第五节函数的图像和零点综合_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第二章

MST老唐说题26版一轮 第五节 函数图像与零点 考向 1 函数图象的变换 题型1 图像变换的五大模型 1．平移变换： 上加下减，左加右减 关于x： f(x) f(xa) 由 f(x)的图像沿X轴方向平移 关于y： f(x) f(x)a 由 f(x)的图像形沿Y轴方向平移 2．伸缩变换： 1 关于x： f(x) f(ax) 保持纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍 a 关于y： f(x)af(x) 保持横坐标不变，纵坐标变为原来的a倍 3．翻转变换： 关于x： f(x) f(a) 保留Y轴右侧图像，再把Y轴右侧图像翻折到Y轴的左侧 关于y： f(x) f(x) 保留X轴上方图像，再把X轴下方图像翻折到X轴的上方 4．对称变换: 关于x： f(x) f(-x) 由 f(x)的图像作关于Y轴的对称变换得到 关于y： f(x)-f(x) 由 f(x)的图像作关于X轴的对称变换得到 关于原点： f(x)-f(-x) 由 f(x)的图像作关于原点的对称变换得到 5．反函数:y  f 1(x)与 y  f (x)关于直线 y  x对称 【例1】作出下列函数的图象 （1） f(x) lgx ；（2） f(x)lgx ；（3） f(x) lgx1 ； 【例2】函数y f(x)的图象如图所示，那么函数y f(2x)的图象是( ) A． B． C． D．MST老唐说题26版一轮 【例3】设a、b分别是方程2x x20与log xx20的根，则ab ． 2 题型2 图像交点个数问题 【例1】函数y2x与yx2的图象的交点个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】偶函数 f(x)的图象关于x1对称，且当x[0，1]时， f(x)x，则函数y f(x)的图象与 函数ylg|x|的图象的交点个数为( ) A．14 B．16 C．18 D．20 考向 2 函数的方程与零点 题型1 零点存在性定理 一般地，如果函数y f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0，那么 函数y f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得 f(c)0，这个c也就是 f(x)0的根． 相关结论: ①若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点． ②连续不断的函数 f(x)，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号． ③连续不断的函数 f(x)通过零点时，函数值不一定变号． ④连续不断的函数 f(x)在闭区间[a，b]上有零点，不一定能推出 f(a)f(b)0． 【例1】函数 f(x)2x log x的零点所在区间是( ) 2 1 1 A．(0, ) B．( ,1) C．(1,2) D．(2,3) 2 2MST老唐说题26版一轮 【例2】已知单调函数 f(x)满足 f(f(x)ex lnx4)e3，则函数 f(x)的零点所在区间为( ) 1 1 1 1 A．(0, ) B．( , ) C．( ,1) D．(1,e) e2 e2 e e 题型2 数形结合与零点问题 ex ，x0 【例1】（2018•新课标Ⅰ）已知函数 f(x) ，g(x) f(x)xa．若g(x)存在2个零点， lnx，x0 则a的取值范围是（ ） A．[1，0) B．[0，) C．[1，) D．[1，) x2 x1 x 【例2】函数y 与y3sin 1的图象有n个交点，其坐标依次为(x ，y )，(x ，y )，， x 2 1 1 2 2 n (x ，y )，则(x  y ) 4 ． n n i i i1 2 x,0x1,  1 【例3】（2019•天津）已知函数 f(x)1 若关于x的方程 f(x) xa(aR)恰有两个互异的  ,x1 4 x 实数解，则a的取值范围为( ) 5 9 5 9 5 9 5 9 A．[ ， ] B．( ， ] C．( ， ]{1} D．[ ， ]{1} 4 4 4 4 4 4 4 4MST老唐说题26版一轮 题型3 嵌套函数与零点问题 ①先看外层零点，把外层零点一一列出：t ，t ，t ； 1 2 3 ②再在外层函数作直线，yt ，yt ，交点个数即为复合函数零点个数. 