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第 19 讲 竖直面内圆周运动之绳”模型和“杆”模型及其临界问
题
1．（2022·江苏）在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略．空间站上操控货
物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L．如图1所示，机械臂一端固定
在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物．在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为
2L、角速度为 的匀速圆周运动，运动到A点停下．然后在机械臂操控下，货物从A点由静止
开始做匀加速直ω线运动，经时间t到达B点，A、B间的距离为L。
（1）求货物做匀速圆周运动时受到的向心力大小F 。
n
（2）求货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率P。
（3）在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如图2所示，它们在同一直线上．货物与空
间站同步做匀速圆周运动．已知空间站轨道半径为 r，货物与空间站中心的距离为d，忽略空间
站对货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比F ：F 。
1 2一.竖直面内的圆周运动——“绳”模型和“杆”模型
1.在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：
一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的物体等)，称为“绳(环)约束模型”；
二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”。
2．绳、杆模型涉及的临界问题
绳模型 杆模型
常见
类型
均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球
受力 除重力外，物体受到的弹力 除重力外，物体受到的弹力向下、等于零
特征 向下或等于零 或向上
受力
示意图
过最高
点的临 由mg＝m得v ＝ 由小球恰能做圆周运动得v ＝0
临 临
界条件
(1)当v＝0时，F＝mg，F为支持力，沿
N N
(1)过最高点时，v≥，F＋
N
半径背离圆心
mg＝m，绳、圆轨道对球产生
(2)当0时，F＋mg＝m，F指向圆心，并
N N
了圆轨道
随v的增大而增大
3.竖直面内圆周运动问题的解题思路二. 例题精析
题型一、杆球模型
例1．一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周
运动，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是√gR
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
题型二、绳球模型
例2．如图甲所示，轻绳一端固定在O点，另一端固定一小球（可看成质点），让小球在竖直平面
内做圆周运动。改变小球通过最高点时的速度大小 v，测得相应的轻绳弹力大小F，得到F﹣v2
图象如图乙所示，已知图线的延长线与纵轴交点坐标为（0，﹣b），斜率为k。不计空气阻力，
重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．该小球的质量为bgb
B．小球运动的轨道半径为
kg
C．图线与横轴的交点表示小球所受的合外力为零
D．当v2＝a时，小球的向心加速度为g
三、举一反三，巩固提高
1. 如图所示，内部为竖直光滑圆轨道的铁块静置在粗糙的水平地面上，小球沿圆轨道在
竖直平面内做圆周运动，铁块始终保持静止，重力加速度为g。则下列说法正确的是（ ）
A．小球在圆轨道A点时，地面受到的压力等于铁块和小球的总重力
B．小球在圆轨道B点时，地面受到的摩擦力方向水平向左
C．小球在圆轨道C点时，地面受到的压力一定不为0
D．小球在圆轨道D点时，其加速度方向水平向左
L
2. 如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方 处有一钉子C．把悬线另一端
2
的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子，
则小球的（ ）
A．线速度突然增大为原来的2倍
B．线速度突然减小为原来的一半
C．向心加速度突然增大为原来的2倍
D．悬线拉力突然增大为原来的2倍
3. 如图所示，粗糙程度处处相同、倾角为 的倾斜圆盘上，有一长为L的轻质细绳，一
