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期末真题必刷常考提升 60 题（考题猜想，16 种热考题型）
一.一元二次方程的应用（共3题）
1．（2023秋•安州区期末）如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长 ，宽 ，在绿地中开辟三
条道路后，剩余绿地的面积为 ，则图中 的值为 ．
【解答】解：根据题意得： ，整理得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
即图中 的值为 ，
故答案为： ．
2．（2024春•莱芜区期末）2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红．
（1）据统计某莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是5万件，8月份的销售量是7.2万件，问月平均增
长率是多少？
（2）市场调查发现，某实体店莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售
价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售莲
莲玩偶每天获利1200元，则售价应降低多少元？
【解答】解：（1）设月平均增长率是 ，
根据题意得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
月平均增长率是 ；
（2）设售价应降低 元，则每件的销售利润为 元，每天的销售量为 件，
依据题意得： ，
即 ，
解得： ， ，
要尽量减少库存，
，
售价应降低20元．
3．（2023秋•准格尔旗期末）如图所示，四边形 为矩形， ， ，若点 从 点出
发沿 以 的速度向 运动， 从 点出发沿 以 的速度向 运动，如果 、 分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为 ．
（1）当 为何值时， 的面积为 ？
（2）是否存在 使 为等腰三角形？若存在，求出 值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意可得： ， ，
四边形 为矩形， ， ，
， ， ，
，
，
解得： 或 ；
，
不符合题意，则 ，
当 时， 的面积为 ．
（2）不存在 使 为等腰三角形．
由题意可得： ， ， ，
，
为钝角三角形；且为等腰三角形，，
，
，
△ ，
方程无解，
不存在 使 为等腰三角形．
二．反比例函数的图象（共2题）
4．（2023秋•城关区校级期末）一次函数 与反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象可
能是
A． B．
C． D．
【解答】解：当 时， ，则一次函数 的图象过第一、三、四象限，反比例函数 的
图象分布在第一、三象限，选项 、 、 、 没有符合条件的；
当 时， ，则一次函数 的图象过第一、二、四象限，反比例函数 的图象分布在第
二、四象限，选项 符合条件， 、 、 不符合条件的；
故选： ．5．（2023秋•霍林郭勒市校级期末）已知二次函数 的图象如图所示，则反比例函数
与一次函数 在同一平面直角坐标系内的图象可能是
A． B．
C． D．
【解答】解：根据二次函数图象与 轴的交点可得 ，根据抛物线开口向下可得 ，由对称轴在
轴右边可得 、 异号，故 ，
则反比例函数 的图象在第二、四象限，
一次函数 经过第一、二、四象限，
故选： ．
三．反比例函数系数k的几何意义（共3题）
6．（2023秋•龙岗区校级期末）如图，反比例函数 图象经过正方形 的顶点 ， 边
与 轴交于点 ，若正方形 的面积为12， ，则 的值为A．3 B． C． D．
【解答】解：过 作 轴于 ，过 作 轴于 ， 于 ，交 值于 ，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
在 与 中，
，
，
， ，
同理， ，
， ，
轴，
，
，
，
，
，正方形 的面积为12，，
，
，
， ，
反比例函数 图象经过正方形 的顶点 ，
，
解法二： ，
设 ， ，
，
由题意 ，
，
．
故选： ．
7．（2023秋•涵江区期末）反比例函数 和 在第一象限内的图象如图所示，点 在 的图象
上，过点 作 轴于点 ，交 的图象于点 ， 轴于点 ，交 的图象于点 ．当点的横坐标逐渐变大时，四边形 的面积
A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．无法确定
【解答】解：由于点 和点 均在同一个反比例函数 的图象上，
，
与 的面积相等，
矩形 的面积是 、而 、 的面积为定值1，则四边形 的面积 ，
四边形 的面积不会发生变化，
故选： ．
8．（2023秋•武城县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点 为 轴正半轴上一点，过点 的直线
轴，且直线 分别与反比例函数 和 图象交于 ， 两点．若 ，则 的值为
