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9.2 椭圆（精练）
1．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知离心率为 的椭圆 的方程为 ，则
（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【解析】由题意， ，即 ，
可得 ，则 .
故选：C
2．（2022秋·四川绵阳·高三盐亭中学校考阶段练习）椭圆 的左、右焦点分别为
，焦距为 ，若直线 与椭圆 的一个交点为 在 轴上方，满足 ，
则该椭圆的 离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由直线 可知：过定点 ，斜率 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，解得 ，
又因为 ，可得 ，
结合椭圆的定义可得 ，整理得 .
故选：A.
3．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知椭圆 四个顶点构成的四边形的
面积为 ，直线 与椭圆C交于A，B两点，且线段 的中点为 ，则椭圆C的方
程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 ， ，则 ， ，两式作差并化简整理得
，因为线段AB的中点为 ，所以 ， ，
所以 ，由 ，得 ，又因为 ，解得 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以椭圆C的方程为 ．
故选：A．
4．（2023·全国·高三专题练习）椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，若存在直线 与椭
圆交于不同两点 ， 重心为 ，直线 的斜率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设椭圆 的半焦距为 ，
由已知 ， ，
设 ，
因为 重心为 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
所以直线 的斜率 ，
当且仅当 时等号成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，
所以直线 的斜率取值范围是 ，
故选：B.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的上顶点为B，斜率为 的直线l交椭圆于
M，N两点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ， 的中点为 ，
因为 都在椭圆 上，
所以 ，作差可得 ，
即 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，因为 ，所以 ，
又因为 为 BMN的重心，所以 ，
△
所以 ，则 ，
所以 ，整理得 ，即 ，
所以 ，则 ，
所以离心率 .
故选: A.
6．（2023·贵州贵阳·校联考三模）已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 两点，
分别为椭圆的左､右两个焦点，直线 与椭圆交于另一个点 ，则直线 与 的斜率乘积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 直线 过原点， 可设 ，则 ，
；
， ， ， .
故选：B.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7．（2023·全国·高二专题练习）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条
互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：
的离心率为 ，则椭圆C的蒙日圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为椭圆 ： 的离心率为 ，则 ，解得 ，即椭圆 的方程为
，
于是椭圆的上顶点 ，右顶点 ，经过 两点的椭圆切线方程分别为 ， ，
则两条切线的交点坐标为 ，显然这两条切线互相垂直，因此点 在椭圆 的蒙日圆上，
圆心为椭圆 的中心O，椭圆 的蒙日圆半径 ，
所以椭圆 的蒙日圆方程为 .
故选：B
8．（2023春·内蒙古赤峰）在椭圆 上求一点 ，使点 到直线 的距离最大时，
点 的坐标为（ ）
A． B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】B
【解析】如下图所示：
根据题意可知，当点 在第三象限且椭圆在点 处的切线与直线 平行时，
点 到直线 的距离取得最大值，可设切线方程为 ，
联立 ，消去 整理可得 ，
，因为 ，解得 ，
所以，椭圆 在点 处的切线方程为 ，
因此，点 到直线 的距离的最大值为 ,
联立 ，
可得点 的坐标为 .
故选：B.
9．（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）（多选）已知点 为椭圆C： 的左焦点，
点P为C上的任意一点，点 的坐标为 ，则下列正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． 的最小值为
B． 的最大值为7
C． 的最小值为
D． 的最大值为1
【答案】ABD
【解析】依题意， ，所以 ，
的最小值，即是 的长，当点 在 位置时取到，
所以 的最小值为 ，故A正确；
设椭圆的右焦点为 ，所以 ，
则当点 在 位置时取到最大值，
所以 的最大值为 ，故B正确；
的最小值当 在 位置时取到，
即 的最小值为 ，故C错误；
由 ，
则当点 在 位置时取到最大值，
所以 的最大值为 ，故D正确.
