第五节数列求和_高中三年全科资料_高中_2026年高考《MST高考》一轮复习系列（数学）_第八章

MST老唐说题26版一轮 数列第 5 节 数列前 n 项和 考向一 公式法 n(a a ) n(n1) 1．等差数列求和公式：S  1 n na  d ． n 1 2 2 特别地，当项数n为奇数时，S (2k 1)a ，即前n项和等于项数乘以中间项， 2k1 k1 用此公式可以简化运算． 2．等比数列求和公式： （1）q 1，S na ； n 1   a 1qn a a q （2）q 1，S  1  1 n ，特别要注意对公比的讨论． n 1q 1q 3．常用公式 （1）平方和公式： n k2 12 22 32 n2  1 n(n1)(2n1) 1 n(n 1 )(n1) ； 6 3 2 k1 （2）立方和公式： n k3  13 23 33 Ln3 [ n(n1) ]2 ． 2 k1 4．如果一个数列通过适当分组可写成c =a ±b 的形式，而数列 a ， b 可利用公式求和或可转化为 n n n n n 能够求和的数列，进而分别求和，再将其合并从而得出原数列的和． 【例1】己知等差数列a 中，a 3，公差d 0；等比数列b 中，b a ，b 是a 和a 的等差中项，b n 2 n 3 1 1 2 3 2 是a 和a 的等差中项． 1 2 (1) 求数列a ，b 的通项公式； n n (2)求数列a b 的前n项和S . n n n 1MST老唐说题26版一轮 考向二 奇偶讨论、并项分类 题型一 常规四大：类型： 1.常见模型 ①通项含(1)n或(1)n1或sinn或cosn型； ②a a  f(n) AnB型； n n1 ③a a  f(n) AnB 型； n2 n f(n)，n为奇 ④a  ． n g(n)，n为偶 2．解题策略：①并项求和：将a 与a 并项，把a a 看作一个整体； n n1 n n1 ②分组求和． 3．注意事项： ①奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”． ②如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇．若通项公式确定，则求奇时候，直接代入偶数项 公式，再加上最后的奇数项通项；若通项公式不确定，则按照求偶的方式求奇即可； ③并项后要注意新数列的项数． 【例1】已知b 2n1(nN)，数列b 的前n项和为S ，求数列  (1)nS  的前n项和T . n n n n n 【例2】已知数列a 满足a a 4n3，nN． n n1 n （1）若a 为等差数列，求a ； n 1 （2）若a 2，求S ． 1 n 【例3】数列{a }中，a 1，a 4，a a 2(n3)，S 为数列{a }的前n项和，求S ． n 1 2 n n2 n n n 【例4】记S 为数列{a }的前n项和，若a 1，a 2，且a a 1(1)n1，则S 的值为 ． n n 1 2 n2 n 100 A．5050 B．2600 C．2550 D．2450 2MST老唐说题26版一轮 1 【例5】已知数列a 的前n项和为S 12a ，且a  n n n1 2 4 (1)求数列a 的通项公式； n log a ，n为奇数 (2)b  0.5 n  nN* ，求数列b 的前2n项和T ； n a ，n为偶数 n 2n n 【例6】已知S 为数列{a }的前n项和，且S 2a n2 3n1． n n n n （1）求证：数列{a 2n}为等比数列； n （2）设b a cosn，求数列{b }的前n项和T ． n n n n 题型二 非常规找规律型 1．隔四项出规律的递推数列——形如a (1)na  AnB型 n1 n 定理：若数列 a 满足a (1)na  AnB，S 为其前n项和，则数列 S ,S S ,S S , 是以6A2B n n1 n n 4 8 4 12 8 为首项，8A为公差的等差数列． a a  AB （1） 2 1  证明：a a 2AB （2） （2）（1）（2）（3）得：a a a a 6A2B， 3 2 1 2 3 4  a a 3AB （3） 4 3 a a 5AB （4） 6 5  同理a a 6AB （5） （5）（4）（5）（6）得：a a a a 14A2B． 7 6 5 6 7 8  a 8 a 7 7AB （6） 故数列{S ，S S ，S S ，}是以6A2B为首项，8A为公差的等差数列，此类型题可以求出通项， 4 8 4 12 8 但花的时间太多，显然每4项为一个整体操作更简单．一些数列含有周期性，需要列举几项，先发现规律后 再简化要简单得多． n(n1) 【例1】已知数列{a }满足a a 0，a (1) 2 a 2，则数列{a }的前2020项的和为（ ） n 1 2 n2 n n A．0 B．1010 C．2020 D．2024 3MST老唐说题26版一轮 2．二阶等差数列的求和公式 在数列{a }中，从第二项起，每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列， n 即a a ,a a ,a a ,,a a ,成为一个等差数列，则称数列{a }为二阶等差数列． 