1 2 【例1】（多选）定义域和值域均为[a，a]（常数a0）的函数y f(x)和yg(x)的图象如图所示，下列 四个命题中正确的结论是（ ） A．方程 f[g(x)]0有且仅有三个解 B．方程g[f(x)]0有且仅有三个解 C．方程 f[f(x)]0有且仅有九个解 D．方程g[g(x)]0有且仅有一个解 |log x|，x0 【例2】函数 f(x) 2 ，函数g(x)3f2(x)8f(x)4的零点个数是（ ） 2x，x0 A．5 B．4 C．3 D．6 x2 2x4，x0 【例3】已知函数 f(x) ，若函数g(x) f2(x)3f(x)m(mR)有三个零点，则m的取 lnx，x0 值范围为（ ） 9 9 A．m B．m28 C．28m D．m28 4 4 【例4】函数 f(x)   |log 5 (1x)|，x1 ，则 f(x 1 2)a(aR)的实数根个数不可 (x2)2 2，x1 x 能为（ ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个MST老唐说题26版一轮 题型4 零点和积范围问题 b c ①巧用韦达定理，把x x  ，x x  ； 1 2 1 2 a a ②巧用对数运算法则，如 log x m0，一定有x x 1； a 1 2 ③统一变量，构造函数求和积范围． 2x ，x0 【例1】已知函数 f(x) ，若函数g(x) f(x)a恰有三个互不相同的零点x ，x ，x ，则xx x x2 x，x0 1 2 3 1 2 3 的取值范围是（ ） 1 1 1 1 A．( ，0) B．( ，0) C．(0， ) D．(0， ) 32 16 32 16 (x1)2，x0 【例2】已知函数 f(x) ，若方程 f(x)a有四个不同的解x ，x ，x ，x ，且x x x x ， |log x|，x0 1 2 3 4 1 2 3 4 2 1 则x (x x ) 的取值范围是( ) 3 1 2 x2x 3 4 A．(1，1] B．[1，1] C．[1，1) D．(1，1) |ln(x1)|，x1 【例3】【多选】已知函数 f(x) ，则下列结论正确的是( ) x2 4|x|3，x1 A．函数 f(x)在[0，2]上单调递减 B．函数 f(x)的值域是[1，) C．若方程 f(x)a有5个解，则a的取值范围为(0，3) 1 1 D．若函数 f(x)a有3个不同的零点x ，x ，x (x  x  x )，则x   的取值范围为(，3) 1 2 3 1 2 3 1 x x 2 3MST老唐说题26版一轮 拓展思维 拓展1 不动点与稳定点 不动点 对于函数 f(x)(xD)，我们把方程 f(x)x的解x称为函数 f(x)的不动点，即y f(x)与y x图 象交点的横坐标． 1 例如 函数 f(x)2x1有一个不动点为1，函数g(x)2x2 1的不动点．有两个不动点 ，1． 2 稳定点 对于函数 f(x)(xD)，我们把方程 f[f(x)]x的解x称为函数 f(x)的稳定点，即y f[f(x)]与 y x图象交点的横坐标．很显然，若x 为函数y f(x)的不动点，则x 必为函数y f(x)的稳定点． 0 0 证明 因为 f(x ) x ，所以 f(f(x )) f(x ) x ，故x 也是函数y f(x)的稳定点． 0 0 0 0 0 0 【例1】求函数 f(x)2x2 1的稳定点． 【解析】令 f(f(x)) x，则2(2x21)21x2(4x44x21)1x08x48x2x10，因为不动点 1 必为稳定点，所以该方程一定有两解x  ，x 1 8x48x2x1必有因式(x1)(2x1)2x2 x1，可 1 2 2 1 5 1 得(x1)(2x1)(4x2 2x1)0另外两解 x  ，故函数 f(x)2x2 1的稳定点是 ，1， 3，4 4 2 1 5 1 5 1 5 ， ，其中 是稳定点，但不是不动点． 4 4 4 由此可见，不动点是函数图象与直线y x的交点的横坐标，稳定点是函数y f(x)(xD)图象与曲线 x f(y)(yD)图象交点的横坐标（特别，若函数有反函数时，则稳定点是函数图象与其反函数图象交点的 横坐标）． 不动点定理1 若函数 f(x)为定义域内的单调递增函数，则 f(f(x))x有解等价于 f(x)x有解． 证明 若 f(x)x无解，则必有 f(x)x，或 f(x)x恒成立，当 f(x)x时，因为 f(x)为定义域内的单调 增函数，则 f(f(x)) f(x)x，显然 f(f(x))x无解；同理，可证 f(x)x的情况．因此，函数 f(x)为定 义域内的单调增函数， f(f(x))x有解等价于 f(x)x有解． 