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8.8 对数运算及对数函数（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 对数的运算
【例1】（2022太原）计算下列各式的值：
（1） ；
（2） .
（3） ；
（4） .
【答案】（1）1 （2）2 （3）-3 （4）
【解析】（1）解：原式=
（2）解：原式= = =2.
（3）解：；
（4）
.
【一隅三反】
（2022广东湛江）计算下列各式：
（1）
（2） ；
（3） ．
（4） .
（5）log (log 64)＋ .
6 2
（6）
3 3 3
【答案】（1）2 （2）− （3） （4）10 （5）
2 4 2
【解析】（1）
（2）解：原式 ．（3）解：原式
（4）原式=
.
=10
（5）原式
（6）原式
考点二 对数函数的三要素
【例2-1】（2022太原）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】要使函数有意义，则{ x−1>0 ，解得 ，∴函数 的定义域是
log (x−1)≥0
2
，故答案为：D
【例2-2】（2022河南）函数f(x)＝ 的最大值为 .
【答案】0
【解析】令 ， 对称轴为 ， ，
当 时， ，当 时， ，
函数 的最大值为： .故答案为：0.
【例2-3】（2022清远期末）若函数 的值域为 ，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，函数 的值域包含 ，当 时，符合题意；
当 时，则 ，解得 ；
当 时，显然不符合题意，故实数 的取值范围是 ．
故答案为：A.
【一隅三反】
1．（2022·重庆模拟）函数 定义域为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，
所以函数的定义域为 故答案为：C
2．（2022太原）函数f(x)＝ －log (x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为 .
2
【答案】3
【解析】 与y=－log (x＋2) 都是[-1，1]上的减函数，所以函数f(x)＝ －log (x＋2)
2 2
在区间[-1，1]上的减函数，∴最大值为：f（-1）=3故答案为3．
3．（2022云龙）已知函数y=lg（ax2﹣2x+2）的值域为R，则实数a的取值范围为 ．
【答案】（0， ]
【解析】当a=0时不符合条件，故a=0不可取；当a＞0时，△=4﹣8a≥0，解得a≤ ，故0＜a≤
，
故答案为：（0， ]．
4．（2022阳江）函数 的值域为R，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】∵函数 的值域为R， 能够取到大于 的所有数，
则 ，解得： 或 ，∴实数 的取值范围是 ．故答案为： ．
5．（2022深圳期末）已知函数f(x)=ln(x2+1)，g(x)=4(m-1)sin(2x+ )-m2，若x ∈[-1，3]，
1
x∈[0， ]，f(x)≥g(x )，则m的取值范围是
2 1 2
【答案】(-∞，-1- ]U[-1+ ，+∞)
【解析】记f(x)在区间[-1，3]上的最小值为[f(x)] ，g(x)在区间[0， ]的最大值为[()] ，由题意可
min max
知[f(x)] ≥[g(x)]
min max
由 +1∈[1，10]，可得(f[(x)] =0，
min
由2x+ ∈( ， )可得sin(2x + )∈[- ，1]
2 2
{ − 1 ×4(m−1)−m2≤0
由g(x) ≤0，得 2 解之，得x≤-1- 或x≥-1+ ，
max
4(m−1)−m2≤0
所以，m的取值范围是(-∞，-1- ]U[-1+ ，+∞)．
考点三 对数函数的性质
【例3-1】（2022高二下·东城期末）若函数 的图象过点 ，则 （ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-3
【答案】A
【解析】由已知得 ，所以 ，解得： ， 故答案为：A．
【例3-2】（2022双鸭山期末）“ ”是“函数 是在上的单调函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】依题意，函数f(x)是在(-2，+∞)上的单调函数，
由于y=log (x+2)+b在(-2，b] 上递增，所以f(x)在(-2，+∞)上递增，
2
所以b>0且1+b≤2 ，即00
2
【例3-4】（2022·中卫模拟）设函数f(x)= log (−x)，x<0若 ，则实数 的取值范围是
1
2
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】当 时， ， 由 得 ，所以 ，可得 ，
当 时， ，由 得 ，
所以 ，即 ，即 ，综上可知： 或 。故答案为：C
【一隅三反】
1．（2022舟山期末）已知函数 且 ，则该函数图象恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 经过定点 所以函数 且 的图象经过定点
.故答案为：B
2．（2022怀仁期末）已知 在 上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 为减函数，而当 时， 是增函数，所以
是减函数，于是 ；由 ，得 在 上恒成立，所以
.
故答案为：B
log (4−x2 )>log (2x+1)
3．（2022杨浦期末）若 1 1 ，则实数 的取值范围是（ ）
2 2
❑ ❑
A． B． 或C． D．
【答案】A
{4−x2<2x+1
【解析】由题意得： 2x+1>0 ，解得： 。 故答案为：A.
4−x2>0
4．（202延庆期末）已知 ，设 ，则下列结论正确的是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，可得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，故答案为：A.
考点四 反函数及应用
【例4-1】（2022·徐汇模拟）函数 的反函数为 ，则 .
【答案】4
【解析】设 ，则点 在函数 的图象上，
所以， ，解得 ，因此， .故答案为：4.
【例4-2】（2022·杨浦二模）函数 的反函数为 .
【答案】
【解析】由 解得 ，即 ，
把 与 互换可得： ．的反函数为 ．
故答案为： ．
【一隅三反】
1．（2022高三上·江阳期末）若函数 与 互为反函数，则 的单调递减区
间是 .
【答案】（-∞，0）
【解析】因为 与 互为反函数，
所以 在定义域 上为增函数，
又 ，在 上递减， 上递增，
综上， 在 上为减函数。
故答案为：（-∞，0）。
2．（2021兰州期末）若函数y= 是函数 的反函数，则
【答案】0
【解析】 的反函数为 ，则 ，则 ，则
. 故答案为：0
3（2022·青浦模拟）已知 的图象经过点 ， 的反函数为 ，则 的图象
必经过点 .
【答案】
【解析】由题意可得 ，则 ，即 ，故函数 的图象必过点。故答案为： 。
4．（2022高三上·杨浦模拟）已知函数 的反函数为 ，则 .
【答案】1
【解析】由 得 ，所以 ． 故答案为：1．
5（2021高三上·杨浦期中）若函数 的反函数为 ，则函数 的零点为
.
【答案】1
【解析】由题意得： ，若函数 的反函数为 ，则 ，则函
数 的零点为1 故答案为：1
6．（2021·黄浦模拟）设f﹣1（x）为函数f（x）＝log （4x﹣1）的反函数，则当f（x）＝2f﹣1（x）时，x
2
的值为 ．
【答案】1
【解析】f﹣1（x）为函数f（x）＝log （4x﹣1）的反函数,
2
设y＝f（x）＝2f﹣1（x）,函数过（x，y）,反函数过（x， ）,
所以f（x）同时过（x，y）,（ ，x）,
代入 ,得 ,所以x＝1故答案为：1