．【解答】解： 轴，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
四．反比例函数图象上点的坐标特征（共2题）
9．（2023 秋•富锦市校级期末）如图，直线 轴于点 ，且与反比例函数 及
的图象分别交于点 ， ，连接 ， ，已知 的值为8，则△ 的面积为
A．2 B．3 C．4 D．
【解答】解：根据反比例函数 的几何意义可知：△ 的面积为 ，△ 的面积为 ，
△ 的面积为 ，
，
△ 的面积为 ，故选： ．
10．（2023秋•信阳期末）已知点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，则 ，
， 的大小关系为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
反比例函数 的图象在第一、三象限，在每个象限内， 随 的增大而减小，
点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，
，
即 ，
故选： ．
五．反比例函数应用与综合（共4题）
11．（2024春•萨尔图区校级期末）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某
天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度 与时间 之间的函数关系如图所示，其中 段是
恒温阶段， 段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求 的值；
（2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为 到 的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是
，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？【解答】解：（1）设 对应函数解析式为
把 代入 中得：
，
，
当 时， ，
解得 ，即 ；
（2）设 的解析式为： ，
把 、 代入 中得： ，
解得： ，
的解析式为： ，
当 时， ，解得 ，
， ，
，
答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时．
12．（2023秋•太平区期末）如图1，点 ， 在反比例函数 上，作直线 ，交坐标轴于
点 、 ，连接 、 ．
（1）求反比例函数的表达式和 的值；
（2）求 的面积；
（3）如图2， 是线段 上一点，作 轴于点 ，过点 作 ，交反比例函数图象于点 ，
若 ，求出点 的坐标．【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为 ，
将 的坐标代入 ，得 ．
反比例函数的解析式为 ．
将 的坐标代入 ，得 ．
（2）如图1，设直线 的解析式为 ，
把 和 代入上式，得：
，
解得： ，
故直线 的解析式为： ，
， ，
．（3）设 点的坐标为 ，则 ，
．
，
．
解得 ， ，
经检验， ， 是分式方程的根，
的坐标为 或 ．
13．（2023秋•武侯区校级期末）如图1，反比例函数 与一次函数 的图象交于
点 ，点 ，一次函数 与 轴相交于点 ．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接 ， ，求 的面积；
（3）如图2，点 是反比例函数图象上 点右侧一点，连接 ，把线段 绕点 顺时针旋转 ，点
的对应点 恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点 的坐标．【解答】解：（1） 点 ，点 在反比例函数 上，
，
， ，
反比例函数为 ，点 ，
把 、 的坐标代入 得 ，
解得 ，
一次函数为： ；
（2）令 ，则 ，
，
；
（3）如图2，过 点作 轴的平行线 ，作 于 ， 于 ，
设 ， ，
，， ，
把线段 绕点 顺时针旋转 ，点 的对应点为 ，恰好也落在这个反比例函数的图象上，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
恰好也落在这个反比例函数的图象上，
，
解得 或 （舍去），
．14．（2023秋•红旗区校级期末）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数
的图象交于 、 两点，与 轴相交于点 ，已知点 的坐标为 ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点 为反比例函数 图象上任意一点，若 ，求点 的坐标；
（3）直接写出不等式 的解集．
【解答】解：（1）因为点 在直线 上，
所以 ，
解得 ．
故点 坐标为 ．
将点 坐标代入反比例函数解析式得，
，
所以反比例函数的解析式为 ．
（2）将反比例函数解析式和一次函数解析式联立方程组得，
，
解得 或 ．故点 坐标为 ．
又 ，
即 ，
所以 ，
故点 纵坐标为4或 ．
