第二节解三角形大题篇_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第五章

MST老唐说题26版一轮 5.2 解三角形大题篇 考向 1 边角互换 一．正余弦定理与边角互换 1．边换角解题步骤 ①正弦定理把边化为角； ②利用ABC 消去一个元，和差公式展开重新合并式子； ③利用辅助角公式化成Asin(x)t的形式； ④解出特殊值的方程. （注意诱导公式和角度范围的使用） 2．角换边解题步骤（一般是出现sin2 Asin2B的形式） ①正弦定理把边角换边； ②利用余弦定理进行式子的对比求出角度值； 题型1 边化角 【例1】（2024•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA 3cosA2． （1）求A； （2）若a2， 2bsinC csin2B，求△ABC周长． 【例2】（2024•新高考Ⅰ）记ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC  2cosB， a2 b2 c2  2ab． （1）求B； （2）若ABC 的面积为3 3，求c．MST老唐说题26版一轮 题型2 角化边 【例1】（2022•乙卷）记ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(AB)sinBsin(CA)． （1）证明：2a2 b2 c2； 【例2】（2019•新课标Ⅰ）ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设 (sinBsinC)2 sin2 AsinBsinC． （1）求A； 考向 2 范围类问题 二．解三角形中的范围问题 1．有界性求 或者 类型 sin +sin sin + sin + =4 cos sin + , 2 2 2 2 证明: + =2 +2 cos +1sin + ⩽2 +2 cos +1 >0 注意: , 当 时, , sin + sin =sin + + sin =sin +cos +cos sin 注意:求 的方法如法炮制. cos + =0 + =2 sin cos + +cos sin =2 ⋅sin cos 2．基本不 co 等 s 式 + 求 coas b（或者ab）的最值类型  c2 a2 b2 2abcosC (ab)2 ab(1 )(ab)2（为常数） 4 c2 a2 b2 2abcosC2ab2abcosC 2ab(1cosC) 注意:①求锐角三角形的取值范围问题不适合使用基本不等式的方法；②注意取等条件；③配合三角形的三 边关系一起使用.MST老唐说题26版一轮 3．邻补角余弦值为0类型 如图，△ABC 中，和互为补角，则有： AD2 BD2 AB2 AD2 CD2 AC2 coscos0  0 2ADBD 2ADCD 4．定比分点向量法 （1）如图，△ABC 中，若点D在边BC上，满足DC BD，则有：  1 2  1 AD AB AC AD ( AB AC)2. 1 1 1 1 （2）构造三角形用万能辅助角，如图，若点D在边BC上，满足DC BD， AD =m，   则延长AP至D,使DP=lAD，连接CP，易知AB∥CP，且CP=lc，则关于 AP (1+l)AD bc2Rsin来解决求最大值，或者求值问题；由于2R= = ， sin ACP sin BAC (1+l) AD ACP ACP (1+l)AD 根据万能辅助角公式可得：b+lc= 2cos sin q+ £ sinÐBAC 2 2 ÐBAC cos 2 4．等面积法处理角平分线 如图，在△ABC中，AD是角平分线，则一定有： 1 1 1 S =S +S  AB ACsin BAC = AB ADsin BAD+ AC ADsin CAD △ABC △ABD △ACD 2 2 2 题型1 利用正弦定理及三角函数有界性求解 【例1】（2020•浙江）在锐角ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2bsinA 3a0． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）求cosAcosBcosC的取值范围．MST老唐说题26版一轮 tanA tanA 2 【例2】ABC 中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，   ，bcosCccosB1． tanB tanC bc （Ⅰ）求角A及边a； （Ⅱ）求2bc的最大值． 【例3】在ABC 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin2CsinAsinBcos2 Acos2B ． （1）求C ； （2）若ABC 为锐角三角形，且b4，求ABC面积的取值范围． 题型2 利用余弦定理及基本不等式求解 【例1】（2020•新课标Ⅱ）ABC 中，sin2 Asin2Bsin2C sinBsinC ． （1）求A； （2）若BC 3，求ABC 周长的最大值． 【例2】在ABC 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccosCcos(AB)ccsin2CbsinAsinC． （1）求C ； （2）若c4，CD AB于点D，求线段CD长度的最大值．MST老唐说题26版一轮 题型3 两角互补余弦法 【例1】（2021•新高考Ⅰ）记ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知b2 ac，点D在边AC 上，BDsinABC asinC． （1）证明：BDb； （2）若AD 2DC，求cosABC． 题型4 定比分点向量法 【例1】（2023•新高考Ⅱ）记ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知ABC 面积为 3，D 为BC的中点，且AD1．  （1）若ADC  ，求tanB； 3 （2）若b2 c2 8，求b，c． 1 【例2】在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2 b2 accosB bc． 2 （1）求A；   （2）若a6,2BDDC，求线段AD长的最大值．MST老唐说题26版一轮 题型5 换元法求解范围 【例1】在ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若2c2 a2 b2． 1 1 2 （1）证明：   ； tanA tanB tanC a （2）求 的取值范围． b c B 【例2】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinC  cos ,b3． 3 2 （1）求ABC 外接圆的面积； b2 c2 （2）若ABC 为锐角三角形，求 的取值范围． a2