试说明 ．26．（2023秋•邹平市校级期末）现有一张 纸片，点 、 分别是 边上两点，若沿直线
折叠．
研究（1）：如果折成图①的形状，使点 落在 上，则 与 的数量关系是 ．
研究（2）：如果折成图②的形状，猜想 与 的数量关系是 ；
研究（3）：如果折成图③的形状，猜想 、 和 的数量关系，并说明理由．
27．（2023秋•台江区期末）在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两
个直角三角形中的位置关系与数量关系．（其中 ， ，（1）将三角尺如图1所示叠放在一起．
① 与 大小关系是 ；
② 与 的数量关系是 ．
（2）小亮固定其中一块三角尺 不变，绕点 顺时针转动另一块三角尺，从图2的 与 重合开
始，到图3的 与 在一条直线上时结束，探索 的一边与 的一边平行的情况．
①求当 时，如图4所示， 的大小；
②直接写出 的其余所有可能值．
28．（2023秋•东湖区校级期末）课本再现：
（1）由三角形内角和定理可以推导出三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，
我们可以进一步推导：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．
如图1， 是 的外角，则 ，所以 ．（填“ ”、“ ”
或“ ”
（2）实验与探究：
三角形中边与角之间的不等关系
学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角
所对的边也相等．那么不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样
呢？大边所对的角也大吗？
智慧小组把以上问题转化成如下证明题：“如图 2，在 中， ，求证： ．”并作出
了辅助线：作 的平分线 ，在 上截取 ，连接 ．请你结合智慧小组的探究思路完成该问题的证明过程．
（3）创新小组总结了智慧小组的实验探究结论：在一个三角形中，大边对大角；反之，大角对大边．并
且他们还提出了一个新问题：如图3，在 中， ，那么 ， 之间有怎样的数量关系？
你的猜想是 （填“ ”、“ ”或“ ” ．请证明你的猜想．
七．三角形的外角性质（共3题）
29．（2023秋•萍乡期末）如图，在 中， ， 是 内角 的平分线，
是 外角 的平分线， 是 外角 的平分线，以下结论不正确的是
A． B．
C． D． 平分
30．（2023秋•江门期末）如图： 是 的外角， 平分 ， 平分 ，且 、
交于点 ．若 ，则 等于A． B． C． D．
31．（2023秋•新宾县期末）综合与探究小明在学习中遇到这样一个问题：如图1， ，点 ，
分别在 ， 上运动（不与点 重合）．
探究与发现：若 是 的平分线， 的反向延长线与 的平分线交于点 ．
（1）①若 ，则 ；
②猜想： 的度数是否随 ， 的运动而发生变化？并说明理由；
（2）拓展延伸：如图2，若 ， ，求 的度数．
（3）在图 1 的基础上，如果 ，其余条件不变，随着点 、 的运动（如图 ，
（用含 的代数式表示）
八．全等三角形的判定（共3题）
32．（2023秋•集贤县期末）如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等
D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
33．（2023秋•商州区期末）如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点
在 轴上运动（不与点 重合），点 在 轴上运动（不与点 重合），当以点 、 、 为顶点的三
角形与 全等时，则点 的坐标为 ．
34．（2023秋•广安期末）如图， ， ， ，点 在线段 上以 的
速度由点 向点 运动，同时，点 在线段 上以 的速度由点 向点 运动．它们运动的时间
为 ．当 与 全等时， 的值为 ．
九．直角三角形全等的判定（共2题）
35．（2023秋•九台区期末）如图，在 △ 中， ， ，分别过点 ， 作过点
的直线的垂线 ， ，若 ， ，则 ．36．（2023秋•浦北县期末）如图所示，在 中， ， ， 是 延长线上一点，
点 在 上，且 ．求证： ．
十．全等三角形的判定与性质（共8题）
37．（2023秋•茌平区期末）如图， ， ， 于点 ， 于点 ， ，
，则 的长是
A．2 B．5 C．7 D．9
38．（2023秋•商丘期末）如图，在 中， ， ，点 的坐标为 ，点 的坐
标为 ，点 的坐标是 ．39．（2023 秋•新抚区期末）如图， 平分 ， ， 的延长线交 于点 ，如果
，则 的度数为 ．
40．（2024春•道里区期末）如图，在 中， ， ， ， 为 边上的
高，点 从点 出发，在直线 上以 的速度移动，过点 作 的垂线交直线 于点 ，当点
运动
时， ．
41．（2023秋•雨花区期末）如图，在△ 中， ， ，点 在线段 上运动（点
不与点 、 重合），连接 ，作 ， 交线段 于点 ．
（1）当 时， ， ；
（2）线段 的长度为何值时，△ △ ？请说明理由；
