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8.5 分布列与其他知识的综合运用（精讲）
考点一 利用均值做决策
【例1】（2023·河南·校联考模拟预测）某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，
若两天之内未售出，以每盒10元的价格全部处理完.店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天
草莓的日销售量（单位：十盒），获得如下数据：
日销售量/十盒 7 8 9 10
天数 8 12 16 4
假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率.
(1)记每两天中销售草莓的总盒数为X（单位：十盒），求X的分布列和数学期望；
(2)以两天内销售草莓获得利润较大为决策依据，在每两天进16十盒，17十盒两种方案中应选择哪种？
【答案】(1)分布列见解析，数学期望17.44
(2)选择每两天进17十盒
【解析】（1）日销售量为7盒、8盒、9盒、10盒的概率依次为： ，
根据题意可得： 的所有可能取值为14，15，16，17，18，19，20，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，
， ，
， ，
，
所以 的分布列为：
14 15 16 17 18 19 20
所以 ；
（2）当每两天进16十盒时，利润为 ，
当每两天进17十盒时，利润为
，
，所以每两天进17十盒利润较大，故应该选择每两天进17十盒．
【一隅三反】
1．（2023·重庆·统考模拟预测）某地区由于农产品出现了滞销的情况，从而农民的收入减少，很多人开始
在某直播平台销售农产品并取得了不错的销售量.有统计数据显示2022年该地利用网络直播形式销售农产
品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示，若将销售主
播按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一
周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5次或不足5次的称为
“不常使用直播销售用户”，且“经常使用直播销售用户”中有 是“年轻人”.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个
容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成2×2列联表，依据小概率值 的 独立性检验，
能否认为经常使用网络直播销售与年龄有关？
使用直播销售情况与年龄列联表
年轻人 非年轻人 合计
经常使用直播销售用
户
不常使用直播销售用
户
合计
(2)某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案
供选择：
方案一：线下销售、根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能
不是不赚，且这三种情况发生的概率分别为 ， ， ；
方案二：线上直播销售，根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可
能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 ， ， .
针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由.
参考数据：独立性检验临界值表
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
其中 ， ．
【答案】(1)列联表见解析，能
(2)从获利角度考虑，选择方案二；从规避风险角度考虑，选择方案一，理由见解析
【解析】（1）由图2知，样本中经常使用直播销售的用户有 人，
其中年轻人有 人，非年轻人 人，
由图1知，样本中的年轻人有 人，
不常使用直播销售的用户有 人，其中年轻人有 人，非年轻人 人，
补充完整的 列联表如下，
年轻人 非年轻人 合计
经常使用直播销售用
90 30 120
户
不常使用直播销售用
70 10 80
户
合计 160 40 200
计算 ，
依据小概率值 的 独立性检验，能认为经常使用网络直播销售与年龄有关．
（2）方案一：设获利 万元，则 的所有可能取值为 ，
，
，
方案二：设获利 万元，则 的所有可能取值为 ，
，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
从获利的期望上看，方案二获得的利润更多些，但方案二的方差比方案一的方差大得多，从稳定性方面看
方案一更稳定，
所以，从获利角度考虑，选择方案二；从规避风险角度考虑，选择方案一．
2．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上选项
是正确的，每一道题考生全部选对得5分. 对而不全得2分，选项中有错误得0分. 设一套数学试卷的多选
题中有2个选项正确的概率为 ，有3个选项正确的概率为 ，没有4个选项都正确的（在本
问题中认为其概率为0）. 在一次模拟考试中：
(1)小明可以确认一道多选题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题
得5分的概率为 ，求 ；
(2)小明可以确认另一道多选题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择. 小明有三种方案：①只选A
不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2
个，共选3个. 若 ，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？
【答案】(1)
(2)①
【解析】（1）记一道多选题“有2个选项正确”为事件 ，“有3个选项正确”为事件 ，“小明该题
得5分”为事件B，
则 ，求得 .
（2）若小明选择方案①，则小强的得分为2分.
若小明选择方案②，记小强该题得分为X，则 ，
且 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
，
所以， ，
若小明选择方案③，记小强该题得分为Y，则 ，且
，
，
所以， ,
因为 ，所以小明应选择方案①.
考点二 概率与函数导数的综合
【例2】（2023·海南·海南中学校考模拟预测）根据社会人口学研究发现，一个家庭有 个孩子的概率模型
为：
1 2 3 0
（其中 ）
每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为 ，且相互独立，事件 表示一个家庭有 个孩子 ，
事件B表示一个家庭的男孩比女孩多（若一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）.
(1)若 ，求 ，并根据全概率公式 求 ；
(2)是否存在 值，使得 ，请说明理由.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1) ，
(2)不存在，理由见解析
【解析】（1）当 时， ，
则 ，解得 .
由题意，得 .
