第二节立体几何大题篇_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第七章

MST老唐说题26版一轮 第七章 立体几何第二节 大题篇 考点一 平行的判定 1.直线与平面平行 文字语言 图形语言 符号语言 平面外一条直线与此平面内 判定 的一条直线平行，则直线与 定理 此平面平行. 如果一条直线和一个平面平 性质 行，经过这条直线的平面和 定理 这个平面相交，那么这条直 线就和交线平行. 2.平面与平面平行 文字语言 图形语言 符号语言 一个平面内有两条相交直线 判定 与另一个平面平行，则这两 定理 个平面平行 如果两个平行平面时与第三 性质 个平面相交，那么它们的交 定理 线平行MST老唐说题26版一轮 法一 线面平行构造之三角形中位线法（又称“A”型平行） 【例1】四棱椎PABCD底面为平行四边形，E、F分别为PD、BC中点，证明：PB∥平面ACE 图一 图二 图三 图四 法二 线面平行构造之平行四边形法（又称“ ”型平行） 【例2】四棱椎PABCD底面为平行四边形，E、F分别为PD、BC中点，证明：EF∥平面PAB 图一 图二 图三 图四MST老唐说题26版一轮 法三 线面平行构造之面面平行推导法（做一个辅助平行平面） 【例3】四棱椎PABCD底面为平行四边形，E、F分别为PD、BC中点，证明：EF 平面PAB 【例4】如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD,AB BC,2AB2BC CD PD PC，设E,F,M 分列为 棱AB,PC,CD的中点，证明：EF//平面PAM ． 考点二 垂直的判定 1．直线和平面垂直的定义 直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直 2．性质定理与判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 一条直线与平面内的两条相交直 判定 线都垂直，则该直线与此平面垂 定理 直MST老唐说题26版一轮 如果在两条平行直线中，有一条 推论 垂直于平面，那么另一条直线也 垂直这个平面 垂直于同一个平面的两条直线平 性质定理 行 3.平面与平面垂直 文字语言 图形语言 符号语言 一个平面过另一个平面的一条垂 判定定理 线，则这两个平面互相垂直 两个平面互相垂直，则一个平面 性质定理 内垂直于交线的直线垂直于另一 个平面 题型1 线面垂直与面面垂直的判定定理 【例1】图1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF 2， FBC60．将其沿AB，BC折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2．证明：图2中的A，C，G， D四点共面，且平面ABC 平面BCGEMST老唐说题26版一轮 【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，PA AB2，E为线段PB的 中点，F为线段BC上的动点，证明：平面AEF 平面PBC 题型2 异面直线垂直 【例3】如图，在长方体ABCDABCD 中，点E，F 分别在棱DD ，BB 上，且2DEED ，BF 2FB ． 1 1 1 1 1 1 1 1 证明：（1）当ABBC时，EFAC；（2）点C 在平面AEF 内． 1 题型3 等腰三角形三线合一构造法 在没有特殊的重垂线和水平面，证一些线面垂直则需要一些特殊的几何性质,由有着共底边的两个等腰三角形构 成的立体图形，则两个顶点的连线一定垂直于底边． 【例4】如图，已知空间四边形ABCD中，BC  AC ，ADBD，E是AB的中点． 求证：（1）AB平面CDE； （2）平面CDE 平面ABC； （3）若G为ADC的重心，试在线段AE上确定一点F ，使得GF //平面CDE．MST老唐说题26版一轮 【例5】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCd 是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三 角形，且平面PAD垂直于底面ABCD． （1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD； （2）求证：ADPB； （3）求二面角ABCP的大小． 题型4 面面垂直的性质定理 【例6】如图，在平面四边形ABCP中，D为PA的中点，PA AB,CD// AB，且PACD2AB4.将此 平面四边形ABCP沿CD折成直二面角PDCB，连接PA,PB,BD.证明：平面PBD平面PBC. 题型5 鳖臑几何体中的垂直 定理：若一条直线l 垂直于一个平面，如果在被垂直的平面内找到相互垂直的两条线l  l （l 与l 相交）， 1 2 1 则与l 异面的直线l 垂直于l 和l 构成的平面．鳖臑是最典型的例子． 2 1 当出现重垂线PA 时，就需要在水平面ACB内找到两条垂直相交的直线ACBC，由于AC 与重垂线MST老唐说题26版一轮 PA 相交，故能得到BC 面PAC ，同理，PAC 作为被垂直的平面，在平面内找到ADPC，BC与PC相 交，故可以得到AD面PBC，PBC 作为被垂直的平面，需要在这个面内找到垂直的两条直线，当DE PB 时（或AE PB），能得到PB面ADE． 【例7】如图，几何体PABC 中，PA平面ABC，AC CB，AM PB 于M ，AN PC 于N ． （1）证明：BC 平面PAC ； （2）证明：PB 平面AMN ； （3）证明：平面PBC 平面AMN ； （4）证明：PB  MN ．MST老唐说题26版一轮 考向 2 空间向量与立体几何 知识点一：空间向量的数量积运算 （1）两向量夹角         已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OAa，OBb，则AOB叫做向量a，b的夹角，            记作 a,b ，通常规定0 a,b ，如果 a,b  ，那么向量a，b互相垂直，记作ab． 