2 1 3 2 4 3 n n1 n (n1)(n2)d 记d a a ，d (a a )(a a )，其通项公式为a a (n1)d  2 ； 1 2 1 2 3 2 2 1 n 1 1 2 n(n1)d n(n1)(n2)d 二阶等差数列 a 的前n项和公式为S na  1  2 ． n n 1 2 6 【例2】（2020•新课标Ⅰ文）数列{a }满足a (1)na 3n1，前16项和为540，则a  ． n n2 n 1 考向三 倒序相加法 1．等差数列的前n项和公式即是用此法推导的，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加， 就可以得到n个(a a )． 1 n 2．如果一个数列 a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求其和可以用倒序相加法． n 【例1】求sin21 sin22 sin23 sin288 sin289的值． 3x 【例2】已知函数 f(x)log ． 31x 1 (1)证明函数 f(x)的图像关于点( ,1)对称; 2 1 2 n1 (2)若S  f( ) f( )... f( )(nN ,n2) ，求S ； n n n n  n 4MST老唐说题26版一轮 考向四 分段求和法   求数列 a 的前n项和，关键在于分清哪些项为非负的，哪些项为负的，最终应化为去掉绝对值符号 n 后的数列进行求和． 【例1】（2023•乙卷）记Sn 为等差数列{an}的前n项和，已知a2 ＝11，S10 ＝40． （1）求{an}的通项公式； （2）求数列{|an|}的前n项和Tn ． 考向五 裂项相消法 c 1．适用于分式型{ }， a 是各项不为0的等差数列；部分无理数列． a a n n n1 可用待定系数法对通项公式拆项，把每一项都裂成正负两项，使其正负抵消，只剩下开头和结尾的有限几 项，再求和．相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．这是分解与组合思想（分是为了 更好地合）在数列求和中的具体应用．裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使 之能消去一些项，最终达到求和的目的． k k 1 1 2．裂项原理：  (  )，其中mn． mn nm m n 3．裂项公式 （1）裂差型 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ①   ，  (  )；②  (  )； n(n1) n n1 n(nk) k n nk (2n1)(2n1) 2 2n1 2n1 1 1 1 1  n1 1 1 1  ③     ；④    ； n(n1)(n2) 2n(n1) (n1)(n2) n2(n2)2 4n2  n2 2 2n 1 1 23n 1 1 ⑤   ，   ； (2n 1)(2n11) 2n 1 2n11 (3n 1)(3n11) 3n 1 3n11 qn 1  1q  n  qn qn1 qn  k  1qk  n  qn qnk ⑥a    ；a    ； n n  n1  n n1 n n  nk  n nk ⑦ 1  n1 n， 1  1 ( nk  n)；⑧ln( n1 )ln  n1 lnn； n1 n nk  n k n （3）裂和型 2n  1 1 1 (3n1)2n 2n 2n1 ①(1)n   (1)n(  ) ，(1)n  (1)n(  )， n(n  1) n n  1 n(n1) n n1 4n 1 1 4(n1) 1 1 (1)n (1)n(  ) ，(1)n1 (1)n1(  )， (2n1)(2n1) 2n1 2n1 (2n1)(2n3) 2n1 2n3 5MST老唐说题26版一轮 ②  1 nlnn  n1    1 n ln  n1  lnn  ； （3）先分离，再裂项 (2n)2 1 1 1 4n2 4n1 4n2 14n 1 1 ① 1 (  )；②  1(  )． (2n1)(2n1) 2 2n1 2n1 (2n1)(2n1) 4n2 1 2n1 2n1 （4）阶乘及三角型 n 1 1 sin1 ①   ；② tan(n1) tann； (n1)! n! (n1)! cosncos(n1) 1 1 ③  (tantan)． coscos sin() 题型一 裂差型 【例1】已知数列{a }的前n项和为S ，a  2，a 0，a (S S )2． n n 1 n n1 n1 n （1）求S ； n 1 1 1 （2）求   ． S S S S S S 1 2 2 3 n n1 S 1 【例2】（2022•新高考Ⅰ）记S 为数列{a }的前n项和，已知a 1，{ n}是公差为 的等差数列． n n 1 a 3 n （1）求{a }的通项公式； n 1 1 1 （2）证明：   2． a a a 1 2 n 【例3】已知正项数列a n 的前n项和S n ，满足：S n     a n 2 1   2 ． (1)求数列a 