由全概率公式，得
又 ，所以 .
（2）由 ，得 .
假设存在 ，使 .
将上述两式相乘，得 ，
化简，得 .
设 ，则 .
由 ，得 ，由 ，得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 的最小值为 ，
所以不存在 使得 .即不存在 值，使得 .
【一隅三反】
1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】选择就地过年．某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数（单位：万），得到如下表格：
区 区
区 区
外来务工人数 万 3 4 5 6
就地过年人数 万 2.5 3 4 4.5
(1)请用相关系数说明 与 之间的关系可用线性回归模型拟合，并求 关于 的线性回归方程 和
A区的残差
(2)假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000元补贴．
①若该市 区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给 区就地过年的人员发放的补
贴总金额；
②若 区的外来务工人员中甲、乙选择就地过年的概率分别为 ，其中 ，该市政府对甲、
乙两人的补贴总金额的期望不超过1400元，求 的取值范围．
参考公式：相关系数 ，
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ．
【答案】(1)答案见解析， ，0.05
(2)①1750（万元）；②
【解析】（1）由题， ，
，
， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以相关系数 ，
因为 与 之间的相关系数近似为0.99，说明 与 之间的线性相关程度非常强，
所以可用线性回归模型拟合 与 之间的关系．
，
故 关于 的线性回归方程为 ．
∵ ，∴ ，故A区的残差为0.05.
（2）（2）①将 代入 ，得 ，
故估计该市政府需要给 区就地过年的人员发放的补贴总金额为 （万元）．
②设甲、乙两人中选择就地过年的人数为 ，则 的所有可能取值为0，1，2，
，
，
．
所以 ，
所以 ，
由 ，得 ，又 ，所以 ，
故 的取值范围为 ．
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实
施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从
武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．
(1)若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人， 表示选取的人中来自该
中学的人数，求 的分布列和数学期望；
(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每一轮竞答中，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙
两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为 ， ，且 ，如果甲、乙两位同学想在此
次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？
【答案】(1)分布列见解析，
(2)11轮
【解析】（1）由题意可知 的可能取值有0、1、2、3，
， ，
，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
0 1 2 3
所以 ．
（2）他们在每轮答题中取得胜利的概率为
，
由 ， ， ，得 ，
则 ，因此 ，
令 ， ，于是当 时， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值 ．
设他们小组在 轮答题中取得胜利的次数为 ，则 ， ，
由 ，即 ，解得 ．
而 ，则 ，所以理论上至少要进行11轮答题．
3．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知甲同学计划从某天开始的连续四天内，每天从座位充足
的 两间教室中选择一间用于自习.若其每天的选择均相互独立，且任意一天选择 教室的概率为
，任意连续两天选择相同教室的概率为 .
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，记甲在该四天内连续选择相同教室自习的天数最大值为随机变量 （若甲任意连续两天都
不在相同教室自习，则 ），求 的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【解析】（1）设事件 为“甲在某天选择 教室自习”，事件 为“甲在某天选择 教室自习”，
则 ，.
依题意知， ，
当 时， 的最小值为 ， 易知 的取值范围为 .
（2） ，解得 ，或者 （舍去），
依题意知， 的所有可能取值为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】①当这四天的选择依次为 ，或 时，
则 ，
②当这四天的选择依次为 ，或 ，或 ，或 ，或 ，或 ，或 ，或
时，
，
③当这四天的选择依次为 ，或 ，或 ，或 时，
，
④当这四天的选择依次为 ，或 时，
，
的分布列为：
1 2 3 4
的数学期望 .
考点三 概率与数列的结合
【例3-1】（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）甲､乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码.
一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，
另一方最终获胜.由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3､乙胜的概率为0.2.
(1)第一局比赛后，甲的筹码个数记为 ，求 的分布列和期望；
(2)求四局比赛后，比赛结束的概率；
(3)若 表示“在甲所得筹码为 枚时，最终甲获胜的概率”，则 .证明：
为等比数列.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)分布列见解析， .
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1） 的所有可能取值为 ，
， ， ，
则 的分布列为：
2 3 4
0.2 0.5 0.3
.
（2）当四局比赛后，比赛结束且甲胜时，第四局比赛甲胜，前三局比赛甲2胜1和，
其概率为： .
当四局比赛后，比赛结束且乙胜时，第四局比赛乙胜，前三局比赛乙2胜1和，
其概率为： ，
所以四局比赛后，比赛结束的概率为 .