故选:ABD
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】10．（2023·广东·校联考模拟预测）（多选）已知椭圆 的焦点在 轴上，且 分别为椭
圆 的左、右焦点， 为椭圆 上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B． 的离心率为
C．存在 ，使得
D． 面积的最大值为
【答案】ACD
【解析】A选项，椭圆 的焦点在 轴上，故 ，解得 ，A正确；
B选项，设 ，则 ，
故 的离心率为 ，B错误；
C选项，以 为直径的圆的方程为 ，与椭圆 联立得， ，
整理得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 ，
当 时， ，故 ，满足要求，
故存在 ，使得 ，C正确；
D选项，因为 ，故当 点位于上顶点或下顶点时， 面积取得最大值，
故最大面积为 ，
因为 ，所以当 时， 面积取得最大值，最大值为 ，D正确.
故选：ACD
11．（2023秋·贵州铜仁·高三贵州省思南中学校考阶段练习）（多选）已知方程 表示的曲线
为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当 时，曲线C是椭圆 B．当 或 时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则
【答案】BCD
【解析】对于A，当 时， ，则曲线 是圆，A错误；
对于B，当 或 时， ，曲线 是双曲线，B正确；
对于C，若曲线 是焦点在 轴上的椭圆，则 ，解得 ，C正确；
对于D，若曲线 是焦点在 轴上的双曲线，则 ，解得 ，D正确．
故选：BCD
12．（2023秋·课时练习）（多选）以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是 ，且过点 的椭圆的标准方
程是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】椭圆的焦点在 轴上，则 ，得 ，此时椭圆方程是 ；
若焦点在 轴上，则 ，则 ，此时椭圆方程是 ．
故选：AB
13．（2023秋·重庆）（多选）已知圆 与圆 的一个
交点为M，动点M的轨迹是曲线C，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线C的方程式
B．曲线C的方程式
C．过点 且垂直于x轴的直线与曲线C相交所得弦长为
D．曲线C上的点到直线 的最短距离为
【答案】BCD
【解析】对A,B，由题意知, ,所以 ,
所以点 的轨迹是焦点在 轴上的椭圆，且 , ,即 ,
所以 ,所以曲线 的方程为 ,故A错误，B正确；
对C，过点 ,且垂直于 轴的直线为 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】它与曲线 相交于两点 ,
所以弦长为 ,故C正确；
对D，设与直线 平行的直线 ， ，
由 ，得 ，
令 ，解得 ，此时直线与椭圆相切，
易得 ，此时切点到直线 的距离距离最短，直线 的方程为 ，
此时两平行线的距离为 ，
故曲线 上的点到直线 的最短距离为 ，故D正确.
故选：BCD.
14．（2022秋·福建漳州）（多选）以下四个命题表述正确的是（ ）
A．椭圆 上的点到直线 的最大距离为
B．已知圆C： ，点P为直线 上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，AB为切
点，直线AB经过定点
C．曲线 ： 与曲线 ： 恰有三条公切线，则m＝4
D．圆 上存在4个点到直线l： 的距离都等于1
【答案】ABC
【解析】对于A:设直线 与椭圆 相切，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立方程 得： ，
因为直线与椭圆相切，所以 ，得
当 时，直线 与 距离最大，最大距离为
故A正确.
对于B:设点 ，因为AB为切点，所以 ， ，连接 ，根据圆周角与圆直径关系可
知，AB两点在以 为直径的圆上，圆的方程为 ，两圆公共弦AB所在直线方程为
，
联立方程 得 ，令 ，则
故B正确.
对于C: 曲线 ： ，曲线 : ，因为两圆有三条公切线，所以两圆
外切，故 ，得
故C正确.
对于D:直线 与圆 相切，且 与 距离为1，因此圆
上存在3个点到直线l： 的距离都等于1
故D错误.
故选:ABC
15．（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知点F是椭圆 的右焦点，点P
在椭圆上， 且 的最小值为3，则椭圆C的离心率是 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【解析】由 ，则 在椭圆内，若 是椭圆左焦点，
所以 ，
仅当 共线且 在 之间时取等号，故 ，即 ，
而 且 ，则 ，故 ，
此时 ，故 .
