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7.4 空间距离（精练）
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 是棱长为1的正方体，则平面 与平面 的
距离为 ．
【答案】
【解析】以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
可得 ，
因为 ，则 ，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
所以平面 与平面 的距离等于点 到平面 的距离 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，可得 ，所以 ，
又因为 ，所以 ．
所以平面 与平面 的距离为 ．
故答案为： ．
2．（2023·全国·高三专题练习）棱长为1的正方体 如图所示， 分别为直线 上
的动点，则线段 长度的最小值为 ．
【答案】
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，当PQ为两异面直线的公垂线段
时，PQ长度最短，此时PQ长度为MN的最小值,
则 ,
由 ，所以 ，所以 ,
所以
故答案为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）如图，在菱形ABCD中， ， ，沿对角线
BD将 折起，使点A，C之间的距离为 ，若P，Q分别为线段BD，CA上的动点，则线段PQ的
最小值为 .
【答案】
【解析】取BD的中点E，连接AE，EC，则 ， ， .
因为 ，所以 ，即 .
以E为原点，分别以EB，EC，EA所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， .设 ， ，
所以 ，
从而有 ，
当 ， 时， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体 中，AB＝1，M，N分别是棱AB， 的
中点，E是BD的中点，则异面直线 ，EN间的距离为 .
【答案】
【解析】
以 为原点， 的方向为 轴建立空间直角坐标系，易知
，
，设 同时垂直于 ，由 ，令
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，得 ，
又 ，则异面直线 ，EN间的距离为 .
故答案为： .
5．（2022·全国·高三专题练习）如图，正四棱锥 的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点
M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为 ．
【答案】
【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系 ，则有：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ， ， ， ，
可得：
设 ，且
则有： ，
可得：
则有：
故
则当且仅当 时，
故答案为：
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，棱长为1的正方体ABCD-ABC D 中，N是棱AD的中点，M是棱
1 1 1 1
CC 上的点，且CC =3CM，则直线BM与BN之间的距离为 .
1 1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【解析】正方体的棱长为1，如图，以D为坐标原点， 所在方向分别为 轴正方向建立空
间直角坐标系，
则B(1，1，0)，B(1，1，1)， ， ，∴ =(0，0，1)， ，
1
.
设直线BM与BN的公垂线方向上的向量 ，由 ， ，
1
得 ，令x=2，则z=6，y=-7，∴ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设直线BM与BN之间的距离为d，则d= = = .
1
故答案为： .
7．（2023秋·广东东莞·高三校联考阶段练习）如图所示，在四棱锥 中，侧面 是正三角形，
且与底面 垂直， 平面 ， ， 是棱 上的动点.
(1)当 是棱 的中点时，求证： 平面 ；
(2)若 ， ，求点 到平面 距离的范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：因为 平面 ， 平面 ，且平面 平面 ，所以
.
取 的中点 ，连接 、 ，
因为 是棱 的中点，所以， 且 ，
因为 且 ，所以， 且 ，
所以，四边形 为平行四边形，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）解：取 的中点 ，连接 .
因为 是正三角形，所以 .
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以， 平面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ， ， 为 的中点，所以， 且 ，
所以，四边形 为平行四边形，则 ，
因为 ，则 ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 ，所以 ，
设 ，其中 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，
所以 ，
令 ，得 ，
设点 到平面 距离为 ， .
当 时， ；
当 时， ，则 ，
当且仅当 时等号成立.
综上，点 到平面 距离的取值范围是 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】8．（2022秋·福建泉州·高三校联考期中）如图，已知四棱锥 的底面是菱形，对角线 ， 交
于点 ， ， ， ， 底面 ，设点 是 的中点．
(1)直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)点 到平面 的距离.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为四边形 为菱形，所以 ，
又 面 ，故以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，如图，
因为 ， ， ，且 为 中点，
则 ， ， ， ， ， ，
故 ， ， ，
设面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，故 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
（2）由（1）可知 ，面 的一个法向量为 ，
所以点 到平面 的距离 ，
故点 到平面 的距离为 ．
9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）三棱台 中， 平面 ，
，且 ， ， 是 的中点．
(1)求三角形 重心 到直线 的距离；
(2)求二面角 的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 ，所以 ， ，
在平面 内过点 作 ，建立如图所示空间直角坐标系 ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ， ， ， ，
过点 作 ，设 ，
.
则 .
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ．
即三角形 重心 到直线 的距离为 .
