第二节等差数列_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第八章

MST老唐说题26版一轮 第 2 节 等差数列 考向一 等差数列的概念及通项 知识点一 等差数列的概念 1．定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，即a a d或者 n1 n a a d（n2），那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d n n1 表示，公差可正可负可为零． 2．递推公式形式的定义：a a d （nN且n2）或者a a d． n n1 n1 n 知识点二 等差中项的概念 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项且2A＝a ＋b． ①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数，任意两实数a，b的等差中项存在且唯一； ab ②三个数a,A,b成等差数列的充要条件是A ． 2 知识点三 等差数列的通项公式 1．首项为a ，公差为d的等差数列{a }的通项公式a ＝a ＋(n－1)d． 1 n n 1 知识点四 从函数观点看等差数列——等差数列与一次函数 由等差数列的通项公式a  a (n1)d ，可得a dn(a d)． n 1 n 1 当d 0时，a dnb是n的一次函数，一次项系数是等差数列的公差d ，它的图象是在直线 n ydxb上均匀排列的一群孤立的点． （1）当d 0时数列{a }为递增数列；（2）当d 0时数列{a }为递减数列；（3）当d 0时，a a ， n n n 1 等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上均匀分布的一群孤立的点． 从图象上看（如下图），表示数列{a }的各点，即点(n,a )，均匀分布在一条直线上． n n 知识点五 等差数列通项公式的变形及推广 1．公式变形 设等差数列{a }的首项为a ，公差为d，则 n 1 1MST老唐说题26版一轮 a －a ①d＝ n m (m，n∈N*，且m≠n)，可用来由等差数列任两项求公差． n－m ②a ＝a ＋(n－m)d(m，n∈N*)，可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a ． n m 1 证明：∵a a (n1)d ，a a (m1)d ，∴a a [a (n1)d][a (m1)d](nm)d ， n 1 m 1 n m 1 1 ∴a a (nm)d ． n m 由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式a a (n1)d 可以看成是 n 1 m1时的特殊情况． a a ③n n 1 1，已知首项，末项，公差即可计算出项数． d 2．基本量法 （1）等差数列可以由首项a 和公差d确定，我们把a 和d称为基本量，所有关于等差数列的计算和证明， 1 1 都可围绕a 和d进行．在基本量法中，不拘泥于a ，有a 可直接用a ． 1 1 m m 解题时没有思路了，可以回归基本量法． （2）求等差数列的通项公式的两种思路： ①设出基本量a ，d ，利用条件构建方程组，通过加减消元法或代入消元法求出a ，d ，即可写出等差数 1 1   列 a 的通项公式； n  a a a a (n1)d d  m n ②已知等差数列中的两项a ,a (n,mN*,n m)时，则 n 1   mn ，可不 n m a m a 1 (m1)d  a a (nm)d n m 必求a 而直接写出等差数列{a }的通项公式． 1 n ③设项技巧——对称设项 （i）三个数成等差数列可设为：ad ，a，ad 或a，ad ，a2d； （ii）四个数成等差数列可设为：a3d，ad ，ad ，a3d 或a，ad ，a2d，a3d ． a a a 27 【例1】（2020•上海）已知数列{a }是公差不为零的等差数列，且a a a ，则 1 2 9  ． n 1 10 9 a 8 10 1 1 1 【例2】设a，b，c分别是ABC 内角A，B，C的对边，若 , , 依次成公差不为0的等差 tanA tanB tanC 数列，则( ) A．a，b，c依次成等差数列 B．a2，b2，c2依次成等差数列 1 1 1 C． a, b, c依次成等差数列 D． , , 依次成等差数列 a b c 2MST老唐说题26版一轮 【例3】(2022•新II卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA,BB,CC,DD 是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图． 其中DD ,CC ,BB ,AA 是举，OD ,DC ,CB ,BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 1 1 1 1 1 1 1 1 DD CC BB AA 1 0.5, 1 k , 1 k , 1 k ．已知k ,k ,k 成公差为0．1的等差数列， OD DC 1 CB 2 BA 3 1 2 3 1 1 1 1 且直线OA的斜率为0．725，则k ( ) 3 A．0．75 B．0．8 C．0．85 D．0．9 【例4】函数y 1(x2)2 图像上存在不同的三点到原点的距离构成等差数列，则以下不可能成为公差的 数是( ) 3 1 A． B． C．1 D． 3 3 2 【例5】(2023•乙卷)已知等差数列a 的公差为 2 ，集合S   cosa nN* ，若S a,b，则ab（ ） n 3 n 1 1 A．－1 B． C．