2 （2）数量积定义                 已知两个非零向量a，b，则 a bcos a,b 叫做a，b的数量积，记作ab，即ab a b cos a,b ．零    2 向量与任何向量的数量积为0，特别地，aa a ． （3）空间向量的数量积满足的运算律：             a b ab ，abba（交换律）；          a bc abac （分配律）． 知识点二：空间向量的坐标运算及应用     （1）设aa,a ,a ，bb,b ,b ，则aba b,a b ,a b ； 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3   aba b,a b ,a b ； 1 1 2 2 3 3  aa ,a ,a ； 1 2 3   abab a b ab ； 1 1 2 2 3 3       a//b b0 a b,a b ,a b ； 1 1 2 2 3 3   abab a b ab 0． 1 1 2 2 3 3    （2）设Ax,y ,z ，Bx ,y ,z ，则ABOBOAx x ,y  y ,z z ． 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． （3）两个向量的夹角及两点间的距离公式．     ①已知aa,a ,a ，bb,b ,b ，则 a  a 2  a2 a 2 a2 ； 1 2 3 1 2 3 1 2 3   b  b 2  b2 b2 b2 ； 1 2 3   abab a b ab ； 1 1 2 2 3 3MST老唐说题26版一轮   ab a b ab cos a,b  1 1 2 2 3 3 ； a2 a 2 a 2 b2 b2 b2 1 2 3 1 2 3  ②已知Ax,y ,z ，Bx ,y ,z ，则 AB  x x 2y y 2z z 2 ， 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2  或者dA,B AB ．其中dA,B表示A与B两点间的距离，这就是空间两点的距离公式．        ab （4）向量a在向量b上的投影为 a cos a,b   ． b 知识点三：法向量的求解与简单应用 （1）平面的法向量：   如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n，如果   n，那么向量n叫做平面的法向量． 几点注意：   ①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量n是平面的法向量，向量m是   与平面平行或在平面内，则有mn0．   第一步：写出平面内两个不平行的向ax ，y ，z ，bx ，y ，z ； 1 1 1 2 2 2    na0 xx  yy zz 0 第二步：那么平面法向量nx，y，z ，满足   1 1 1 ． nb0 xx 2  yy 2 zz 2 0 （2）判定直线、平面间的位置关系   ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a，b的方向向量分别为a，b ．     若a∥b ，即ab，则a∥b；     若a⊥b，即ab0，则a⊥b．   ②直线与平面的位置关系：直线l的方向向量为a，平面的法向量为n ，且l⊥．     若a ∥n ，即an，则l⊥；      若a⊥n，即an0，则a∥．MST老唐说题26版一轮 （3）平面与平面的位置关系   平面的法向量为n ，平面的法向量为n ． 1 2         若n ∥n ，即n n ，则∥；若n ⊥n ，即n n 0，则⊥． 1 2 1 2 1 2 1 2 知识点四：空间角公式．   （1）异面直线所成角公式：设a，b分别为异面直线l ，l 上的方向向量，为异面直线所成角的大 1 2     ab 小，则cos cos a,b    ． a b   （2）线面角公式：设l为平面的斜线，a为l的方向向量，n为平面的法向量，为     an l与所成角的大小，则sin cos a,n    ． a n （3）二面角公式：     设n ，n 分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则 n,n 或 n,n （需要根据具体 1 2 1 2 1 2   n n 情况判断相等或互补），其中 cos  1  2 ． n n 1 2 知识点五：空间中的距离 求解空间中的距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直 接计算．   如图，设两条异面直线a，b的公垂线的方向向量为n ，这时分别在a，b上任取A，B两点，则向量在n     n |ABn| 上的正射影长就是两条异面直线a，b的距离．则d |AB  |  即两异面直线间的距离，等于两异 |n| |n| 面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．MST老唐说题26版一轮 （2）点到平面的距离  A为平面外一点（如图），n 为平面的法向量，过A作平面的斜线AB及垂线AH ．          |ABn| |ABn| |AH ||AB|sin|AB||cos AB,n|=|AB|     AB  n n   |ABn| d   |n| 题型1 空间向量的基本运算         【例1】如图.