（2） ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设平面 的法向量 ，则 ，
取 ，则
设平面 的法向量 ，则 ，
取 ，则
所以，
由图可知，二面角 为锐角，所以，二面角 的余弦值为 ．
10．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和 个圆柱拼接而成，点
为弧 的中点，且 ， ， ， 四点共面.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若平面 与平面 所成二面角的余弦值为 ，且线段 长度为2，求点 到直线 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）过 作 ，交底面弧于 ，连接 ，易知： 为平行四边形，
所以 ，又 为弧 的中点，则 是弧 的中点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，而由题设知： ，则 ，
所以 ，即 ，由 底面 ， 平面 ，则 ，又 ，
平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）由题意，构建如下图示空间直角坐标系 ，
令半圆柱半径为 ，高为 ，则 ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
若 是面 的一个法向量，则 ，令 ，则 ，
若 是面 的一个法向量，则 ，令 ，则 ，
所以 ，
整理可得 ，则 ，又 ，
由题设可知，此时点 ， ， ，
则 ， ，
所以点 到直线 的距离 .
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】11．（2023·天津·校联考模拟预测）如图，在三棱锥 中， 底面 ， ．点 ，
， 分别为棱 ， ， 的中点， 是线段 的中点， ， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求点 到直线 的距离；
(3)在线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，求出线段
的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】（1）因为 底面 ， ，
建立空间直角坐标系如图所示，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
所以 ，
设 为平面 的法向量，
则 ，即 ，不妨设 ，可得 ，
又 ，
可得 ，因为 平面 ，
所以 平面 ，
（2）因为 ，
所以点 到直线 的距离 .
（3）设 ， ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，则 ，
所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】12．（2023·全国·高三专题练习）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形. ，E，
F分别为AC和 的中点， .
(1)求四棱锥 的体积；
(2)是否存在点D在直线 上，使得异面直线BF，DE的距离为1?若存在，求出此时线段DE的长；若不
存在，请说明理由.
【答案】(1)1
(2)存在， 或
【解析】（1）
∵侧面 为正方形，∴ ，
又 ，且 ， 面 ，
∴ 平面 ，又 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ 平面 ，取BC中点G，
则 ，∴ 平面 .
∴ .
（2）以 为原点，分别以BA，BC， 所在直线建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ， ，
设 ，则 ， ， .
设与 ， 均垂直的向量为 ，
则 ，即 ，取 ，
∴异面直线BF，DE的距离 ，解得 或 .
∴ 或 .
故存在点D在直线 上，使得异面直线BF，DE的距离为1，且此时 或 .
13．（2023·全国·高三专题练习）三棱锥 中， ， ， .记
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】中点为 ， 中点为
（1）求异面直线 与 的距离；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】三棱锥 三组对棱相等，因此三棱锥 的外接平行六面体为长方体，将三棱锥
放在长方体中研究
设长方体的三维分别为 、 、 且 ，即 ，解得：
因此以 为坐标原点，长方体在 处的三条棱的方向为正方向建立空间直角坐标系，则
， ， ， ， ， ，
（1） ， ，
设 垂直于 和 ，
所以 ，
令 ， ， ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】而 ，因此所求距离为：
（2） ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ， ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以所求角的余弦值为 .
14．（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）如图所示，在四棱锥 中，底面 是矩形，侧棱
底面 ， ，E是 的中点，作 交 于点F．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求证： 平面 ；
(2)若平面 与平面 的夹角为 ，求点F到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：如图所示：
连接 交 于点G，连接 ，
∵E是 的中点，
∴ ， 平面 ， 平面 ．
∴ 面 ．
（2）解：设 ，以D为原点， ， ， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， ， ， ， ， ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 得 ，
同理，由 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 ,得 ，
由平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，解得 ，
∴ ， ，
设 ， ，则 ， ，
又 ，∴ ，即 ，焦点 ，
∴ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 平面 ，则平面 的一个法向量为 ，
又 ，则点F到平面 的距离 ．
15．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）斜三棱柱 的各棱长都为 ，点
在下底面 的投影为 的中点 .
(1)在棱 （含端点）上是否存在一点 使 ？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由；
(2)求点 到平面 的距离.
【答案】(1)存在，
(2)
【解析】（1）因为点 在下底面 的投影为 的中点 ，故 平面 ，
连接 ，由题意 为正三角形，故 ,
以 为原点， 分别为 轴建立如图所示空间直角坐标系：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， ，
设 ，可得 ，
，
假设在棱 （含端点）上存在一点 使 ，
则 ，
则 ；
（2）由（1）知 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
则 ，
又 ，
则 到平面 的距离为 ，
即点 到平面 距离为 .
