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8.7 指数运算及指数函数（精练）（基础版）
题组一 指数的运算
1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算 ；
（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）-5；（2）14.
【解析】（1） 0.3﹣1﹣36+33+1 36+27+1 5．
（2）若 ，∴x 2＝6，x 4，∴x2+x﹣2+2＝16，∴x2+x﹣2＝14．
2．（2022·全国·高三专题练习）化简下列各式：
（1） － －π0；
（2）
【答案】（1）0；（2） .
【解析】（1）原式＝ .
（2） ＝ .
3．（2022·全国·高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)．
（1） ；（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
【解析】（1）原式
；
（2）原式 ；
（3）原式
；
（4）原式 .
4（2022·全国·高三专题练习）（1）计算： ；
（2）化简： .【答案】（1）3；（2） .
【解析】（1）原式 ；
（2）原式 .
5．（2022·全国·高三专题练习）分别计算下列数值：
（1） ；
（2）已知 ， ，求 .
【答案】（1） ；（2）-12.
【解析】（1）原式 ， ， ，
（2）∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
题组二 指数函数的三要素1．（2022张家口 ）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 故答案为：C．
2．（2022湖南）若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不等式 恒成立，即 ，即 恒
成立，即 恒成立，所以 ，解得 ，所以实数
的取值范围是 ， 故答案为：B.
3．（2022嫩江月考）（多选）函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】ACD
【解析】由指数函数的定义得a2-4a+4=1且a≠1，解得a=3.故答案为：ACD.
{x2−2，x<−1
4．（2022长春月考）已知函数
f(x)=
，则函数 的值域为( )
2x−1，x≥−1
A． B． C． D．【答案】B
【解析】当x<-1时，f(x)=x2-2>-1， 当x≥-1时， ， 综上可得函数 的值域
为 . 故答案为：B【分析】根据分段函数，结合二次函数与指数函数的值域求解即可.
5．（2021·全国乙卷）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A：因为y=(x+1)2+3,则y =3; 故A不符合题意；
min
对于B：因为 ，设t=|sinx|( ),则y=g(t)= 由双沟函数知，
函数y＝g(t)= 是减函数，所以y g(1)=5，所以B选项不符合；
min=
对于C：因为 当且仅当 时“＝”成立，
即 =4，故C选项正确；
ymin
对于D：当 时， <0，故D选项不符合，
故答案为：C.
6．（2022·北京市第二十二中学高三开学考试）下列函数中，定义域与值域均为R的是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】A. 函数 的定义域为 ，值域为R；
B. 函数 的定义域为R，值域为 ；
C. 函数 的定义域为R，值域为R；
D. 函数 的定义域为 ，值域为 ，故选：C
7．（2022·江苏·矿大附中高三阶段练习）（多选）函数 的定义域为 ，值域为 ，
下列结论中一定成立的结论的序号是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由于 ，
， ， ， ，
即函数 的定义域为
当函数的最小值为1时，仅有 满足，所以 ，故D正确；
当函数的最大值为2时，仅有 满足，所以 ，故C正确；
即当 时，函数的值域为 ，故 ，故 不一定正确，故A正确，B错误；
故选：ACD
6．（2022奉贤期中）指数函数 的图像经过点 ，则该指数函数的表达式为
．
【答案】
【解析】指数函数 且 的图象经过点 ， 所以 ，解得 ，
所以该指数函数的表达式为 ．故答案为： ．7．（2022定远月考）已知 ，且 ，若函数 在区间 上的最大值
为10，则 .
【答案】 或
【解析】（1）若 ，则函数 在区间 上是递增的，
当 时， 取得最大值 ，即 ，
又 ，∴ .（2）若 ，则函数 在区间 上是递减的，
当 时， 取得最大值 ，
所以 .
综上所述， 的值为 或 .
故答案为： 或
题组三 指数函数的性质
1．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）若命题“ ”为真命题，则实数 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 ，
显然 在 上单调递增，所以 ，即实数 的取值范围为 .
故选：D
2．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习）已知 ，则 的大小关系为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令 ,则 .
因为 在 上单调递减， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减.
而
所以在 上有 .
所以 在 上单调递减.
所以 ，即
故 .故 .