空间四边形OABC中，OAa,OBb,OC c，点M在OA上，且满足OM 2MA，点N为BC  的中点，则 MN （ ）       1 2 1 2 2 1 A． a b c B． a b c 2 3 2 3 3 2       1 1 1 2 1 1 C． a b c D． a b c 2 2 2 3 2 2 【例2】若点A(2,5,1)，B(1,4,2)，C(m3,3,n)在同一条直线上，则mn（ ） A．21 B．4 C．4 D．10MST老唐说题26版一轮   【例3】（多选题）已知向量a1,1,1，b 1,0,2，则下列正确的是（ ） A．a  b  0,1,3 B． a   3 C．a  ×b  =2 D．a  ,b   π 4  1   【例4】在四面体OABC中，点M，N分别为OA、BC的中点，若OG OAxOB yOC，且G、M、N三 3 点共线，则xy ． 题型2 利用空间向量证明平行 【例1】如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD平面ABCD，E为CP的中点，N 为 1 DE的中点，DM  DB,DADP1,CD2，求证：MN//AP． 4 【例2】在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利于采光，其中一角如图所示，为多面体 ABCDEABCDE ，AB AE，AE∥BC，AB∥ED，AA 底面ABCDE，四边形ABCD 是边长为2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 的正方形且平行于底面，AB∥AB ，DE，BB的中点分别为F ，G，AB AE 2DE 2BC 4，AA 1． 1 1 1 1 1 证明：FG∥平面CCD； 1MST老唐说题26版一轮 题型3 利用空间向量证明垂直 【例1】如图，在平行六面体ABCDABCD 中，AB AD4,AA 5,DABDAA BAA 60. 1 1 1 1 1 1 1 (1)求AC的长； 1 (2)求证：AC BD. 1 【例2】如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD 是边长为2的正方形，PDDC，F，G分别是PB，AD的中点．求证：GF 平面PCB； 【例3】如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，AD//BC，PA ADCD2，BC3.E PF 1 为PD的中点，点F 在PC上，且  ，求证：平面AEF 平面PCD. FC 2MST老唐说题26版一轮 题型4 利用空间向量求夹角、长度、体积 【例1】（2024新I卷）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，PA AC 2，BC 1,AB 3． （1）若AD  PB，证明：AD//平面PBC； 42 （2）若ADDC，且二面角ACPD的正弦值为 ，求AD． 7 【例2】（2024新课标Ⅱ卷17题）如图，平面四边形ABCD中，AB 8，CD 3，AD 5 3，ADC 90，  2  1 BAD 30，点E，F满足AE  AD，AF  AB，将△AEF 沿EF对折至 PEF ，使得PC 4 3． 5 2 （1）证明：EF PD； （2）求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值．MST老唐说题26版一轮 【例3】（2024甲卷）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF 均为等腰梯形，BC //AD,EF //AD，AD4,AB BC  EF 2，ED  10,FB  2 3，M 为AD 的中点． （1）证明：BM / /平面CDE； （2）求二面角F BM E 的正弦值． 题型4 利用空间向量求距离 【例1】（2024天津卷） 已知四棱柱ABCDABC D 中，底面ABCD为梯形，AB//CD，AA平 1 1 1 1 1 面ABCD，ADAB，其中AB  AA 2,AD  DC 1．N 是BC 的中点，M 是DD 的中点． 1 1 1 1 （1）求证DN //平面CB M ； 1 1 （2）求平面CB M 与平面BBCC 的夹角余弦值； 1 1 1 （3）求点B到平面CB M 的距离． 1MST老唐说题26版一轮 【例2】如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，BC//平面PAD， 1 BC  AD1，E是棱PD上的动点. 2 (1)当E是棱PD的中点时，求证：CE//平面PAB； (2)若AB 1，AB AD，求点B到平面ACE距离的范围. 题型5 探索性问题 与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面 角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数（有些是题中已给出），设 出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断． AD CE 1 【例1】等边三角形ABC的边长为3，点D,E分别是边AB,AC上的点，且满足   ，如图甲，将 DB EA 2 VADE沿DE折起到△ADE的位置，使二面角A DEB为直二面角，连接AB,AC ，如图乙. 1 1 1 1 (1)求证：BD平面ADE. 1 (2)在线段BC上是否存在点P，使平面PAE与平面ABD所成的角为60？若存在，求出PB的长；若不存在， 1 1 请说明理由.MST老唐说题26版一轮 【例2】在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，A,E,B,F四点共面，且ABE和△ABF 均为等 腰直角三角形，BAE AFB90，平面ABCD平面AEBF，AB2. (1)求证：直线BE平面ADF； (2)求平面CBF与平面BFD夹角的余弦值； (3)若点P在直线DE上，求直线AP与平面BCF所成角的最大值.