16．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）在直角梯形 中， ， ，
，现将 沿着对角线 折起，使点D到达点P位置，此时二面角 为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求异面直线 ， 所成角的余弦值；
(2)求点A到平面 的距离．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）过点D做 交 于O，连接 ，
以O点为原点，以 为x轴，在平面 内，过点O垂直于 的线为y轴，
过点O垂直于平面 的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
因为 ，所以 ，
所以 为二面角 的平面角．所以 ，
又因为 ，所以点 ，
又因为 ， ，由等边三角形 可得 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 与 夹角的余弦值为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2） ， ，
设 为平面 的一个法向量，
则 ，
令 ，则 ，
故 ，
所以点A到平面 的距离为 ．
1．（2023·全国·高三专题练习）已知正方体 的棱长为1，点E、O分别是 、 的中
点，P在正方体内部且满足 ，则下列说法错误的是（ ）
A．点A到直线BE的距离是 B．点O到平面 的距离为
C．平面 与平面 间的距离为 D．点P到直线AB的距离为
【答案】D
【解析】如图，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
， ，所 ， ．设 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】．故A到直线BE的距离 ，故A对；
易知 ，平面 的一个法向量 ，则点O到平面 的距离
，故B对；
， ， ．设平面 的法向量为 ，则 ，
所以 ，令 ，得 ， ，所以 ，所以点 到平面 的距离
．因为平面 平面 ，所以平面 与平面 间的距离等于点 到
平面 的距离，即为 ，故C对；
因为 ，所以 ， ，则 ，所以点P到AB的距
离 ，故D错．
故选：D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023·北京·高三专题练习）如图，在直三棱柱 中， ， ， ，
，点 在棱 上，点 在棱 上，给出下列三个结论：
①三棱锥 的体积的最大值为 ；
② 的最小值为 ；
③点 到直线 的距离的最小值为 ．
其中所有正确结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】在直三棱柱 中 平面 ，
对于①：因为点 在棱 上 ，所以 ，又 ，
又 ， ， ，点 在棱 上，所以 ， ，
所以 ，当且仅当 在 点、 在 点时取等号，故①正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于②：如图将 翻折到与矩形 共面时连接 交 于点 ，此时 取得最小值，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
即 的最小值为 ，故②错误；
对于③：如图建立空间直角坐标系，设 ， ， ， ，
，
所以 ， ，
则点 到直线 的距离
，
当 时 ，
当 时 ， ， ，则 ，
所以当 取最大值 ，且 时 ，
即当 在 点 在 点时点 到直线 的距离的最小值为 ，故③正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：C
3．（2023春·河南·高三阶段练习）（多选）如图1，《卢卡•帕乔利肖像》是意大利画师的作品.图1中左
上方悬着的是一个水晶多面体，其表面由18个全等的正方形和8个全等的正三角形构成，该水晶多面体的
所有顶点都在同一个正方体的表面上，如图2.若 ，则（ ）
A．
B．该水晶多面体外接球的表面积为
C．直线 与平面 所成角的正弦值为
D．点 到平面 的距离为
【答案】BCD
【解析】该水晶多面体的俯视图如图1所示，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于A， ，故A错误；
对于B，建立如图2所示的空间直角坐标系，则 .
记该水晶多面体外接球的半径为 ，球心 ，则
，故该水晶多面体外接球的表
面积为 ，故B正确.
对于C，因为 ， ， 平面 ，
所以平面 平面 .
根据正方体的对称性易得平面 的一个法向量为 ，即 为平面 的一个法向量.
，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ，故C正确.
对于D，点 到平面 的距离为 ，故D正确.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：BCD.
4．（2023·福建宁德·校考模拟预测）（多选）在正方体 中， 分别为
的中点，则（ ）
A．直线 与直线 垂直
B．点 与点 到平面 的距离相等
C．直线 与平面 平行
D． 与 的夹角为
【答案】AB
【解析】如图，以 为原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设正方体的棱长为 ，则
且 ，
对于A， ，所以 ，所以直线 与直线 垂直，
故A正确；
对于B，设平面 的法向量为 ，又 ，
所以 ，令 得 ，
又 ，所以点 到平面 的距离为 ，点 到平面
的距离为 ，故B正确；
对于C，因为 所以 ，即 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
又 ，则 ，
所以 平面 ，故C错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于D，因为 ，所以 ，所以
与 的夹角余弦值为 ，夹角大小不为 ，故D错误.
故选：AB.