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【答案】C
【解析】函数 是定义域R上的单调减函数，且 ，则 ，即 ，
又函数 在 上单调递增，且 ，于是得 ，即 ，
所以a、b、c的大小关系为 ．故选：C
4．（2023·全国·高三专题练习）三个数a＝0.42，b＝log 0.3，c＝20.6之间的大小关系是（ ）
2
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【答案】C
【解析】∵0＜0.42＜0.40＝1，∴0＜a＜1，
∵log 0.3＜log 1＝0，∴b＜0，
2 2
∵20.6＞20＝1，∴c＞1，
∴b＜a＜c，
故选：C．
5．（2022·山东·枣庄市第三中学高三开学考试）已知函数 ，若存在非零实数 ，使得
成立，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】因为存在非零实数 ，使得 成立，
所以 有解，
化简 有解，即 有解.
因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，
因为 ，所以 ， ，
所以 .
故答案为：
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若方程 有解，则实数
的取值范围是_________．
【答案】【解析】由题意得： 有解
令
有解，即 有解，显然 无意义
,当且仅当 ，即 时取等，
故答案为： .
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 ，使得
，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】当 时， ，
∴当 时， ，
当 时， 为增函数，
所以 时， 取得最大值 ，
∵对 ，使得 ，
∴ ，
∴ ，解得 .
故答案为： .8．（2022遂宁期末）已知方程 有两个不相等实根，则 的取值
范围为 ．
【答案】
【解析】令 ，因为 ，所以 ，方程 ，即
，因为 有两个不相等实根，所以方
程 在 由两个不相等的实数根，令 ，则
在 时有两个零点，
2k+3
{ >1
2
所以 ，解得 ，
Δ=[−(2k+3)] 2−4×4>0
f(1)=1−(2k+3)+4>0
故答案为：
9（2022河北）．设函数f（x）=x（ex+ae﹣x），x∈R，是偶函数，则实数a= ．
【答案】-1
【解析】∵函数f（x）=x（ex+ae﹣x），x∈R是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即（﹣x）•（e﹣x+aex）=x
（ex+ae﹣x）， 整理，得（a+1）•x•（1+e2x）=0．
∵x∈R，1+e2x＞0，∴a+1=0，故a=﹣1．故答案为﹣1．
10．（2022云南）要使函数y=1+2x+a•4x在（x∈（﹣∞，1]）有y＞0恒成立，则实数a的取值范围是
．
【答案】（ ．，+∞）
【解析】设t=2x，因为x∈（﹣∞，1]，所以0＜t≤2．则原函数等价为y=1+t+at2，要使y＞0恒成立，即y=1+t+at2＞0，所以 ．
设 ，则 ，因为0＜t≤2，所以 ，
所以 ，所以a＞ ．
故答案为：（ ．，+∞）．
题组四 指数函数的综合运用
1．（2022泗县开学考）已知函数 的定义域为 .
（1）求 ；
（2）当 时，求 的最小值.
【答案】见解析
【解析】（1）解：∵由题可得 可解得 .
（2）∴ ，
又 ， ，∴ .
①若 ，即 时， ，
②若 ，即 时，所以当 ，即 时， .
3 3
{ 2a+ (a≥− )
4 4
∴f(x) = .
min 4 3
− a2 (−30 ，解得 .
m2+m+1=1
（2）解：由（1）知 ， ，
存在 ，使得 ，等价于当 时，
，
又 ，所以 ，
，
所以 ，解得： ，
所以
3．（2022浙江期中）已知函数 .
（1）若 在 是增函数，求实数 的取值范围；（2）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】见解析
【解析】（1） ，令 ，则 ，由 可得
，
由条件可知 在 是增函数.
当 时，结论显然成立；当 时，则 ，∴ .
综上， 的取值范围为 .
（2）由 可得 ，因为 ，所以 ，
所以 ，令 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，∴ ，
所以 的范围是 .
4．（2022泰州月考）已知函数
（1）当 时，求满足 的 的取值：
（2）若函数 是定义在 上的奇函数
①存在 ，不等式 有解，求 的取值范围；②若函数 满足 ，若对任意 ，不等式
恒成立，求实数 的最大值.
【答案】见解析
【解析】（1）解：由题意， ，化简得 解得 （舍）或
，
所以
（2）解：因为 是奇函数，所以 ，所以 化简并变
形得： 要使上式对任意 的成立，则 或
解得： 或 ，因为 的定义域是 ，所以 舍去所以
，所以
①
对任意 ， 有： 因为
，所以 ，所以因此 在 上递减
因为 ，所以 即 在 时有解，所以
，解得
所以 的取值范围为
②因为 ，所以
即 所以 不等式 恒成立，
即 即 恒成立，令 ， ，
则 在 时恒成立令 ， 时， ，所以
在 上单调递减 时， ，所以 在 上单调递增所以
，所以
所以，实数 的最大值是6．