将 代入 得，
．
将 代入 得，
．
所以点 的坐标为 或 ．
（3）根据函数图象可知，
当 或 时，
一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即 ．
即不等式 的解集为： 或 ．
六．二次函数的图象与性质（共8题）
15．（2023秋•和平区校级期末）函数 在平面直角坐标系中的图象可能是
A． B．C． D．
【解答】解： ，
当 时，函数 的图象开口向上；对称轴 ，在 轴的右侧； ，
图象交 轴的正半轴；
故 、 不符题意；
当 时，函数 的图象开口向下；对称轴 ，在 轴的左侧； ，
图象交 轴的正半轴；
故 不符题意， 符合题意．
故选： ．
16．（2023秋•阳信县期末）若 ， ， 为二次函数 的图象上的三点，
则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
【解答】解： ，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
距离对称轴越近的点的纵坐标越小，距离越远的点的纵坐标越大，
，
，
故选： ．
17．（2023秋•榆林期末）二次函数 在 的范围内有最小值为 ，则 的值为A．3或 B． C． 或1 D．3
【解答】解： ，
抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
，
在 的范围内， 时， 为函数最小值，
，
解得 或 ，
故选： ．
18．（2023秋•南昌期末）已知二次函数 的图象如图所示，有下列结论：
① ；② ；③ ；④ ．
其中正确的结论是
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【解答】解：① 图象开口向上，与 轴交于负半轴，能得到： ， ，
对称轴在 轴左边，
，
，故①错误；
②当 时，由图象知 ，
把 ， 代入解析式得： ，故②正确；③由图象得， ，
，
由①②得， ， ，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
④由图象得，当 时， ，
由①②得， ， ，
，
，
，故④错误；
综上，②③正确．
故选： ．
19．（2023秋•咸阳期末）若点 、 、 在抛物线 上，且 ，
则 的取值范围是
A． B． 或
C． 或 D． 或
【解答】解：抛物线 的对称轴为直线 ，
、 、 在抛物线 上，
根据抛物线对称性可知：点 与点 关于对称轴直线 对称，
点 与点 关于对称轴直线 对称，
， ， ，
当 时，函数值 随着 的增大而增大；当 时，函数值 随着 的增大而减小；
抛物线 的图象开口向下，
作图如下：
由图可知：要满足 ，则 的取值范围为： 或 ，
故选： ．
20．（2023秋•修水县期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的一边 在 轴上，顶点 在 轴
正半轴上．若抛物线 经过点 、 ，则点 的坐标为 ．
【解答】解： 抛物线 ，
该抛物线的对称轴是直线 ，点 的坐标为 ，
，抛物线 经过点 、 ， ，
，
，
， ， ，
，
，
，
点 的坐标为 ，
故答案为： ．
21．（2023秋•召陵区期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 、 、 的坐标分别为
、 、 ．若抛物线 的图象与正方形 有公共点，则 的取值范围是
．
【解答】解： 正方形 的顶点 、 、 的坐标分别为 、 、 ．
，
当抛物线经过点 时，则 ，
当抛物线经过 时， ，
观察图象可知，抛物线 的图象与正方形 有公共点，则 的取值范围是 ，故答案为： ．
22．（2023秋•丰台区期末）平面直角坐标系 中，将抛物线 在 轴和 轴下方的部分记作 ，
将 沿 轴翻折记作 ， 和 构成的图形记作 ．关于图形 ，如图所示，以下三个结论中，正确的
序号是 ．
①图形 关于原点对称；
②图形 关于直线 对称；
③图形 的面积为 ，满足 ．
【解答】解：由图形可知，图形 关于原点对称，不关于直线 对称，故①正确，②错误；
观察图形，图形 的面积 大于两个 的面积，小于 的面积，
所以，图形 的面积满足 ，故③正确．
故答案为：①③．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．七．抛物线与x轴的交点（共2题）
23．（2024春•海曙区校级期末）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于
点， 为抛物线对称轴上动点，则 取最小值时，点 坐标是 ．
【解答】解：连接 ，交抛物线的对称轴于一点，由抛物线的对称性可知，该点即为所求的点 ，
抛抛物线 与 轴交于点 ，
点 的坐标为 ，
令 ，则 ，
解得 ， ，
， ， ， ，
设直线 的函数表达式为 ，
把 ， 和 代入，
得： ，解得： ，
直线 的函数表达式为 ．
抛物线的对称轴为直线 ，
当 时， ，
点 的坐标为 ， ，
即当 的值最小时，点 的坐标为 ， ，
故答案为： ， ．