0 D． 2 2 3MST老唐说题26版一轮 考向2 等差数列的性质 1．由等差数列生成新的等差数列   （1）公差为d 的等差数列 a 具有如下性质：下标成公差为m的等差数列的项a ,a ,a ,L组成以 n k km k2m md为公差的等差数列，即在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差 数列． （2）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公 差是原两等差数列公差的最小公倍数． （3）若{a }，{b }分别是公差为d，d′的等差数列，则有 n n 数列 结论 {c＋a } 公差为d的等差数列(c为任一常数) n {c·a } 公差为cd的等差数列(c为任一常数) n {a ＋a } 公差为2d的等差数列 n n＋k {pa ＋qb } 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) n n 2．角标和对称性：若mn pq，则a a  a a (m,n,p,qN*)． m n p q （1）若mn2k，则a a 2a (m,n,pN*) ； m n k （2）若mnt  pqr，则a a a a a a (m,n,p,q,t,rN*) ． m n t p q r （3）有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和： a a a a La a L. 1 n 2 n1 i n1i 对于选填中的二元问题，单条件暗示考性质，可利用从一般到特殊思想，直接考虑特殊化的情形，令 a  x可简化计算． n 3．角标项对偶性：若a m,a n，则a 0． n m mn a a mn 证明：由a a  nm  d 得，d  n m  1，a a  mnm  d nn 0 n m nm nm mn m 【例1】（2024•新高考Ⅱ）记Sn 为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4 ＝7，3a2+a5 ＝5，则S10 ＝ ． 【例2】已知数列{a }为等差数列，且a a a 4，则sina ( ) n 1 7 13 7 1 1 3 3 A． B． C． D． 2 2 2 2 4MST老唐说题26版一轮 【例3】已知{a }，{b }均为等差数列，且a 1，b 2，a b 5，则a b ( ) n n 1 1 3 3 2023 2023 A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【例4】已知数列{a }为等差数列，a a a 6，a a a 11，则a a a ( ) n 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A．16 B．19 C．25 D．29 考向3 等差数列的前n项S n 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 na ＋a  nn－1 求和公式 S ＝ 1 n S ＝na ＋ d n n 1 2 2 S ,n1 ①a  1 ；②S S a a a ． n S S ,n2 n m m1 m2 n n n1 1． a 与S 之间一步转换 n n a a a a na m m m m mm m ......m 1 2 3 n 1 2 3 n n 例：a a a 3a ；3a a 2a ． 2 6 7 5 8 12 6 公式一：S a a a a S na （其中n为奇数） 例：S 5a ． n 1 2 3 n n n1 5 3 2 S S S 公式二：a  2n1 例：a  9 ；a  15 ． n 2n1 5 9 8 15 当m、m、m、…、m 也成等差数列时，均有a a a a na ． 1 2 3 n m 1 m 2 m 3 m n m 1 m n 2 2．只有S的模型与最值问题 S S  S S S S 性质1．等差数列中： mn  m n ，则有 2mm  2m m 可以求出S ，甚至S ． m n mn 2mm 2mm 3m 4m a 0 注意：①若S S ，则一定有：S 0； mn1 ． m n mn 2 ②S ，S S ，S S 成等差数列，公差为n2d n 2n n 3n 2n S d S S S S 性质2．等差数列{a }中：{ n}为首项是a ，公差是 的等差数列，若mn pq，则 m  n  p  q n 1 n 2 m n p q 5MST老唐说题26版一轮 S S 2S 特别的，若mn2p，则有 m  n  p ． m n p a 0 a 0 性质3．S 有最大值 n ；S 有最小值 n ，若a 0，则有S S 同时取得最值 n a n1 0 n a n1 0 n n n1  S 0  S 0 S 0，n的最大值 n ；S 0, n的最大值 n ． n S n1 0 n S n1 0 题型一 a 与S 的关系 n n 【例1】（2024•甲卷）等差数列{an}的前n项和为Sn ，若S9 ＝1，a3+a7 ＝（ ） A．﹣2 B． C．1 D． 7 2 【例2】(2020•新高考I卷)将数 3 列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得 9 到数列{a n }，则{a n }的前n项 和为________． S S 【例3】已知等差数列{a }，a 4048，其前n项和为S ，若 20  18 4，则S ( ) n 1 n 20 18 2025 A．0 B．20242 C．2025 D．20252 【例4】（2013•新课标Ⅰ）设等差数列{a }的前n项和为S ，若S 2，S 0，S 3，则m（ ） n n m1 m m1 A．