（3）因为 表示“在甲所得筹码为 枚时，最终甲获胜的概率”， ，
在甲所得筹码为 枚时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为 ，
在甲所得筹码为 枚时，下局平局且最终甲获胜的概率为 ，
在甲所得筹码为 枚时，下局乙胜且最终甲获胜的概率为 ，
根据全概率公式得 ，
所以 ，变形得 ，因为 ，
所以 ，同理可得 ，
所以 为等比数列.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例3-2】（2023·福建漳州·统考模拟预测）某科研单位研制出某型号科考飞艇，一艘该型号飞艇最多只能
执行 次 科考任务，一艘该型号飞艇第1次执行科考任务，能成功返航的概率为 ，
若第 次 执行科考任务能成功返航，则执行第 次科考任务且能成功返航的概率也为 ，
否则此飞艇结束科考任务.一艘该型号飞艇每次执行科考任务，若能成功返航，则可获得价值为 万元的科
考数据，且“ ”的概率为0.8，“ ”的概率为0.2；若不能成功返航，则此次科考任务不能获
得任何科考数据.记一艘该型号飞艇共可获得的科考数据的总价值为 万元.
(1)若 ， ，求 的分布列；
(2)求 （用 和 表示）.
【答案】(1)分布列见解析
(2)
【解析】（1）若 ， ，则 的所有取值为0，200，400，
记一艘该型号飞艇第 次执行科考任务能成功返航为事件 ，获得价值为200万元的科考数据为事件 ，
.则
，
，
所以 的分布列为
0 200 400
0.86 0.13 0.01
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）解法一： 取值表示的意义如下：若一艘该型号飞艇能执行第 次科考任务且在此次任务中获得价值
200万元的科考数据，则 ，否则 ， .
因为 的分布列为
0 200
所以
因为 ，
所以
解法二：
（2）因为 的分布列为
0 200
0.8 0.2
所以 ，
记一艘该型号飞艇共可成功返航 次.
则 的全部取值为 ，且 的分布列为
0 1 2 …
…
所以
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以
所以
，
所以 .
【一隅三反】
1．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规定：每一轮甲、乙各
答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团队得0分；两人都答错，该团队得－1分．
假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为 ， ．
(1)记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及数学期望 ；
(2)假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立．记 表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率，
，求a，b，c；并证明：答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每
轮得1分”的概率越大．
【答案】(1)分布列见解析， ；
(2) ，证明见解析.
【解析】（1）由题可知是， 的取值为 ，
；
；
故 的分布列如下：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 .
（2）由题可知， ；
经分析可得：
若第 轮没有得 分，则 ；
若第 轮得 分，且第 轮没有得 分，则 ；
若第 轮得 分，且第 轮得 分，第 轮没有得 分，则 ；
故 ，故 ；
因为 ，故 ，
故
；
故 ，且 ，
则 ，
所以答题轮数越多（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.
2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）国学小组有编号为1，2，3，…， 的 位同学，现在有两个选择题，
每人答对第一题的概率为 、答对第二题的概率为 ，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如
下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②若第
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】号同学未答对第一题，则第 轮比赛失败，由第 号同学继继续比赛；③若第
号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第 轮结束；若该生
未答对第二题，则第 轮比赛失败，由第 号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若
比赛进行到了第 轮，则不管第 号同学答题情况，比赛结束．
(1)令随机变量 表示 名同学在第 轮比赛结束，当 时，求随机变量 的分布列；
(2)若把比赛规则③改为：若第 号同学未答对第二题，则第 轮比赛失败，第 号同学
重新从第一题开始作答．令随机变量 表示 名挑战者在第 轮比赛结束．
①求随机变量 的分布列；
②证明： 单调递增，且小于3．
【答案】(1)分布列见解析
(2)①分布列见解析 ；②证明见解析
【解析】（1）由题设， 可取值为1，2，3，
， ， ，
因此 的分布列为
1 2 3
（2）① 可取值为1，2，…， ，
每位同学两题都答对的概率为 ，则答题失败的概率均为： ，
所以 时， ；当 时 ，
故 的分布列为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1 2 3 …
…
②由①知： （ ， ）．
，故 单调递增；
由上得 ，故 ，
∴ ，
故 ．
3．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔
举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将
也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有 的可能性扑
不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，
等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停
地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】①试证明： 为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p 与q 的大小．
10 10
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)①证明见解析 ；②
【解析】（1）方法一： 的所有可能取值为 ，
在一次扑球中，扑到点球的概率 ，
所以 ，
，
所以 的分布列如下：
0 1 2 3
方法二：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为
，
门将在前三次扑到点球的个数 可能的取值为 ，易知 ，
所以 ，
故 的分布列为：
0 1 2 3
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 的期望 ．
（2）①第 次传球之前球在甲脚下的概率为 ，
则当 时，第 次传球之前球在甲脚下的概率为 ，
第 次传球之前球不在甲脚下的概率为 ，
则 ，
即 ，又 ，
所以 是以 为首项，公比为 的等比数列．
②由①可知 ，所以 ，
所以 ，
故 ．
考点四 概率证明
【例4】（2023·浙江·校联考模拟预测）某校有一个露天的篮球场和一个室内乒乓球馆为学生提供锻炼场所，
甲、乙两位学生每天上下午都各花半小时进行体育锻炼，近50天天气不下雨的情况下，选择体育锻炼情况
统计如下：
上下午体育锻炼项目的情况（上 （篮球，篮 （篮球，乒乓 （乒乓球，篮 （乒乓球，乒乓
午，下午） 球） 球） 球） 球）
10天
甲 20天 15天 5天
乙 10天 10天 5天 25天
假设甲、乙选择上下午锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.
