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[基础题组练]
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(
)
A．2 B．3
C．4 D．8
解析：选D.由题意，知抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝
8，故选D.
2．若点A，B在抛物线y2＝2px(p>0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为4，则
该抛物线方程是( )
A．y2＝x B．y2＝x
C．y2＝2x D．y2＝x
解析：选A.根据对称性，AB⊥x轴，由于正三角形的面积是4，故AB2＝4，故AB＝4，正三
角形的高为2，故可设点A的坐标为(2，2)，代入抛物线方程得4＝4p，解得p＝，故所求抛物
线的方程为y2＝x.故选A.
3．(2019·甘肃张掖诊断)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x，y)，Q(x，y)两
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点，如果x＋x＝6，则|PQ|＝( )
1 2
A．9 B．8
C．7 D．6
解析：选B.抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|
PF|＋|QF|＝x＋1＋x＋1＝x＋x＋2＝8.故选B.
1 2 1 2
4．(2019·昆明调研)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交
于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|＝|AB|，则l
的斜率为( )
A. B.
C. D．1
解析：选B.设抛物线的准线为m，分别过点A，N，B作AA′⊥m，NN′⊥m，BB′⊥m，垂
足分别为A′，N′，B′.
因为直线l过抛物线的焦点，所以|BB′|＝|BF|，|AA′|＝|AF|.
又N是线段AB的中点，|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝(|BB′|＋|AA′|)＝(|BF|＋|AF|)＝|AB|＝|
MN|，所以∠MNN′＝60°，则直线MN的倾斜角为120°.又MN⊥l，所以直线l的倾斜角为30°，
斜率是.故选B.
5．(2019·合肥模拟)已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为
C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝( )
A. B.
C. D.解析：选D.设抛物线C：y2＝8x的准线为l，易知l：x＝－2，
直线y＝k(x＋2)恒过定点P(－2，0)，
如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，
由|FA|＝2|FB|，知|AM|＝2|BN|，
所以点B为线段AP的中点，连接OB，
则|OB|＝|AF|，
所以|OB|＝|BF|，所以点B的横坐标为1，
因为k＞0，
所以点B的坐标为(1，2)，
所以k＝＝.故选D.
6．抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准
线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．
解析：设满足题意的圆的圆心为M.
根据题意可知圆心M在抛物线上，
又因为圆的面积为36π，
所以圆的半径为6，则|MF|＝x ＋＝6，即x ＝6－，
M M
又由题意可知x ＝，所以＝6－，解得p＝8.
M
所以抛物线方程为y2＝16x.
答案：y2＝16x
7．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则
FM·FN＝________．
解析：设M(x，y)，N(x，y)．由已知可得直线的方程为y＝(x＋2)，即x＝y－2，由得y2－
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6y＋8＝0.
由根与系数的关系可得y＋y＝6，yy＝8，
1 2 1 2
所以x＋x＝(y＋y)－4＝5，xx＝＝4，因为F(1，0)，所以FM·FN＝(x－1)·(x－1)＋
1 2 1 2 1 2 1 2
yy＝xx－(x＋x)＋1＋yy＝4－5＋1＋8＝8.
1 2 1 2 1 2 1 2
答案：8
8．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且
斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．
解析：法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝
k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x，y)，B(x，y)，则
1 1 2 2x＋x＝，xx＝1.由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，则y＋y＝，yy＝－4，由∠AMB＝90°，
1 2 1 2 1 2 1 2
得MA·MB＝(x＋1，y－1)·(x＋1，y－1)＝xx＋x＋x＋1＋yy－(y＋y)＋1＝0，将x＋x
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
＝，xx＝1与y＋y＝，yy＝－4代入，得k＝2.
1 2 1 2 1 2
法二：设抛物线的焦点为F，A(x，y)，B(x，y)，则所以y－y＝4(x－x)，则k＝＝，取AB
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的中点M′(x，y)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′，又∠AMB＝90°，
0 0
点M在准线x＝－1上，所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．又M′为AB的中点，所
以MM′平行于x轴，且y＝1，所以y＋y＝2，所以k＝2.
0 1 2
答案：2
9．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，
A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，
于是4＋＝5，
所以p＝2.
所以抛物线方程为y2＝4x.
(2)因为点A的坐标是(4，4)，
由题意得B(0，4)，M(0，2)．
又因为F(1，0)，所以k ＝，
FA
因为MN⊥FA，所以k ＝－.
MN
又FA的方程为y＝(x－1)，①
MN的方程为y－2＝－x，②
联立①②，解得x＝，y＝，
所以点N的坐标为.
10．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x，y)，B(x，y)
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(x0)，其焦点为F，点O为
坐标原点，过焦点F作斜率为k(k≠0)的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛
物线的两条切线，设两条切线交于点M.
(1)求OA·OB；
(2)设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为p2，求直线AB的斜率
k.
解：(1)设直线AB的方程为y＝kx＋，A(x，y)，B(x，y)，由得x2－2pkx－p2＝0，
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则所以y·y＝，
1 2
所以OA·OB＝x·x＋y·y＝－p2.
1 2 1 2
(2)由x2＝2py，知y′＝，
所以抛物线在A，B两点处的切线的斜率分别为，，所以直线AM的方程为y－y＝(x－
1
x)，直线BM的方程为y－y＝(x－x)，则可得M.
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所以k ＝－，所以直线MF与AB相互垂直．
MF
由弦长公式知，|AB|＝|x－x|＝·＝2p(k2＋1)，
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用－代替k得，|CD|＝2p，
四边形ACBD的面积S＝·|AB|·|CD|＝2p2＝p2，
解得k2＝3或k2＝，
即k＝±或k＝±.
6．(创新型)(2019·武汉调研)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)和定点M(0，1)设过点M的动直
线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.
(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．
解：设直线AB：y＝kx＋1，A(x，y)，B(x，y)，
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将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，
则x＋x＝2pk，xx＝－2p.①
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(1)由x2＝2py得y′＝，则A，B处的切线斜率的乘积为＝－，因为点N在以AB为直径的圆上，所以AN⊥BN，
所以－＝－1，所以p＝2.
(2)易得直线AN：y－y＝(x－x)，直线BN：y－y＝(x－x)，
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联立，得
结合①式，解得即N(pk，－1)．
|AB|＝|x－x|＝＝，
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点N到直线AB的距离d＝＝，
则△ABN的面积S ＝·|AB|·d＝≥2，当k＝0时，取等号，
△ABN
因为△ABN的面积的最小值为4，
所以2＝4，所以p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.