故答案为：
16．（2023秋·四川达州·高三校考开学考试）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，M为
椭圆C上任意一点，N为圆E： 上任意一点，则 的最小值为 .
【答案】 /
【解析】由题意椭圆C： ，M为椭圆C上任意一，
N为圆E： 上任意一点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，当且仅当 共线时等号成立，
故
，
当且仅当 共线时等号成立，
而 ，故 ，
即 的最小值为 ，
故答案为：
17．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知椭圆 的上、下焦点分别
为 、 ，焦距为 ，与坐标轴不垂直的直线 过 且与椭圆 交于 、 两点，点 为线段 的中
点，若 ，则椭圆 的离心率为 ．
【答案】 /
【解析】因为点 为线段 的中点， ，则 ，
所以， 为等腰直角三角形，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ，则 ，
由椭圆的定义可得 ，
所以， ，
所以， ，
由勾股定理可得 ，即 ，
整理可得 ，因此，该椭圆的离心率为 .
故答案为： .
18．（2023·江西鹰潭·统考一模） ， 是椭圆E： 的左，右焦点，点M为椭圆E上
一点，点N在x轴上，满足 ， ，则椭圆E的离心率为 .
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，则 是 的角平分线，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
又因为 ，
所以 ，设 ，
由椭圆定义得 ，
即 ，解得 ，
则 ，
则 ，
所以 ，则 ，
故答案为：
19．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一二二中学校校考开学考试）已知椭圆
的离心率为 ，则椭圆的短轴长为 ．
【答案】2
【解析】题意可得 ，所以离心率 ，
故 ，故短轴长为 ，
故答案为：2
20．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知 ， 是椭圆 （ ）的
左右焦点， 是其右顶点，过点 作直线 轴交椭圆于 ， 两点，若 ，则椭圆的离心率
是 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【解析】因为 轴，不妨设 ， ，
又 ， ，由 得： ，
即 ，故 ．
故答案为： .
21．（2024秋·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）直线 与圆 和椭圆
同时相切，请写出一条符合条件的 的方程
【答案】 或 或 （只需写一条）
【解析】圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，椭圆 中， ，它们的图象如下图：
由图可知， 或 与圆 和椭圆 同时相切，
即符合条件的 的方程可以为 或
假设公切线斜率存在且不为零时方程为 ，由图可知
所以 ①
由 得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 得 ②
由①②解得
故答案为： 或 或 （只需写一条）
22（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知 为坐标原点，双曲线 ： （ ， ）的左，
右焦点分别为 ， ，过左焦点 作斜率为 的直线 与双曲线交于 ， 两点（ 在第一象限）， 是
的中点，若 是等边三角形，则直线 的斜率为 ．
【答案】
【解析】
设双曲线 的半焦距为 ， ，根据题意得 ．
又 ，∴ ．
在 中，由余弦定理得， ，
即 ，解得 ，则 ．
设 ， ，则 ， ，
两式相减可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ．
设 ，因为 是线段 的中点，所以 ， ，
又 ，所以 ．
故答案为： .
23．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆 的右顶点为A，上顶点为B，则椭圆上的一动点M
到直线AB距离的最大值为 ．
【答案】
【解析】由椭圆 ，可得 ，
故直线AB的方程为 ，与AB平行且与椭圆相切的直线可设为 ，
代入椭圆方程整理，得 ，
则 ，解得 ，
当 时， 与 之间的距离为 ；
当 时， 与 间的距离为 ，
故椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为 ，
故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】24．（2022·高二课时练习）曲线 上点到直线 距离的最小值为 ．
【答案】 /
【解析】令 与 相切，联立整理可得 ，
所以 ，可得 ，
当 ，此时与 的距离 ，
当 ，此时与 的距离 ，
所以曲线到直线距离的最小值为 .