24．（2023秋•城厢区期末）已知：如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴正半轴交
于点 ，点 在以 点为圆心，2个单位长度为半径的圆上， 点是 的中点，连接 ，则 的最小
值为 ．
【解答】解：当 时， ，
，
当 时， ，解得 ， ，
，
，
连接 ，点 为 的中点，连接 、 ，如图，则 ，
点为 的中点，
为 的中位线，
，
（当且仅当 、 、 共线时取等号），
的最小值为 ．
故答案为： ．
八．二次函数的应用（共2题）
25．（2023秋•兴庆区校级期末）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷
灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是 1米，当喷射出的
水流与喷涨架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点 处，草坡上距离
的水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树 ， 垂直水平地面且 点到水平地面的距离为3
米．（1）计算说明小树是否会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响？
（2）求水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值．
【解答】解：（1）由题意得：该抛物线的顶点坐标为 ，
设该抛物线的解析式为： ，
将点 代入 得： ，
解得：
当 时，
水流能浇灌到树后面的草坪，小树不会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响
（2）由题意得 ，
直线 的解析式为：
水流的高度与斜坡铅垂高度差 ，
水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值为
26．（2023秋•广平县校级期末）一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方 的 处射门，已知球门
高 为 ，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为 时，球达到最
高点，此时球的竖直高度为 ．现以 为原点，建立平面直角坐标系如图所示．
（1）求抛物线表示的二次函数的表达式；（2）通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（3）已知点 在点 的正上方，且 ．运动员带球向点 的正后方移动了 米射门，若
运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，且恰好在点 与点 之间进球（包括端点），求 的取值
范围．
【解答】解：（1） ，
抛物线的顶点坐标为 ，
设抛物线表示的二次函数的表达式为 ，把点 代入，得 ，解得 ，
抛物线表示的二次函数的表达式为 ；
（2）当 时， ，
球不能射进球门；
（3）由题意，移动后的抛物线为 ，
把点 代入，得 ，解得 （舍去）， ，
把点 代入，得 ，解得 （舍去）， ，
的取值范围为 ．
九．二次函数综合题（共4题）
27．（2024秋•沙坪坝区校级期末）如图1，抛物线 与 轴交于 、 两点，交
轴于点 ．连接 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 是抛物线上第二象限上一点，过 点作 于 ，当 有最大值时，求 点坐标；（3）如图2，将抛物线向右平移3个单位长度后得到新的抛物线， 点在新抛物线的对称轴上， 点为
平面内一点，使以 、 、 、 为顶点的四边形为菱形，且 为菱形的一边，请写出 点坐标，并
以其中一个点 写出求解的过程．
【解答】解：（1）由题意得： ，
则 ，
则抛物线的表达式为： ；
（2）过点 作 轴于点 ，交 于点 ，
由抛物线的表达式知，点 ，
由点 、 的坐标得直线 的表达式为： ， ，
则 ，
则 ，
故当 最大时， 最大，
设点 ，点 ，
则 ，
，故 有最大值，
此时 ，
则 ，
则点 ， ；
（3）平移后抛物线的对称轴为直线 ，故设点 ，
设点 ，
由点 、 的坐标得： ，
当 为对角线时，
由中点坐标公式和 得：
，解得 或 ，
即点 或 ；
当 为对角线时，
由中点坐标公式和 得：
，解得： （不合题意的值已舍去），
即点 ；
综上， 或 或 ．
28．（2022秋•长丰县校级期末）已知：在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，直线 与 轴交
于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过 、 两点，与 轴的另一交点为点 ．（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点 为直线 上方抛物线上一动点，连接 、 ，设直线 交线段 于点 ，