3 B．4 C．5 D．6 S S 【例5】设等差数列{a }的前n项和为S ，若 14 7，则 21 ( ) n n S S 7 14 18 3 11 11 A． B． C． D． 7 2 7 6 S 31n 101 【例6】设{a }与{b }是两个等差数列，它们的前n项和分别为S 和T ，若 n  ， n n n n T n  3 n a a a a 则：（1） 9 ___________；（2） 5 ___________；（3） 1 11 ___________； b b b b 9 4 1 11 6MST老唐说题26版一轮 a a a a a （4） 1 4 7 ___________；（5） n ___________；（6）求使 n 为整数的正整数n的集合． b b b b b 1 4 7 n n 【例7】已知等差数列{an}与等差数列{bn}的前n项和分别为Sn 与Tn ，且 ， 5 +3 = 则 （ ） 2 −1 4 −2 3 9 + = A 11 ． 11 B． C． D． 29 29 58 58 21 11 21 11 题型二 与S 有关的最值问题 n 【例1】记等差数列{an}的前n项和为Sn ，公差为d，若a3+a18 ＞0，S19 ＜0，则（ ） A．S20 ＜0 B．a6+a17 ＜0 C．a11 ＞0 D． ， 1 ∈ ( − 9 − 8) 【例2】(多选)公差为d的等差数列{a }，其前n项和为S ，S 0，S 0，下列说法正确的有( ) n n 11 12 A．d 0 B．a 0 C．{S }中S 最大 D．|a ||a | 7 n 6 4 9 【例3】（2019•北京）设等差数列{a }的前n项和为S ，若a 3，S 10，则a  ，S 的最小值 n n 2 5 5 n 为 ． 7MST老唐说题26版一轮 题型三 奇数项和与偶数项和 S n （1）①若数列{a }共有2n1项，则S =(2n1)a （a 为中间项），S S  a ， 奇  ； n 2n1 n n 奇 偶 n S n1 偶 n(a a ) (n1)(a a ) (其中S  1 2n1 na ，S  2 2n2 (n1)a )； 奇 2 n 偶 2 n S a ②若数列{a }共有2n项，则S ＝n(a ＋a )（a ，a 为中间两项），S S nd ， 偶＝ n＋1． n 2n n n＋1 n n1 偶 奇 S 奇 a n 【例1】等差数列{a }共2n1个项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则n( ) n A．10 B．13 C．11 D．22 【例2】一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10．5，则该 数列的项数是( ) A．4 B．8 C．12 D．20 【例3】 一个等差数列的前10项和为30，前30项的和为10，则前40项的和为____________． 考向四 等差数列的判定方法 1．定义法：利用定义，a －a ＝d(常数)(n≥2)， n n－1 2．等差中项法：即2a ＝a ＋a (n≥2)． n n＋1 n－1 3．通项公式法：若数列 a 的通项公式为n的一次函数，即a ＝An＋B(A、B是常数)，则 a 是等差数列． n n n 4．前n项和法：若数列 a 的前n项和S 是S ＝An2＋Bn的形式(A，B是常数)，则 a 为等差数列． n n n n 注：①解答题可利用（1）或（2）进行严格证明；②选择、填空题时，可直接用(3)或(4)直接判断． 5．常见的等差数列 8MST老唐说题26版一轮 （1）S an2 bn  {a }为等差数列，a 2anba． n n n  abc,n1 （2）S an2 bnc（c0） a  ，即{a }是从第二项开始为等差数列． n n 2anba,n2 n 注：选填题可以直接用，解答题在规范书写的基础上结合结论可以简化计算过程，避实就虚！ （3）若S  pa 2  1 a c，则 a 是等差数列，且d  1 ． n n 2 n n 2p     （4） pa  pa ca a ， pS  pS cS S ，nS  n1S n n1 型递推关系式． n n1 n n1 n n1 n n1 n1 n  1   1  转化步骤：方程两边分别同除以“积式”结构a a ，S S ，n  n1 ，即可分别得到 ， ， n n1 n n1  a   S  n n S   n为等差数列．可以类比基本不等式中的“整体代换”来理解记忆，见到mxny txy 结构，同除积  n  n m 式xy得  t． x y （5）用于含指数幂a  pa  pn型已知条件． n n1 a a a  转化方法：同除指数项，等式两边同时除以 pn： n  n1 1，所以 n 为等差数列． pn pn1 pn  ca （6）对于分式型递推关系式a  n 型已知条件，且分子只有一项． n1 pa c n 1 1 p  1  转化方法：取倒数法，等式两边同时取倒数可得   ，故数列 为等差数列． a n1 a n c  a n  2S 【例1】(2022甲卷理科)记S 为数列a 的前n项和．已知 n n2a 1．证明：a 是等差数列． n n n n n 9MST老唐说题26版一轮 1 1 【例2】在数列{a }中，a 1,a 1 ,b  ，其中nN*． n 1 n1 4a n 2a 1 n n 求证：数列{b }是等差数列． n 1 a 【例3】已知数列{a }满足a  ,a  n ． n 1 3 n1 2a 1 n  1  证明：数列 为等差数列，并求数列{a }的通项公式a ． a  n n n 【例4】(2015•新课标2理)设S 是数列 a 的前n项和，且a 1，a S S ，则 n n 1 n1 n n1 S ________． n 10