端可绕垂直于倾斜圆盘的光滑轴上的 O点转动，θ另一端与质量为m的小滑块相连，小滑块从
最高点A以垂直细绳的速度v 开始运动，恰好能完成一个完整的圆周运动，则运动过程中滑
0块受到的摩擦力大小为（ ）
A．m(v2-gLsinθ) B．mv2
0 0
4πL 2πL
C．m(v2-gL) D．mv2
0 0
4πL 4πL
4. 如图甲所示，长为R的轻杆一端固定一个小球，小球在竖直平面内绕轻杆的另一端O
做圆周运动，小球到达最高点时受到杆的弹力F与速度平方v2的关系如乙图所示，则（ ）
A．小球到达最高点的速度不可能为0
R
B．当地的重力加速度大小为
b
C．v2＜b时，小球受到的弹力方向竖直向下
D．v2＝c时，小球受到的弹力方向竖直向下
5. 如图所示，细绳的一端固定于O点，另一端系一个小球，在O点的正下方钉一个钉
子P，小球从左侧一定高度摆下（整个过程无能量损失）。下列说法中正确的是（ ）
A．在摆动过程中，小球所受重力和绳子拉力的合力始终等于向心力
B．小球经过最低点时，加速度不变C．小球经过最低点时，速度不变
D．钉子位置离O点越近，绳就越容易断
6. 如图所示，竖直杆OP光滑，水平杆OQ粗糙，质量均为m的两个小球穿在两杆上，
并通过轻弹簧相连，在图示位置AB连线与竖直方向成 角时恰好平衡，现在让系统绕OP杆
所在竖直线为轴以从零开始逐渐增大的角速度 转动，下θ列说法正确的是（ ）
ω
A．小球A与OQ杆的弹力随 的增大而增大
B．弹簧的长度随 的增大而增ω长
C．小球A与杆的摩ω擦力随 的增大而增大
D．开始的一段时间内，B小ω球与杆的弹力随 的增大而可能不变
7. （多选）如图甲所示，一长为R的轻ω绳，一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定
一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动，小球通过最高点时，绳对小球的拉力 F
与其速度平方v2的关系如图乙所示，图线与纵轴的交点坐标为a，下列判断正确的是（ ）
R
A．利用该装置可以得出重力加速度，且g=
a
B．绳长不变，用质量较大的球做实验，得到的图线斜率更大
C．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大
D．绳长不变，用质量较小的球做实验，图线a点的位置不变
8. 如图所示，有一长为L的细绳，一端悬挂在A点，另一端拴一质量为m、电量为q的
带有负电荷的小球；悬点A处放一正电荷，电量也为q。如果要使小球能在竖直平面内作完整
的圆周运动，如图所示。若已知重力加速度为g，则（ ）A．小球到达最高点D点速度的最小值为√gL
B．小球到达与A点等高的C点受到绳子拉力的最小值为2mg
C．小球到达最低点B点速度的最小值为√kq2
+4gL
mL
D．小球到达最低点B点受到绳子拉力的最小值为6mg
9. 如图所示，带有支架总质量为M的小车静止在水平面上，质量为m的小球通过轻质
细绳静止悬挂在支架上的O点，绳长为L。现给小球一水平初速度v 让小球在竖直平面内以O
0
点为圆心做圆周运动，小球恰能通过最高点A，其中A、C为圆周运动的最高点和最低点，
B、D与圆心O等高。小球运动过程中，小车始终保持静止，不计空气阻力，重力加速度为
g。则（ ）
A．小球通过最低点C的速率为
v =√4gL
0
B．小球通过最低点C时，地面对小车支持力大小为Mg+6mg
C．小球通过B点时，小车受地面向左的摩擦力大小为2mg
D．小球通过D点时，其重力功率为零
10. 如图甲，小球用不可伸长的轻绳连接绕定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高
点的速度大小为v，此时绳子拉力大小为F ，拉力F 与速度的平方v2的关系如图乙所示，图
T T
像中的数据a和b以及重力加速度g都为已知量，不计空气阻力，以下说法正确的是（ ）A．小球机械能可能不守恒
B．如果小球能完成竖直面内做圆周运动，最低点与最高点拉力大小之差与v无关
a
C．小球的质量等于
g
b
D．圆周轨道半径
g
11. 现将等宽双线在水平面内绕制成如图 1所示轨道，两段半圆形轨道半径均为 R=√3
m，两段直轨道AB、A'B长度均为l＝1.35m。在轨道上放置个质量m＝0.1kg的小圆柱体，如
图2所示，圆柱体与轨道两侧相切处和圆柱截面圆心O连线的夹角 为120°，如图3所示，两
轨道与小圆柱体的动摩擦因数均为 ＝0.5，小圆柱尺寸和轨道间距相θ对轨道长度可忽略不计，
初始时小圆柱位于 A 点处，μ现使之获得沿直轨道 AB 方向的初速度 v 。求：
0
（1）小圆柱沿AB运动时，内外轨道对小圆柱的摩擦力f 、f 的大小；
1 2
（2）当v ＝6m/s，小圆柱刚经B点进入圆弧轨道时，外轨和内轨对小圆柱的压力N 、N 的大
0 1 2
小；
（3）为了让小圆柱不脱离内侧轨道，v 的最大值，以及在v 取最大值情形下小圆柱最终滑过的
0 0
路程s。