的面积为 ， 的面积为 ．当 时，求点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，且点 的横坐标小于2，是否在数轴上存在一点 ，使得以 、 、 为顶点的
三角形与 相似，如果存在，请直接写出点 的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把 代入 ，得： ，
．
把 代入 得： ，
，
将 、 代入 得：
，解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）如图，分别过点 、点 作 轴的平行线，交直线 于点 和点 ，设点 ，
则 ，
当 时 ，
， ，
，
，
，
，
则 ，
，
解得 ， ，
点 坐标为 或 ；
（3）存在，理由：
由题意得，点 ，
由点 、 、 的坐标得， ， ，
则 ，则 ， ， ，当点 在 轴时，
以 、 、 为顶点的三角形与 相似，
当 时，
则 ，
则 ，
则点 ；
当 时，
此时，点 、 重合且符合题意，
故点 ；
当点 在 轴上时，
只有 ，
则 ，
则点 ，
综上，点 的坐标为 或 或 ．
29．（2023秋•龙口市期末）如图1，已知抛物线 经过点 ， 两点，且与 轴
交于点 ．
（1）求 ， 的值．（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点 ，使得 的面积最大？求出点 的坐标及 的面
积最大值．若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点 为线段 上一个动点（不与 ， 重合），经过 、 、 三点的圆与过点 且垂直
于 的直线交于点 ，当 面积取得最小值时，求点 坐标．
【解答】解：（1）将 、 两点坐标代入 得：
，
解得： ， ；
（2）存在．理由如下：
设 点 ， ，
作 轴交 于 ，由 ， 可得直线 解析式为 ，
则 ，
，，
当 时，
最大 ，
当 时， ，
点 坐标为 ， ．
（3） ，
，
而 ， ，
，
， ，
，
当 最小时， 面积取得最小值．
点 在线段 上，
当 时， 最小．
此时点 是 中点，
， ．
30．（2023秋•头屯河区期末）如图，点 为二次函数 的顶点，直线 与该二次函
数图象交于 、 两点（点 在 轴上），与二次函数图象的对称轴交于点 ．
（1）求 的值及点 坐标；
（2）连接 、 ，求 ；
（3）在该二次函数的对称轴上是否存在点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的 点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1） 直线 过点 ，
，
，
，
，
二次函数解析式为 ，
顶点坐标为 ；
（2）由（1）知，直线 的解析式为 ， ，二次函数对称轴为直线 ，
直线 与二次函数图象的对称轴交于点 ，
设点 ，
，
，
的面积 ；
（3）存在点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形．
顶点坐标为 ，
对称轴为直线 ，过点 作 于点 ，
在 中， ．
①当 时，设 ，
在 中，
解之得
；
②当 时，根据等腰三角形三线合一得： ，
，
；
③当 时， ，
， ．
综上所述：点 的坐标为 或 或 或 ．
十．圆的有关性质（共2题）
31．（2023秋•东莞市校级期末）如图， 是 的直径， ，则 的度数是A． B． C． D．
【解答】解：由圆周角定理可得： ，
是 的直径，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查了圆周角定理的应用，熟练掌握圆周角的性质和定理、直角三角形的性质是解题的关键．
32．（2023秋•百色期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而
盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．
如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心 为圆心的圆，已知圆心 在水面上方，且当圆被水面截得的
弦 为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）．
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦 从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？
【解答】解：（1）如图，过点 作 ，垂足为点 ，交 以点 ，由题意可知， ，
，
， ，
，
设圆的半径为 ，即 ， ，
在 中，，即 ，
解得 ，
即该圆的半径为 ；
（2）设水面升到如图 的位置，则 ， 与 相交于点 ，
，
，
连接 ，在 中， ， ，
，
，
即水面上涨的高度为 1 米．
十一．切线的性质与判定（共5题）
33．（2023秋•江阳区期末）如图，在 中， ， ， ． 的半径为1，点
是 边上的动点，过点 作 的一条切线 ，点 为切点，则线段 长的最小值为 ．