故答案为：
25．（2022秋·安徽芜湖·高二安徽师范大学附属中学校考期中）已知椭圆C： （ ）与
x轴分别交于 、 点，N在椭圆上，直线 ， 的斜率之积是 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求点N到直线l： 的最大距离．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意，设 ，则 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为直线 ， 的斜率之积是 ，所以 ．
整理得椭圆方程为 ；
（2）由（1）中结论可得，椭圆方程为 ，
设直线 ，则当点N既在椭圆C上又在直线 上时，此时点Ｎ到直线l有最大距离，
设直线 ： ，联立方程
，得 ，则 ，
解得 或 ，
因为要求点到直线l的最大距离，所以直线 为 ，
故最大距离为 ．
1．（2023秋·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）已知椭圆C： （ ）的左焦点为
，过左焦点 作倾斜角为 的直线交椭圆于A，B两点，且 ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】设 ， ， ，过点 所作直线的倾斜角为 ，所以该直线斜率为 ，
所以直线方程可写为 ，联立方程 ，
可得 ， ，
根据韦达定理： ， ，
因为 ，即 ，所以 ，
所以 ，
即 ，所以 ，联立 ，
可得 ， .
故选：C
2．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）A，B是椭圆 上两点，线段AB的中点在
直线 上，则直线AB与y轴的交点的纵坐标的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，直线AB的斜率必然存在，设直线AB的方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则直线AB与y轴的交点的纵坐标为m，设点 ， ，
将直线AB的方程与椭圆方程联立并化简得 ，
，
化简得 ，即 .
由韦达定理可得 ，所以 ，
将等式两边平方得 ，所以 .
当且仅当 时，等号成立，由于 ，解得 或 .
因此，直线AB与y轴的交点的纵坐标的取值范围是 .
故选：A
3．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆 ，离心率为 ，过 的直线分别与 相切于
， 两点，则直线 方程为（ ）
A． 或 B．
C． D． 或
【答案】A
【解析】首先证明椭圆 上一点 处的切线方程为： ，
①当切线斜率存在时, 设过点 的切线方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立方程 ，得 ，
，即 ，
，
又 ，
把 代入 中，得 ，
，
化简得 .
②当切线斜率不存在时，过 的切线方程为 ，满足上式.
综上，椭圆上一点 的切线方程为： .
再证明若点 是椭圆 外一点，过点 作椭圆的两条切线，
切点分别为 ， ，则切点弦 的方程为 ．
这是因为在 ， 两点处，椭圆 的切线方程为 和 ．
两切线都过 点，所以得到了 和 ，
由这两个“同构方程”得到了直线 的方程 ；
因为椭圆 ，离心率为 ，
若焦点在 轴，则 ， ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以椭圆 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以过 作椭圆 的两条切线方程，
切点弦方程 为 ；
若焦点在 轴，则 ， ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以椭圆 ，
所以过 作椭圆 的两条切线方程，
切点弦方程 为 ，即 ；
综上可得直线 方程为 或 .
故选：A
4．（2023·全国·高二专题练习）若直线l： 与曲线C： 有两个公共点，则实数m的
取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当 时，曲线C的方程为 ，轨迹为椭圆 的右半部分；
当 时，曲线C的方程为 ，轨迹为双曲线 的左半部分，其渐近线为 ，
作出图象如下图，直线l（图中虚线）是与直线 平行的直线，平行移动直线 ，可得直线
l，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】如图可知，当直线l介于直线 和 （ 与l平行且与椭圆相切，切点在第一象限）之间时，直线l
与曲线C有两个公共点．
设 的方程为 ， ，则有 ，
联立 ，消去x并整理得 ，
由 ，解得 或 （舍），
故m的取值范围为 ．
故选：B．
5．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）（多选）已知 是圆 上不同
的两点，椭圆 的右顶点和上顶点分别为 ，直线 分别是圆 的两
条切线， 为椭圆 的离心率.下列选项正确的有（ ）
A．直线 与椭圆 相交
B．直线 与圆 相交
C．若椭圆 的焦距为 两直线的斜率之积为 ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D．若 两直线的斜率之积为 ，则
【答案】BCD
【解析】对于A中，当 时，点 的坐标可以为 ，
可得直线 为 ，即 ，
由 ，整理得 ，此时 ，
所以直线 与椭圆 无交点，所以A错误；
对于B中，因为 ，所以 ，设原点到直线 的距离为 ，
由点到直线的距离公式，可得 ，
所以直线 与圆 相交，所以B正确；
对于C中，椭圆 的焦距为 ，可得 ，即 ，
不妨设 ，则直线 ，
由原点到直线 的距离等于1，可得 ，解得 ，
同理可得 ，因为 ，即 ，
解得 ，又由 ，解得 ，
所以离心率 ，所以C正确；
对于D中，不妨设 ，则 , ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，解得 ，
所以 ，
因为 ，可得 ，所以 ，所以D正确.