5．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）（多选）如图，在棱长为1正方体 中， 为 的中
点， 为 与 的交点， 为 与 的交点，则下列说法正确的是（ ）
A． 与 垂直
B． 是异面直线 与 的公垂线段，
C．异面直线 与 所成的角为
D．异面直线 与 间的距离为
【答案】ABD
【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 为z轴，建立如下图所示坐标系：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则： ，
，
设 ，
则有： ，
又 ，
解得 ， ， ， ，同理可得 ；
对于A， ， ， ，正确；
对于B， ， ，
即 ，又 ,
故 是异面直线 与 的公垂线段，正确；
对于C，设 与 所成的角为 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，错误；
对于D，由B知 是 与 的公垂线段， ，正确；
故选：ABD.
6．（2023·福建漳州·统考模拟预测）（多选）在棱长为1的正方体 中，点 为 的中点，
点 ， 分别为线段 ， 上的动点，则（ ）
A． B．平面 可能经过顶点
C． 的最小值为 D． 的最大值为
【答案】ACD
【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：
则 ,0, , ,0, , ,1, , ,1, , ,1, , ,0, , ,0, , ，1， ， ,1, ，
设 , , ，则 , , ， , ；
设 ,0, ，则 ,0, , , ，
所以 ，1， ， ， ， ， ，所以 ，即 ，
A正确；
因为 ,1, , , , ，
设平面 的一个法向量为 , , ，则 ，
即 ，令 ，则 ， ，所以 , , ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因为 ,1, ，所以点 到平面 的距离为 ，
所以点 到平面 的距离不能为0，即平面 不过点 ，B错误；
因为 ，当且仅当 时取“ ”，
所以 的最小值为 ，C正确；
因为 , , ， , , ，
，
设 ， ， ， ， ，所以 ， ，所以 ，
，
所以 ， ，所以 ， ，所以 ， ，
所以 ， ，当 时 最大，此时 ，选项D正确．
故选：ACD．
7（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）（多选）已知正方体 的棱长为1， 为棱 （包
含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．
B．二面角 的大小为
C．点 到平面 距离的取值范围是
D．若 平面 ，则直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
设 ，其中 ，
对于A： ，故 即 ，
故A正确.
对于B： ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，则 ，
故 .
设平面 的法向量为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，即 ，取 ，则 ，
故 .
故 ，而二面角 为锐二面角，
故其余弦值为 ，不为 ，故二面角 的平面角不是 ，故B错误.
对于C： ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，则 ，
故 .
而 ，
故 到平面 的距离为 ，
故C正确.
对于D：设直线 与平面 所成的角为 .
因为 平面 ，故 为平面 的法向量，
而 ，故 ，
而 ，故D正确.
故选：ACD.
8．（2023·湖南·校联考模拟预测）（多选）故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶
的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体 有五个面，其形状与四阿顶相类似．已知底面
为矩形， ， ，且 ， 、 分别为 、 的中点，
与底面 所成的角为 ，过点 作 ，垂足为 ．下列说法正确的有（ ）
A． 平面
B．
C．异面直线 与 所成角的余弦值为
D．点 到平面 的距离为
【答案】AC
【解析】对于A选项，因为四边形 为矩形，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，所以， ，
因为 且 ， 、 分别为 、 的中点，
所以， 且 ，故四边形 为平行四边形，所以， 且 ，
所以， ，
因为 ，所以， ，
因为 ， 是 的中点，所以 ．
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，A对；
对于B选项，因为 平面 ， 平面 ，所以，平面 平面 ，
因为 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以， 平面 ，
以点 为坐标原点， 、 、 的方向分别为 、 、 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】系，
因为 平面 ，则 与平面 所成的角为 ，
因为 ， 为 的中点，则 ，
又因为 ， ，
所以， ，
又因为 ，且 ，故四边形 为等腰梯形，
设 ，则 ，则 ，
则点 、 ，
所以， ，即 ，解得 ，
所以， ，B错；
对于C选项，由B选项可知，
在 中， 、 、 、 ，
， ，
，
所以，异面直线 与 所成角的余弦值为 ，C对；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于D选项，易知 、 、 、 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
，则点 到平面 的距离为 ，D错.
故选：AC.