【解答】解：连接 ， ，如图所示：为 的一条切线，
，
，
为半径是定值，
当 最小时， 取得最小值，
由垂线段最短可知，当 时， 最小，
， ， ．
，
，
，解得 ，
，
故答案为： ．
34．（2023秋•驻马店期末）如图，在 中， ，点 是 边上一点，以 为直径的 与
边 相切于点 ，与边 交于点 ，过点 作 于点 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．【解答】（1）证明：连接 ，如图，
为切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中
，
；
（2）在 中， ，
设 ，则 ，
，
，
，即 ，解得 ，
，
在 中， ，
．35．（2023秋•梁溪区校级期末）如图， 是 的直径， 是弦， 是 的中点， 与 交于点
． 是 延长线上的一点，且 ．
（1）求证： 为 的切线；
（2）连接 ．若 ， ，求 的长．
【解答】（1）如图，连接 ， ，
，
，
，
，
，
，
是直径， 是 的中点，
，
，，即 ，
是半径，
是 的切线．
（2）设 ，则 ，
在 △ 中，
，
解得 ，
，
，
，
．
36．（2023 秋•东港区期末）如图， 是 的直径， 是 延长线上的一点，点 在 上，
，交 的延长线于点 ， 交 于点 ，且点 是 的中点．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
【解答】（1）证明：如图，连接 ，为直径，
，
又 ，
，
又 ，
，
又 为 中点，
，
，
即
，
则 为 的切线．
（2）解：设 半径为 ，
为 的切线，
，
即 为直角三角形，
，
，
，
在 中， ，
在 中， ， ，
．37．（2023秋•朝天区期末）如图，在 中，直径 弦 于点 ，点 是 延长线上一点，连接
， ， 平分 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）连接 ，延长 交 于点 ，若 ， ，求图中阴影部分面积．
【解答】（1）证明： 为 的直径， ，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
为半径，
是 的切线；
（2）解： 垂直平分 ，
，
， 平分 ，
垂直平分 ，
，
，
是等边三角形，
，
，
在 中， ， ，则 ，，
在 中， ， ，则 ，
，即 ，
在 中， ， ， ，则 ，
，
在 中， ， ，则 是等边三角形，
，
，
．
十二．正多边形和圆（共1题）
38．（2023秋•阳信县期末）如图，已知六边形 是 的内接正六边形， 的半径为3，连接
、 、 ，则图中阴影部分的面积是 ．
【解答】解：如图，连接 ， ，
六边形 是 的内接正六边形，
，
，
， ， 三点共线，，
△ 为等边三角形，
，
，
，
，
故答案为： ．
十三．旋转变换（共3题）
39．（2023秋•江津区期末）如图，正方形 的边长为4， ，将 绕点 按顺时针方
向旋转 得到 ．若 ，则 的长为
A．3 B． C． D．4
【解答】解：由旋转可知，
，
， ， ， ．
又 四边形 是正方形，
， ，
，
则 ．
在 和 中，
，，
．
令 ，
则 ， ， ．
在 中，
，
即 ，
解得 ，
即 ．
故选： ．
40．（2023秋•黔南州期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ，将
绕原点 顺时针方向旋转 ，再将其各边都扩大为原来的2倍，使得
， ，得到△ ．将△ 绕原点顺时针方向旋转
，再将其各边都扩大为原来的2倍，使得 ， ，得到
△ ， ，如此继续下去，得到△ ，则点 的坐标是 ．
【解答】解：如图，， ，
， ， 轴，
，
，
每一次旋转角是 ，
旋转6次后，正好旋转一周，点 在 轴的正半轴上，
，
点 在 轴的正半轴上；
每次旋转后 ， ， ， ，
， ， ，
以此类推， ，
当 时， ，
点 在 轴的正半轴上，点 的坐标是 ， ．
故答案为： ， ．
41．（2023秋•高青县期末）阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ 内有一点 ，若点 到顶点 、 、 的距离分别为3，4，5，求 的度数．
为了解决本题，我们可以将△ 绕顶点 旋转到△ 处，此时△ △ ，这样就可以利用
旋转变换，将三条线段 、 、 转化到一个三角形中，从而求出 ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ 中， ， ， 、 为 上的点且 ，求证：
；
（3）能力提升
如图③，在 △ 中， ， ， ，点 为 △ 内一点，连接 ，
， ，且 ，求 的值．
【解答】解：（1） △ △ ，
、 、 ，
由题意知旋转角 ，
△ 为等边三角形，
， ，
易证△ 为直角三角形，且 ，
；
故答案为： ；
（2）如图2，把△ 绕点 逆时针旋转 得到△ ，
由旋转的性质得， ， ， ， ， ，，
，
，
在△ 和△ 中，
△ △ ，
，
， ，
，
，
由勾股定理得， ，
即 ．