(1)分别估计一天中甲上午和下午都选择篮球的概率，以及甲上午选择篮球的条件下，下午仍旧选择篮球的
概率；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)记 为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，求 的分布列和数学期望 ；
(3)假设A表示事件“室外温度低于10度”， 表示事件“某学生去打乒乓球”， ，一般来说在室
外温度低于10度的情况下学生去打乒乓球的概率会比室外温度不低于10度的情况下去打乒乓球的概率要
大，证明： .
【答案】(1)0.4；
(2)分布列见解析，1.82
(3)证明见解析
【解析】（1）设事件 为“早上甲打篮球”，事件 为“下午甲打篮球”，
则 ， .
（2）由题意知，甲上下午都选择篮球的概率为 ，乙上下午都选择篮球的概率为 ，
甲上下午都选择乒乓球的概率为 ，乙上下午都选择乒乓球的概率为 ，
记 为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，则 的所有可能取值为 、 ，
所以 ， ，
所以 的分布列为：
1 2
所以 .
（3）证明：由题意知 ，即 ，
即 ，
即 ，
即 ，即 ，
即 .
【一隅三反】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）2022年北京冬奥会圆满落幕，随后多所学校掀起了“雪上
运动”的热潮.为了解学生对“雪上运动”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷
调查，得到以下信息：
①抽取的学生中，男生占的比例为60%；
②抽取的学生中，不喜欢雪上运动的学生占的比例为45%.
③抽取的学生中，喜欢雪上运动的男生比喜欢雪上运动的女生多50人.
(1)完成2×2列联表，依据小概率值α=0.001的χ²独立性检验，能否认为是否喜欢雪上运动与性别有关联?
喜欢雪上运
不喜欢雪上运动 合计
动
男生
女生
合计
(2)（i）从随机抽取的这200名学生中采用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人.记事件
A=“至少有2名是男生”，事件B=“至少有2名喜欢雪上运动的男生”，事件C=“至多有1名喜欢雪上运运
的女生”.试分别计算 和 的值.
（ii）根据第（i）问中的结果，分析 与 的大小关系.
参考公式及数据 ， .
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)表格见解析，是否喜欢雪上运动与性别有关联.
(2)（i）答案见解析；（ii）答案见解析
【解析】（1）2×2列联表如下：
喜欢雪上运
不喜欢雪上运动 合计
动
男生 80 40 120
女生 30 50 80
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】合计 110 90 200
假设 ：是否喜欢雪上运动与性别无关联.
根据表中数据，计算得到
依据小概率值 的 独立性检验，我们推断 不成立.
即认为是否喜欢雪上运动与性别有关联.
（2）①由已知事件ABC表示：“2男生1女生都喜欢雪上运动”和“3男生中至少两人喜欢雪上运动”事
件
因为 ，
，
所以 .
②由（i）得 与 相等的关系可以推广到更一般的情形，
即对于一般的三个事件A，B，C，有 .
证明过程如下： ，得证.
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）2022年11月20日，卡塔尔足球世界杯正式开幕，世
界杯上的中国元素随处可见．从体育场建设到电力保障，从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物都是中国制造，
为卡塔尔世界杯提供了强有力的支持．国内也再次掀起足球热潮．某地足球协会组建球队参加业余比赛，
该足球队教练组为了考查球员甲对球队的贡献，作出如下数据统计（甲参加过的比赛均分出了输赢）：
球队输球 球队赢球 总计
甲参加 2 30 32
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】甲未参
8 10 18
加
总计 10 40 50
(1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为该球队赢球与甲球员参赛有关联；
(2)从该球队中任选一人，A表示事件“选中的球员参赛”，B表示事件“球队输球”． 与
的比值是选中的球员参赛对球队贡献程度的一项度量指标，记该指标为R．
①证明： ；
②利用球员甲数据统计，给出 ， 的估计值，并求出R的估计值．
附： ．
参考数据：
a 0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)认为该球队胜利与甲球员参赛有关
(2)①证明见解析 ；② , ；
【解析】（1）零假设为 ：该球队胜利与甲球员参赛无关．
，
因为 ，
所以依据 的独立性检验，我们推断 不成立，所以认为该球队胜利与甲球员参赛有关，此推断
犯错误的概率不大于0.005．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）①证明：
② ， ，
．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