9（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）（多选）正方体 棱长为 是直
线 上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）
A． 的最小值为
B． 的最小值为
C．若 为直线 上一动点，则线段 的最小值为
D．当 时，过点 作三棱锥 的外接球的截面，则所得截面面积的最小值为
【答案】AC
【解析】对于A，在 中， ，
所以 为边长为 的等边三角形，
所以 的最小值为 的高，此时 为 中点，
即 ，故A正确；
对于B，将 与矩形 沿着 翻折到一个平面内，
如图所示，所以 的最小值为 ，此时 三点共线，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ， ， ，即 ，
由余弦定理得， ，
即 ，
即 ，故B错误；
对于C，根据题意，即求异面直线 和 之间的距离，
分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设直线 与 的共垂线向量为 ，
则 ，即 ，
即 ，可取 ，
所以异面直线 和 之间的距离为 ，
所以线段 的最小值为 ，故C正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于D，设三棱锥 的外接球心为 ，当 过点 的外接球的截面时，所得截面面积最小，
因为 ，由选项C知， ，
则 ，
而三棱锥 的外接球即为正方体 的外接球，
所以三棱锥 的外接球直径为正方体 的体对角线，
即 ，即三棱锥 的外接球半径为 ，
所以 所在圆的直径 ，
所以所得截面面积为 ，故D错误.
故选：AC.
10．（2023·云南·高三校联考阶段练习）（多选）如图，在棱长为1的正方体 中，点P在
线段 上运动，则下列结论正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．点B到平面 的距离为
B．直线AP//平面
C．异面直线 与 所成角的取值范围是[ , ]
D．三棱锥 的体积为定值
【答案】ABD
【解析】分别以DA、DC、 为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
A：设边长为1，则 , ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
又 平面 ，所以直线 平面 ，而 为面 的一个法向量，
又 ，则B到平面 的距离为 ，故正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B：因为点M在线段 上运动，设 ，则 ，
由上知：平面 的法向量为 ，
，因为 平面 ，
所以直线 平面 ，故正确；
C： ，设异面直线AM与 所成角为 ，
所以 ，
因为 ，所以当 时， ，
当 时， ，
因为 ，所以 ，
综上， ，所以 ，故错误；
D： 因为 ，点M在线段 上运动，
所以点P到直线 的距离不变，即△ 的面积不变，
又点 到面 距离恒为 ，所以 到面 距离不变，即三棱锥的高不变，
所以三棱锥 的体积为定值，而 ，故正确，
故选：ABD
11．（2023·江苏·高三专题练习）（多选）如图，在平行四边形 中， ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】沿对角线 将△ 折起到△ 的位置，使得平面 平面 ，下列说法正确的有（ ）
A．三棱锥 四个面都是直角三角形 B．平面 平面
C． 与 所成角的余弦值为 D．点 到平面 的距离为
【答案】ABD
【解析】△ 中 ， ， ，
由余弦定理得 ，故 ，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 面 ，
所以 平面 ， 平面 ，则 ；同理 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，A、B正确；
以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ，
因为 ， ，
所以 ，即 与 所成角的余弦值为 ，C错误；
由上知： ，若 为面 的法向量，
所以 ，令 ，则 ，
而 ，则 到平面 的距离为 ，D正确.
故选：ABD.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知正方体 的棱长为2，棱AB的中点为M，点
N在正方体的内部及其表面运动，使得 平面 ，则（ ）
A．三棱锥 的体积为定值
B．当 最大时，MN与BC所成的角为
C．正方体的每个面与点N的轨迹所在平面夹角都相等
D．若 ，则点N的轨迹长度为
【答案】ACD
【解析】过 中点 作 与 交 ，作 与 交 ，重复上述步骤，
依次作 的平行线与 分别交于 （注意各交点均为各棱上的中点），
最后依次连接各交点，得到如下图示的正六边形 ，
因为 ， 面 ， 面 ，
所以 面 ，同理可得 面 ，
因为 ， 面 ，所以面 面 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以面 中直线都平行于面 ，又 面 ，且 平面 ，
所以 面 ，即 面 ，
根据正方体性质，可构建如下图示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，且
， ， ， ， ， ，
A：由上分析知：面 任意一点到面 的距离，即为 到面 的距离，
而 ， ，若 为面 的一个法向量，
所以 ，令 ，则 ，而 ，
所以 到面 的距离，即 到面 的距离为 ，
又△ 为等边三角形，则 ，
所以三棱锥 的体积为定值 ，正确；
B：由图知：当 与 重合时 最大为 ，且 ，
所以MN与BC所成的角，即为 ，错误；
C：由正方体性质，只需判断各侧面的法向量 ， ， 与 的夹
角余弦值的绝对值是否相等即可，
又 ，同理可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以正方体的每个面与点N的轨迹所在平面夹角都相等，正确；
D：若 ，则点N的轨迹是以 为球心的球体被面 所截的圆，
因为面 面 ，故 也是面 的法向量，而 ，
所以 到面 的距离为 ，故轨迹圆的半径 ，
故点N的轨迹长度为 ，正确.
故选：ACD
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