（3）如图3，将△ 绕点 顺时针旋转 至△ 处，连接 ，
在 △ 中， ， ， ，
，
，
△ 绕点 顺时针方向旋转 ，
△ 如图所示；，
， ， ，
，
△ 绕点 顺时针方向旋转 ，得到△ ，
， ， ，
△ 是等边三角形，
， ，
，
，
、 、 、 四点共线，
在 △ 中， ，
．
十四．相似三角形的性质与判定（共6题）
42．（2023秋•驻马店期末）如图，在 中， 为 上一点，连接 、 ，且 、 交于点
， ，则
A． B． C． D．
【解答】解： 四边形 是平行四边形，
，
， ，
，，
，
，
．
故选： ．
43．（2023 秋•梅河口市期末）如图，四边形 是正方形，点 在 的延长线上，连接 ，
交 于点 ，连接 ，点 是 的中点，连接 ，则下列结论中：
① ；
② ；
③ ；
④若 ； ，则△ 的面积为 ．
其中正确的是 ．（将所有正确结论的序号填在横线上）
【解答】解：① 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
△ △ ，
，
故①的结论正确；
② △ △ ，
，
点 的中点，，
，
，
，
故②的结论正确；
③ ， ，
△ △ ，
，
，
△ △ ，
，
， ，
，
，
，
过 作 于点 ，
，
是 的中点，
是△ 的中位线，
，
，，
，
故③的结论正确；
④ ； ，
， ，
，
，
故④的结论错误；
正确的是：①②③．
故答案为：①②③．
44．（2023秋•金台区校级期末）在矩形 中， ， ，若点 是边 的中点，连接
，过点 作 于点 ，则 长为 ．
【解答】解：如图，连接 ，
在矩形 中， ， ，
， ， ，
是边 的中点，
，， ，
，
，
即 ，
解得 ，
故答案为： ．
45．（2023秋•沈丘县期末）如图1， 中， ， ， ，动点 从点
出发，在 边上以每秒 的速度向点 匀速运动，同时动点 从点 出发，在 边上以每秒 的
速度向点 匀速运动，运动时间为 秒 ，连接 ．
（1）若 与 相似，求 的值；
（2）（如图 连接 ， ，若 ，求 的值．
【解答】解：（1）①当 时，
， ， ， ， ，
，
，②当 时，
，
，
；
或 时， 与 相似；
（2）如图所示，过 作 于点 ， ， 交于点 ，
则有 ， ， ， ，
， ，
且 ，
，
，
解得： ．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等
腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．
46．（2023 秋•越城区期末）如图，点 为线段 上一点，满足 ， ，
．（1）求 长度；
（2）求证： ．
【解答】（1）解： ，
，即 ，
，
，即 ，
解得， ，
的长度为4；
（2）证明：由勾股定理得： ， ，
，
， ，
．
47．（2023秋•海口期末）如图，在 中， ， ，点 是 边上的一个动点，点
在 上，点 在运动过程中始终保持
．设 的长为 ．
（1）求证： ；
（2）用含 的代数式表示 的长；当 时，求 的值；
（3）当 为何值时， 为等腰三角形．【解答】解：（1） ， ，
．
又 ，
，
；
（2） ，
，即 ，
，
，
，
解得： 或6．
解这个方程，得 ， ；
（3）①当 时， ，
，即 ．解得 ．
②当 时， ．
．
，即 ．
解得 ．
③当 时，点 与点 重合，点 与点 重合，此时 ．
（或当 时， ，
，
情况不成立．
综上所述，当 或 时， 为等腰三角形．十五．相似三角形的应用（共5题）
48．（2024秋•长春期末）延时课上，老师布置任务如下：让王林站在 点处去观测 外的位于 点处的
一棵大树 ，所用工具为一个平面镜 和必要的长度测量工具 、 、 在一直线上）．已知王林目
高 ，大树高 ，将平面镜 放置在离王林 处才能观测到大树的顶端．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由题意得： ， ， ，
，
，
，
，
解得： ，
将平面镜 放置在离王林 处才能观测到大树的顶端，
故选： ．
49．（2023秋•东河区期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 测量树的高度 ，他调整自
己的位置，设法使斜边 保持水平，并且边 与点 在同一直线上，已知纸板的两条直角边
， ，测得边 离地面的高度 ， ，则树高 为A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
△ △ ，
，
即 ，
解得： ，
，
，
即树高 ．
故选： ．
50．（2023秋•浑南区期末）如图，在小孔成像问题中，小孔 到物体 的距离是 ，小孔 到像
的距离是 ，若物体 的长为 ，则像 的长是 ．
【解答】解：如图，作 于 ， 的延长线交 于 ．
，
， ，（相似三角形的对应高的比等于相似比），
，
故答案为：8．
51．（2023秋•龙口市期末）如图，小树 在路灯 的照射下形成树影 ．若树高 ，树影
，树与路灯的水平距离 ，则路灯的高度 为 ．
【解答】解： ，
，
，
，
．
故答案为： ．