的通项公式； n n1 5 (2)记b  ，设数列b 的前n项和为T ，求证T  ． n S S n n n 16 n n2 6MST老唐说题26版一轮 【例4】已知数列a 的前n项和为S ，且S 2a 1,nN． n n n n (1)求数列a 的通项公式； n n2 (2)若数列b n 满足b n  a n(n1) ,nN，求数列b n 的前n项和T n ． n2 题型二 裂和型 【例5】设数列{a }的前n项和为S ，已知S n2 n． n n n （1）求数列{a }的通项公式； n 2n1 （2）已知数列{b }满足b (1)n1 ，求数列{b }的前2n项和T ． n n a a n 2n n n1 【例6】（2014•山东理）已知等差数列{a }的公差为2，前n项和为S ，且S ，S ，S 成等比数列． n n 1 2 4 4n （1）求数列{a }的通项公式；（2）令b (1)n1 ，求数列{b }的前n项和T ． n n a a n n n n1 题型三 三角型 【例7】数列a 各项均为正数，a 的前n项和记作S ，已知S 1，a2a 2S 0,(n2)． n n n 1 n n n1 (1)求a 的通项公式； n (2)设b tana tana ，求数列b 的前2023项和． n n n1 n 7MST老唐说题26版一轮 考向六 错位相减法 题型一 错位相减法 1．设数列 a 为等差数列，数列 b 为等比数列，则不妨称 a b 为差比数列．教材中给出了这类数列 n n n n 的前n项和的求法——错位相减法，消除 b 中的各项系数差异，转化为等比数列（中间n1项构成一个 n 等比数列）求和问题． 2．错位相减法解题步骤细化 （1）表达前n项和，得S a a a 0 ① n 1 2 n （2）①式乘公比，可得qS 0aqa qa q② n 1 nq n （书写时，尾首加零，并将“＋”号对齐，①与②自动对齐，避免出错） （3）两式相减，①②得 （4）代入等比数列求和公式 a a q ①中间n1项一定是等比数列；②求和公式用S  1 n ，避免项数出错． n 1q （5）化简：有负号给括号，能约分的约分 3．万能公式法 （1）若差比数列  c  的通项公式为c  knb  qn1，则数列  c  的前n项和S   AnB  qn B， n n n n k b A 其中A ，B  ． q1 q1 （2）若差比数列  c  的通项公式为c  knb  qn，则数列  c  的前n项和S   AnB  qn1qB， n n n n k b A 其中A ，B  ． q1 q1 注：在考试书写时可以按照错位相减法的具体步骤进行书写，再结合万能公式对所求结果进行检验，确保 我们最后得到结果就是正确的答案，完美闭环！ 【例1】（2023•甲卷）已知数列{a }中，a 1，设S 为{a }前n项和，2S na ． n 2 n n n n （1）求{a }的通项公式； n a 1 （2）求数列{ n }的前n项和T ． 2n n 8MST老唐说题26版一轮 【例2】已知数列a 的前项和为S ,S 2a 2,nN . n n n n  (1)求数列a 的通项公式. n x y 1 2b 2b 2b (2)设数列b 的前项和为T ,b 1，点T ,T 在直线   上，P  1  2  n ，求P 以及P n n 1 n1 n n1 n 2 n a a a n n 1 2 n 的最小值. 题型二 裂项相消破错位相减法 ①若差比数列  c  的通项公式为c   knb  qn1，利用待定系数法将差比数列通项进行裂项： n n 不妨设c  AnB  qn   A  n1 B  qn1 b b ， n n1 n 则c   AnB  qn   A  n1  B  qn1   q1  An  q1  B A  qn1   knb  qn1， n k b k bA q1 b k 比较系数得，A ，B    ， q1 q1 q1 q1  q1 2 于是T c c c b b b b b b b b ． n 1 2 n 2 1 3 2 n1 n n1 1 ②若差比数列  c  的通项公式为c   knb  qn，不妨设c  AnB  qn1  A  n1 B  qn b b ， n n n n1 n 后面同①中的操作待定系数裂项即可． 【例1】（2022•天津卷）设 a 是等差数列， b 是等比数列，a b a b a b 1． n n 1 1 2 2 3 3 （1）求 a 与 b 的通项公式； n n （2）设 a 的前n项和为S ，求证：(S a )b S b S b ； n n n1 n1 n n1 n1 n n 2n （3）求(a (1)ka )b ． n1 k k k1 9MST老唐说题26版一轮 9 【例2】（2021•浙江卷）已知数列  a  的前n项和为S ，a  ，且4S 3S 9． n n 1 4 n1 n   （1）求数列 a 的通项； n （2）设数列  b  满足3b (n4)a 0(nN*)，记  b  的前n项和为T ，若T b 对任意nN恒 n n n n n n n 成立，求实数的取值范围． 考向七 放缩求和法 1．