【例2】（多选）在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它 得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔(L．E．J．Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函 数 f(x)．存在一个点x ，使得 f(x )x ，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函 0 0 0 数的是( ) A． f(x)x2 x3 B． f(x)2x x C． f(x) x 1 D． f(x)2x 2MST老唐说题26版一轮 【例 3】（2013•四川文）设函数 f(x) ex xa (aR ，e 为自然对数的底数)，若存在b[0，1]使 f(f(b))b成立，则a的取值范围是__________． 【例4】已知 f(x)是定义在R上的函数，若方程 f(f(x))x有且仅有一个实数根，则 f(x)可能是（ ） A． f(x)|2x1| B． f(x)ex C． f(x)x2 x1 D． f(x)sinx 拓展2 悬链线——双曲正弦、余弦、正切函数 以下是近年常考的三个常见的双曲函数表达式： 双曲正弦： ，①奇函数；②R上单调递增． − − = ℎ = 2 双曲余弦： ，①偶函数；②(，0)，(0，)． − + = ℎ = 2MST老唐说题26版一轮 双曲正切： ，①奇函数；②R上单调递增． − − − = ℎ = + 由于极具迷惑性的外表，与良好的对称性质，深受各地模考题的偏爱． 【例1】（多选题）意大利画家列奥纳多·达・芬奇的画作《抱银鼠的女子》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与 主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达・芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂， 项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”．后人给出了悬链线的函数解析式： x f xacosh ，其中a为曲线顶点到横坐标轴的距离， coshx称为双曲余弦函数，其函数表达式为 a ex ex ex ex coshx ，相应地，双曲正弦函数的表达式为sinhx ．若直线xm与双曲余弦函数C 双曲 2 2 1 正弦函数C 的图象分别相交于点A，B，曲线C 在点A处的切线l 与曲线C 在点B处的切线l 相交于点P， 2 1 1 2 2 则下列结论正确的为（ ） A．coshxycoshxcoshysinhxsinhy B．ysinhxcoshx是偶函数 C． (coshx)sinhx D．若△PAB 是以A为直角顶点的直角三角形，则实数m0MST老唐说题26版一轮 【例2】=双曲函数是一类与常见三角函数类似的函数，在生活中有着广泛的应用，如悬链桥．常见的有双 ex ex ex ex 曲正弦函数sinhx ，双曲余弦函数coshx ．下列结论不正确的是（ ） 2 2 A．coshx2sinhx2 1 B．coshxycoshxcoshysinhxsinhy C．双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数 π π D．若点P在曲线ysinhx上，α为曲线在点P处切线的倾斜角，则  ,  4 2 【例3】颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；永定河上的卢沟桥，始建于宋代；四川达州的大风高拱桥， 修建于清同治7年，这些桥梁屹立百年而不倒，观察它们的桥梁结构，有一个共同的特点，那就是拱形结 构，这是悬链线在建筑领域的应用.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡 克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种 稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达 exex exex 式为coshx ，相应的双曲正弦函数的表达式为sinhx ．若关于x的不等式 2 2 4mcosh2x4sinh2x10 对任意的x0恒成立，则实数m的取值范围为（ ） 1  1  A．2, B．2, C． , D．  , 4  4 