（3）在点 的运动过程中，△ 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出 的度数；若
不可以，请说明理由．
42．（2023秋•汉阳区校级期末）如图所示，人教版八年级上册数学教材 数学活动中有这样一段描述：如图，四边形 中， ， ．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）试猜想筝形的对角线 与 有什么位置关系？并用全等三角形的知识证明你的猜想；
（2）过点 作 交 于点 ，若 ， ，求 的长．
43．（2023 秋•蓬莱区期末）如图，在 中， ， ，点 是 内一点，
， ，点 是 延长线上一点， ．
（1）求 的度数；
（2）线段 ， ， 之间有什么数量关系？请说明理由．
44．（2023秋•颍泉区校级期末）在 中， ， ，点 在 的延长线上， 是
的中点， 是射线 上一动点，且 ，连接 ，作 ， 交 延长线于点 ．（1）如图1，当点 在 上时，填空： （填“ ”、“ ”或“ ” ．
（2）如图2，当点 在 的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断 与 的数量关系，并证明
你的结论．
十一．全等三角形的应用（共2题）
45．（2024春•海州区校级期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点 ， 的距离，小明在池塘外取
的垂线 上的点 ， ，使 ，再画出 的垂线 ，使 与 ， 在一条直线上，这时测得
的长就是 的长，依据是
A． B． C． D．
46．（2023秋•遵义期末）某同学用10块高度都是 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板 ，点 在 上，点 和 分别与
木墙的顶端重合．
（1）求证：△ △ ；
（2）求两堵木墙之间的距离．
十二．角平分线的性质（共3题）
47．（2023秋•蜀山区期末）如图，已知 ， 平分 ，点 在 上， 于 ，
，点 是射线 上的动点，则 的最小值为
A． B． C． D．
48．（2023秋•凉州区校级期末）如图，在 中， ， 是 的平分线， 于点
， ．则 的面积为 ．49．（2023秋•西峰区期末）如图， 是 的角平分线， 于点 ， ， ，
，则 长是 ．
十三．等腰三角形的判定与性质（共3题）
50．（2023秋•东城区期末）如图，在△ 中， ， ， 和 的平分线交于 点，
过点 作 的平行线交 于 点，交 于 点，则△ 的周长为 ．
51．（2023秋•宁安市期末）如图，在 中， 平分 ， 于点 ， 交 于
点 ，若 ，则 ．
52．（2023秋•秦安县校级期末）如图1， 中， 、 的平分线交于 点，过 点作 平
行线交 、 于 、 ．
（1）请写出图1中线段 ， ， 之间的数量关系？并说明理由．
（2）如图2， 若 的平分线与 的外角平分线交于 ，过点 作 平行线交 于 ，交 于 ．那么 ， ， 之间存在什么数量关系？并证明这种关系．
十四．等边三角形的判定与性质（共2题）
53．（2023秋•乳山市期末）在△ 中， ， ， ，垂足为 ，且 ．
，其两边分别交边 ， 于点 ， ．
（1）求证：△ 是等边三角形；
（2）求证： ．54．（2023秋•宣化区期末）已知：如图所示，△ 是边长 的等边三角形，动点 、 同时从 、
两点出发，分别在 、 边上匀速移动，它们的速度分别为 ， ，当点 到
达点 时， 、 两点停止运动，设点 的运动时间为 ．
（1）当 为何值时，△ 为等边三角形？
（2）当 为何值时，△ 为直角三角形？
十五．含30度角的直角三角形（共2题）
55．（2023秋•凉州区校级期末）如图，在△ 中， ， ， ，点 从点
出发以每秒 的速度向点 运动，点 从点 同时出发以每秒 的速度向点 运动，其中一个动点到
达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为 秒，当△ 为直角三角形时， 的值为A．2.5秒 B．3秒 C．2.5或3秒 D．3或 秒
56．（2024春•威海期末）如图，在△ 中， ， ， ，点 在 的延长线上，
点 在 边上，且 ，若 ，则 的长等于
A．3 B． C．2 D．
十六．多边形内角与外角（共2题）
57．（2023秋•都匀市期末）如图，七边形 中， ， 的延长线交于点 ，若 ， ，
， 的外角和等于 ，则 的度数为
A． B． C． D．
58．（2024春•肥乡区期末）把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若 ，
，则 ．十七．轴对称-最短路线问题（共2题）
59．（2023秋•微山县期末）如图，在 中， ， ， 于点 ． 是 上的
一个动点， 于点 ，连接 ．若 ，则 的最小值是
A．5 B．6 C．8 D．9
60．（2024春•城关区校级期末）如图，在 中， ， ， ， ，点
是 上一点，连接 ，点 到 的距离等于 的长， 、 分别是 、 上的动点，连接 ，
，则 的最小值是 ．