52．（2023秋•莲湖区期末）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子
与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点 处，他在点 处正好在
镜中看到树尖 的像；第二次他把镜子放在点 处，他在点 处正好在镜中看到树尖 的像．已知
， ， ，小军的眼睛距地面 （即 ，量得 ，
， ．求这棵古松树的高度 ．（镜子大小忽略不计）【解答】解： ， ，
△ △ ，
，
， ，
△ △ ，
，
，
，
， ， ，
，
解得： ，
，
解得： ，
答：这棵古松树的高度为 ．
十六．解直角三角形及其应用（共8题）
53．（2023 秋•榆林期末）如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ，
．若 ， 分别为 、 的中点，则 的长为
A．2 B． C． D．4
【解答】解： ， ，是等腰直角三角形，
，
，
，
， 分别为 、 的中点，
是 的中位线，
．
故选： ．
54．（2023秋•槐荫区期末）如图，矩形 为一个正在倒水的水杯的截面图， ，杯中水面
与 的交点为 ，当水杯底面 与水平面的夹角为 时，杯中水的最大深度为
A．9 B．15 C． D．
【解答】解：过点 作 ，垂足为 ．如图．
四边形 为矩形，
．
，
．
在 中，
，．
故选： ．
55．（2023秋•永州期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算 时，
如图，在 中， ， ，延长 使 ，连接 ，得 ，所以
．类比这种方法，计算 的值为 ．
【解答】解：如图，在等腰直角 中， ，延长 至点 ，使得 ，则 ．
，
，
，
设 ，则 ， ，
，．
故答案为： ．
56．（2023秋•平顶山期末）如图，一艘船由 港沿北偏东 方向航行 至 港，然后再沿北偏西
方向航行至 港， 港在 港北偏东 方向，则 ， 两港之间的距离为 ．
【解答】解：如图，设过 点正北方向直线为 ，过 点正北方向直线为 ，过 作 于 ，
过 作 ，
由题意得： ， ， ， ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
， ，
，在 中， ，
，
，
故答案为： ．
57．（2022秋•南宫市期末）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全
书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知 米， 米， 与 的张角
为 ，为保证安全， 的调整范围是 ， 为固定张角 大小的绳索．
（1）求绳索 长的最大值．
（2）若 时，求桑梯顶端 到地面 的距离．（参考数据： ， ，
，最后结果精确到0.01米）
【解答】解：（1）由题意得：
当 时，绳索 的长最大，
米，
是等边三角形，
米，
绳索 长的最大值为1.5米；
（2）过点 作 ，垂足为 ，，
米， ，
，
米，
（米 ，
在 中， （米 ，
桑梯顶端 到地面 的距离约为2.54米．
58．（2023秋•宿迁期末）石碾，是一种用石头和木材等制作的破碎或去皮工具，如图，为石碾抽象出来
的模型， 是 的直径， 为 的切线，点 是 上的一点，连接 并延长 与 的延长
线交于点 ，连接 ，已知 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径长．
【解答】（1）证明：如图，连接 ，为 的切线，
，
，
， ，
，
，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
，
是 的切线；
（2）解： ， ，
，
，
由（1）知△ △ ，
，
，设 的半径长为 ，则 ，
在 △ 中， ，
，
解得 ，
即 的半径长为 ．
59．（2023秋•南岸区期末）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔 前有一座高为
的观景台，已知 ， 的坡度为 ，点 ， ， 在同一条水平直线上．某学习小组在
观景台 处测得塔顶部 的仰角为 ，在观景台 处测得塔顶部 的仰角为 ．
（1）求 的长；
（2）求塔 的高度．（结果保留个位）
（参考数据： ，
【解答】解：（1）由题意得： ，
在 △ 中， ，
，
，
， ，
的长为 ；（2）过点 作 ，垂足为 ，
由题意得： ， ，
设 ，
，
，
在 △ 中， ，
，
在 △ 中， ，
，
，
，
解得： ，
，
塔 的高度约为 ．
60．（2023秋•新城区校级期末）某校数学社团的同学想测量“陕西古塔—敬德塔”的高度，为了测得敬
德塔 的高度，社团成员利用自制的测角仪 在点 处测得塔顶 的仰角为 ，从点 向正前方行进
4米到点 处，再用测角仪在点 处测得塔顶 的仰角为 ，已知测角仪 的高度为1.6米，且 ， ，
三点在同一条直线上．求“敬德塔” 的高度．（参考数据：【解答】解：延长 交于点 ，
根据题意得： ， 米， 米，
设 米，则 米，
在 中， ，
米，
在 中， ，
米，
，
解得： ，即 米，
米，
（米 ，
答：“敬德塔” 的高度为17.6米．