命题规律：数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温， 难度趋减，将稳定在中等偏难程度．此类问题往往从通项公式入手，若需要放缩也是考虑对通项公式进行 变形；在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向可裂项相消的数列与等 比数列进行靠拢． 2．核心考点：①裂项放缩核心；②等比放缩． 3．常见放缩公式： 1 1 1 1 （1）    n2； n2 n1n n1 n 1 4 4  1 1  （2）   2   ； n2 4n2 4n2 1 2n1 2n1 1 1 1 1 （3）    ； n2 nn1 n n1 n  1 1 1 1 （5） 1  11   3；  n 12 23 n1n （6） 1  2  2  2   n1 n n 2； n n  n n1 n 1 2 2   （7）    2  n n1 ； n n  n n  n1 1 2 2 2 2   （8）     2  2n1 2n1 ； n n  n 1 1 2n1 2n1 n  n 2 2 2n 2n 2n 2n1 1 1 （9）      n2；  2n 1 2  2n 1  2n 1   2n 1  2n 2   2n 1  2n11  2n11 2n 1 10MST老唐说题26版一轮 1 1 1 n1  n1 1 （10）     n3 nn2 n1nn1 n1nn1 n1 n1   1 1 1  1 1  n1 n1    2    n1n nn1 n1 n1  n1 n1 2 n    1 1  2   n2；  n1 n1 1 2 2 2 （11）    n3 n2 n  nn2 n n1n1 n n1n  n n1    2 n1 n 2 2    n2； n1n n1 n 1 1 1 2 2 2 （12）      ； 2n 1 11n 1 C0C1C21 nn1 n n1 n n n 1 2n1 1 1 （13）    n2． 2n 1  2n11  2n 1  2n11 2n 1 2 1 2 （14）2( n1 n)   2( n n1)． n1 n n n n1 （15）二项式定理 ①由于2n 1(11)n 1  C0 C1 Cn 1C1 C2  n(n1) (n3)， n n n n n 2 1 2 1 1  于是  2  (n3)． 2n 1 n(n1) n n1 ②2n 2n1(n3)，2n (11)n C0 C1 Cn1Cn C0 2C1 2n1； n n n n n n 2n n2 n2(n5)，2n (11)n C0 C1 C2 Cn2 Cn1Cn 2C0 2C1 2C2 n2 n2． n n n n n n n n n （16）糖水不等式 a m a a m a 若b a 0,m 0，则  ；若b a m  0，则  ． bm b bm b 题型一 放缩成裂项 对于放缩后，再裂项相消求和类型，通过放缩后的裂项公式的首项或前几项的和即可判断放缩的精度 是否满足题设要求，常见的题目无非是从第一项开始放缩、从第二项开始放缩或者从第三项开始放缩这三 1 1 1 1 1 种．比如：    (n1)，从第二项开始放缩，放缩的精度为s 1 2；保留前两项， n2 n(n1) n1 n n 21 1 1 7 从第三项开始放缩，放缩的精度为S 1   ． n 22 31 4 11MST老唐说题26版一轮 S 1 【例1】记S 为数列a 的前n项和，已知 n 是首项为3，公差为1的等差数列． n n  n  (1)求a 的通项公式； n 1 1 1 a 1 1 (2)证明：当n2时，    n  ． S S S a 1 2 2 3 n n 2S 1 2 【例2】（2013•广东理19）设数列{a }的前n项和为S ．已知a 1， n a  n2 n ，nN*． n n 1 n n1 3 3 （1）求a 的值； 2 （2）求数列{a }的通项公式； n 1 1 1 7 （3）证明：对一切正整数n，有    ． a a a 4 1 2 n 【例3】（2019•浙江）设等差数列{a }的前n项和为S ，a 4，a S ，数列{b }满足： n n 3 4 3 n 对任意nN，S b ，S b ，S b 成等比数列． n n n1 n n2 n （1）求数列{a },{b }的通项公式； n n a （2）记C  n ,nN，证明：C C +C 2 n，nN． n 2b 1 2 n n 12MST老唐说题26版一轮 题型二 放缩成等比 【例1】（2012•广东理）设数列{a }的前n项和为S ，满足2S a 2n11（nN ），且a ，a 5， n n n n1 1 2 a 成等差数列． 3 （1）求a 的值； 1 （2）求数列{a }的通项公式． n 1 1 1 3 （3）证明：对一切正整数n，有    ． a a a 2 1 2 n 【例2】已知数列a 满足3n1a 3n2a ...3a a 4n，nN*． n 1 2 n1 n (1)求数列a 的通项公式； n 1 1 1 7 (2)若b a 1，证明：  ...  ． n n b b b 9 1 2 n 13