第二节跟踪训练_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第七章

MST老唐说题26版一轮
第二节 跟踪训练
考向1 跟踪训练
考点1
【训练1】如图，在三棱柱ABC-ABC 中，侧面ACC A 为菱形，侧面CBBC 为正方形．点M 为AC的中
1 1 1 1 1 1 1 1
点，点N 为AB的中点，证明：MN//平面BCC B ．
1 1
1
【训练2】如图所示，在四棱锥PABCD中，BC//平面PAD，BC  AD，E是PA的中点．
2
【训练3】如图，AD//BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG//AD且EG AD，CD//FG且CD2FG，
DG⊥平面ABCD，DA DC  DG ，若M 为CF 的中点，N为EG的中点，
求证：MN//平面CDE．MST老唐说题26版一轮
【训练4】如图，四边形ABCD 为矩形，P 是四棱锥P－ABCD 的顶点，E为BC 的中点，请
问在PA上是否存在点G，使得EG∥平面PCD，并说明理出
考点2 跟踪训练
【训练1】如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为菱形，ABC 60，PA AD，PA平面ABCD，
E,F分别是BC，PC的中点，证明：直线AE平面PAD．
【训练2】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，平面PCD平面PAD，证明：平面PAD
平面ABCD；MST老唐说题26版一轮
【训练3】如图，在三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，且 PA  AC  BC ，PACACB90,E
为棱PC的中点，F为棱PB上的点，证明：AEPB
【训练4】如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，ABBC，E是CD上一点，ABDE2，CD3，
BC  3，将VADE沿着AE翻折，使D运动到点P处，得到四棱锥P ABCE，证明：PB AE．
【训练5】（2023·乙卷）如图，在三棱锥PABC中，ABBC，AB2，BC 2 2，PBPC  6，
BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD 5DO，点F在AC上，BF  AO.
(1)证明：EF//平面ADO；
(2)证明：平面ADO平面BEF；MST老唐说题26版一轮
考向2 跟踪训练
题型1
【训练1】若A(m1，n1，3)、B(2m，n，m2n)、C(m3，n3，9)三点共线，则mn（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
1    
【训练2】如图，M在四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，且MN  OM ，设 OAa ，OBb，
3
  
OCc ，则下列向量与AN相等的向量是（ ）
 1 1  1 1
A．a b c B．a b c
3 3 3 3
 1 1  1 1
C．a b c D．a b c
6 6 6 6
 
【训练3】（多选题）已知空间向量a2,1,3，b 4,2,x，下列说法正确的是（ ）
  10
A．若ab，则x
3
B．若3a  b  2,1,10，则x1
  1 
C．若a在b 上的投影向量为 b，则x4
3
  10 
D．若a与b 夹角为锐角，则x ,
 3 
【训练4】已知空间A、B、C、D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若
   
BD5PA4PBPC，则（ ）
A．2 B．2 C．1 D．1MST老唐说题26版一轮
题型2 跟踪训练
【训练1】如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：
CE//MN.
【训练2】如图，AD//BC且AD2BC，ADCD，EG//AD且EG AD，CD//FG且CD2FG，DG
平面ABCD，DADC DG2，若M 为CF 的中点，N 为EG的中点，求证：MN//平面CDE；
题型3跟踪训练
【训练1】如图，直三棱柱ABC-ABC 中，BAC 90， AB  AC 2， AA 4，D为BC的中点，E
1 1 1 1
1
为CC 上的点，且 CE  CC ，求证：BE⊥平面ADB .
1 4 1 1MST老唐说题26版一轮
1
【训练2】如图，正三棱柱ABC-ABC 中，E,F 分别是棱AA,BB 上的点，AE BF  AA，
1 1 1 1 1 1 3 1
证明：平面CEF 平面ACC A ；
1 1
题型3 跟踪训练
【训练1】在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD 平面PAB，PAD45，AB2.
(1)证明：平面PAD 平面ABCD；
(2)若E为PC的中点，异面直线BE与PA所成角为30，求四棱锥PABCD的体积.
π
【训练2】如图1所示，四边形ABCD中AD//BC，AB1，AD2，BC3，ABC ，M为AD的中
2
点，N为BC上一点，且MN//AB．现将四边形ABNM沿MN翻折，使得AB与EF重合，得到如图2所示的
几何体MDCNFE，其中FD 3．
(1)证明：CD平面FND；
(2)若P为FC的中点，求二面角FNDP的正弦值．MST老唐说题26版一轮
题型4 跟踪训练
【训练1】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD是边长为2的正三角形，平
面PAD平面ABCD，ABPD．
(1)求证：平行四边形ABCD为矩形；
6
(2)若E为侧棱PD的中点，且平面ACE与平面ABP所成角的余弦值为 ，求点B到平面ACE的距离．
4
【训练2】在直三棱柱ABC-ABC 中，AA  ABBC  3，AC 2，D是AC的中点，则直线BC到平面ABD
1 1 1 1 1 1
的距离为 ．
题型5 跟踪训练
【训练1】在ABC（图1）中，BC3,C45,AD为BC边上的高，且满
 
足DC2BD，现将△ABD沿AD翻折得到三棱锥ABCD（图2），使得二面角BADC为60.
(1)证明：BC平面ABD；
  1
(2)在三棱锥ABCD中，M 为棱CD的中点，点P在棱AC上，且APAC0 ，若点C到平面PBM
 2
3 13
的距离为 ，求的值.
13MST老唐说题26版一轮
【训练2】如图，在三棱台ABC-ABC 中，若AA平面ABC,AB AC,AB AC AA 2，AC 1,N为
1 1 1 1 1 1 1
AB中点，M 为棱BC上一动点（不包含端点）.
(1)若M 为BC的中点，求证：AN //平面CMA.
1 1
2
(2)是否存在点M ，使得平面CMA与平面ACC A 所成角的余弦值为 ？若存在，求出BM长度；若不存在，
1 1 1 7
请说明理由.
【训练3】如图，圆台OO 的轴截面为等腰梯形AACC ，AC2AA 2AC 4,B为底面圆周上异于A,C 的
1 2 1 1 1 1 1
点.
(1)在平面BCC 内，过C 作一条直线与平面AAB平行，并说明理由；
1 1 1
(2)若四棱锥BAACC 的体积为2 3，设平面AAB平面CCBl,Ql，求CQ 的最小值.
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