故选：BCD.
6．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）（多选）在平面直角坐标系 中，由直线 上任一点
向椭圆 作切线，切点分别为 、 ，点 在 轴的上方，则（ ）
A．当点 的坐标为 时，
B．当点 的坐标为 时，直线 的斜率为
C．存在点 ，使得 为钝角
D．存在点 ，使得
【答案】AD
【解析】设点 、 ，先证明出椭圆 在其上一点 处的切线方程为 ，
由题意可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立 可得 ，即 ，
即方程组 只有唯一解，
因此，椭圆 在其上一点 处的切线方程为 ，
同理可知，椭圆 在其上一点 处的切线方程为 ，
因为点 为直线 上一点，设点 ，
则有 ，即 ，
所以，点 、 的坐标满足方程 ，
所以，直线 的方程为 ，
对于A选项，当点 的坐标为 ，即 ，此时直线 的方程为 ，
由 可得 ，即点 ，此时 ，A对；
对于B选项，当 的坐标为 时，即 时，此时，直线 的斜率为 ，B错；
对于C选项，联立 可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，由韦达定理可得 ， ，
，同理 ，
所以，
，
因此， 恒为锐角，C错；
对于D选项，若点 为椭圆的上顶点，则 轴，此时 ，
所以，点 不是椭圆的上顶点，线段 的中点为 ，
所以， ， ，
存在点 ，使得 ，则 ，则 ，
化简可得 ，因为 ， ，
所以， ，即 ，
因为 ，解得 ，
因此，存在点 ，使得 ，D对.
故选：AD.
7．（2023·重庆·统考模拟预测）（多选）在平面直角坐标系 中，由直线 上任一点P向椭圆
作切线，切点分别为A，B，点A在x轴的上方，则（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． 恒为锐角 B．当 垂直于x轴时，直线 的斜率为
C． 的最小值为4 D．存在点P，使得
【答案】ABD
【解析】对于A项，设切线方程为
联立 得： ，
∵直线与椭圆相切，故 则 ，
∴切线PA的方程为 ，同理切线PB的方程为
而P点在 上，故 ，
又 满足该方程组，故 ，
显然 过定点 即椭圆左焦点.
以 为直径的圆半径最大无限接近 ，但该圆与 一直相离，即 始终为锐角，A正确；
对于B项，由A得 ， 轴时， ，易得 ， ，
故B正确；
对于C项，由B知 轴时， 此时 ，故C错误；
对于D项，取 中点 ，若 则 ，
即 为等腰三角形， ，
化简得 ，由A知： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】整理得： ，显然存在P满足题意，故D正确；
故选：ABD
8．（2024秋·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）已知椭圆 的两焦点分别
为 ，A是椭圆 上一点，当 时， 的面积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为 ，过 作垂直 轴的直线
在第二象限交椭圆 于点S，过S作椭圆 的切线 ， 的斜率为 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意得 ，
由椭圆定义可得 ，又 ，
由余弦定理可得：
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，又 ，解得 ，
所以 ，故椭圆 的方程为 .
（2）直线 ，设 ，
联立 与 得 ，所以 ，
恒成立，
所以 ，
故 ，
设直线 为 ， ，
联立 ，所以 ，
由 可得 ，
所以 ，则 ，所以得 ，所以 ，
则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由于函数 在 上为减函数，所以函数 在 上为增函数，
所以函数 在 上为减函数，所以 ，
所以 .
9．（2024秋·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）已知椭圆 的上顶点到右
顶点的距离为 ，点 在 上，且点 到右焦点距离的最大值为3，过点 且不与 轴垂直的直线
与 交于 两点.
(1)求 的方程；
(2)记 为坐标原点，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意得， ，解得 ，故 的方程为 .
（2）设 ，直线 ，
联立 ，整理得： .
由 得 ，且 ，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】点 到直线 的距离 ，
，
令 ，故 ，故 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故 面积的最大值为 .
10．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆 的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点
M的坐标为 ．
(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．
【答案】(1) 或 ．
(2)证明见解析
【解析】（1）由已知得 ，直线l的方程为x＝1．
l的方程与C的方程联立可得 或 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴直线AM的方程为 或 ．
（2）证明：证法一（【通性通法】分类＋常规联立）
当 与 轴重合时， ．
当 与 轴垂直时， 为 的垂直平分线，∴ ．
当 与 轴不重合也不垂直时，设 的方程为 ， ，
则 ，直线 、 的斜率之和为 ．
由 得 ．
将 代入 得 ．
∴ ．
则 ．
从而 ，故 、 的倾斜角互补，∴ ．
综上， ．
证法二（角平分线定义的应用）：当直线l与x轴重合或垂直时，显然有 ．
当直线l与x轴不垂直也不重合时，设直线l的方程为 ，交椭圆于 ， ．
由 得 ．
由韦达定理得 ．
点A关于x轴的对称点 ，则直线 的方程为 ．
令 ， ，则直线 过点
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】M， ．
证法三（直线参数方程的应用）：
设直线l的参数方程为 （t为参数）．（*）
将（*）式代入椭圆方程 中，整理得 ．
则 ， ．
又 ，则
，
即 ．∴ ．
证法四（【最优解】椭圆第二定义的应用）：当直线l与x轴重合时， ．
当直线l与x轴不重合时，如图6，过点A，B分别作准线 的垂线，垂足分别为C，D，则有
轴．
由椭圆的第二定义，有 ， ，得 ，即 ．
由 轴，有 ，即 ，于是 ，且 ．
可得 ，即有 ．
证法五（角平分线定理逆定理＋极坐标方程的应用）：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】椭圆 以右焦点为极点，x轴正方向为极轴，得 ．
设 ， ．
∴ ， ．
由角平分线定理的逆定理可知，命题得证．
证法六（角平分线定理的逆定理的应用）：
设点O（也可选点F）到直线 的距离分别为 ，根据角平分线定理的逆定理，要证
，只需证 ．
当直线l的斜率为0时，易得 ．
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为： ．由方程组 得
恒成立， ． ．
直线 的方程为： ．
∵点A在直线l上，∴ ，故 ．
同理， ． ．
∵ ，∴ ，即 ．
综上， ．
证法七（【通性通法】分类＋常规联立）：当直线l与x轴重合或垂直时，显然有 ．
当直线l与x轴不垂直也不重合时，设直线l的方程为 ，交椭圆于 ， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 得 ．
由韦达定理得 ．
∴ ，
故 、 的倾斜角互补，∴ ．
证法八（定比点差法）：设 ， ，
∴ ，由 作差可得， ，
∴ ，又 ，∴ ，
故 ， 、 的倾斜角互补，∴ ．
当 时， 与 轴垂直， 为 的垂直平分线，∴ ．
故 ．
证法九（调和点列和调和线束）：如图所示，分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为 ， ．由椭圆的
第二定义有 ，即 ．又 轴 ，∴ ，故 ．
∴ ，得 ，因此∠OMA＝∠OMB．
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