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[基础题组练]
1.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在
观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(
)
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东80° D．南偏西80°
解析：选D.由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以
∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
2．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，
则A，C两地间的距离为( )
A．10 km B．10 km
C．10 km D．10 km
解析：选 D.由余弦定理可得：AC2＝AB2＋CB2－2AB×CB×cos 120°＝102＋202－
2×10×20×＝700.
所以AC＝10(km)．
3．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的
高是60 m，则河流的宽度BC等于( )
A．240(－1) m B．180(－1) m
C．120(－1) m D．30(＋1) m
解析：选C.因为tan 15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，所以BC＝60tan 60°－60tan 15°＝
120(－1)(m)．
4．已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)度的150公里处，以
v
公里/小时沿正西
方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)度的200公里处，若cos α＝cos
β，则 v ＝( )
A．60 B．80
C．100 D．125
解析：选C.画出图象如图所示，由余弦定理得(2.5v)2＝2002＋1502＋2×200×150cos(α＋
β)①，由正弦定理得＝，所以sin α＝sin β.又cos α＝ cos β，sin2 α＋cos2 α＝1，解得sin β
＝，故cos β＝，sin α＝，cos α＝，故cos(α＋β)＝－＝0，代入①解得
v
＝100.5．地面上有两座相距120 m的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮
塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分
别为( )
A．50 m，100 m B．40 m，90 m
C．40 m，50 m D．30 m，40 m
解析：选B.设高塔高H m，矮塔高h m，在O点望高塔塔顶的仰角为β.
则tan α＝，tan ＝，
根据三角函数的倍角公式有＝.①
因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角，
所以在O点望矮塔塔顶的仰角为－β，
由tan β＝，tan＝，
得＝.②
联立①②解得H＝90，h＝40.
即两座塔的高度分别为40 m，90 m.
6．一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°，距灯塔68海里的M处，
下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则此船航行的速度为________海里/小时．
解析：如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.
在△PMN中，＝，
所以MN＝68×＝34(海里)．
又由M到N所用的时间为14－10＝4(小时)，
所以此船的航行速度
v
＝＝(海里/小时)．
答案：
7.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的
南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B的距离是84 m，则塔高
CD＝________m.
解析：设塔高CD＝x m，
则AD＝x m，DB＝x m.
又由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，
在△ABD中，利用余弦定理，得
842＝x2＋(x)2－2·x2 cos 150°，
解得x＝12(负值舍去)，故塔高为12 m.
答案：12
8.如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点
E，从E点可以观察到点B，C.测量得到：CD＝2，CE＝2，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝
48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，则A，B两点之间的距离为________.
解析：依题意知，在△ACD中，∠DAC＝30°，由正弦定理得AC＝＝2，在△BCE中，
∠CBE＝45°，由正弦定理得 BC＝＝3.在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－
2AC·BCcos ∠ACB＝10，所以AB＝.
答案：
9．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点
的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已
知山高BC＝100 m，求山高MN.
解：根据题图，
AC＝100 m.
在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理得＝⇒AM＝100 m.
在△AMN中，＝sin 60°，
所以MN＝100×＝150(m)．
10.如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，
B，C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B收到发自静止
目标P的一个声波信号，8秒后A，C同时接到该声波信号，已知声波在
水中的传播速度是1.5千米/秒．
(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；
(2)求P到海防警戒线AC的距离．
解：(1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.
在△PAB中，AB＝20，
cos∠PAB＝
＝＝，
同理，在△PAC中，AC＝50，
cos∠PAC＝＝＝.
因为cos∠PAB＝cos∠PAC，
所以＝，
解得x＝31.
(2)作PD⊥AC于点D(图略)，在△ADP中，
由cos∠PAD＝，得sin∠PAD＝＝，
所以PD＝PAsin∠PAD＝31×＝4.
故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4千米．
[综合题组练]
1．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，
且小区里有一条平行于AO的小路CD. 已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着
DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为( )
A．50 米 B．50 米
C．50米 D．50米
解析：选B.设该扇形的半径为r米，连接CO.
由题意，得CD＝150(米)，OD＝100(米)，∠CDO＝60°，
在△CDO中，CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°＝OC2，
即1502＋1002－2×150×100×＝r2，
解得r＝50 .
2.如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建
筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得
∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数
据可得cos θ＝________．
解析：由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA＝135°，∠BDC＝90°－(15°
＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定
理可得＝，即DB＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝25(－1)，又＝，即＝，得到cos θ＝－1.
答案：－1
3．如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小
明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，
汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到 0.1，参考数据：
≈1.414，≈2.236)．
解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.
设这辆汽车的速度为
v
m/s，
则BC＝14v ，在Rt△ADB中，
AB＝＝＝200.
在Rt△ADC中，AC＝＝＝100.
在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，所以(14v)2＝(100)2＋
2002－2×100×200×cos 135°，
所以
v
＝≈22.6，
所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.
答案：22.6
4．(应用型)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列
的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最
后一排的距离为10 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上，若国歌时长为50 s，
升旗手应以________m/s的速度匀速升旗．
解析：依题意可知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，
所以∠EAC＝180°－45°－105°＝30°.
由正弦定理可知＝，
所以AC＝·sin∠CEA＝20 (m)．
所以在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝20×＝30(m)．
因为国歌时长为50 s，所以升旗速度为＝0.6 m/s.
答案：0.6
5.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一座发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高
度分别为AM＝100 m和BN＝200 m，一测量车在小山M的正南方
向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方
向行驶了100 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为
θ，且∠BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．
解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，所以PM＝100.
连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，PQ＝100，
所以△PQM为等边三角形，所以QM＝100.
在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200.
所以BQ＝100，cos θ＝.
在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcos θ＝(100)2，
所以BA＝100.
即两发射塔顶A，B之间的距离是100 m.
6．(应用型)如图所示，经过村庄A有两条夹角60°的公路AB，AC，根据
规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓
库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得
工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?
解：设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝.
因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ)．
在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)．
AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝
sin2(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°－θ)cos(60°＋θ)＝sin2(θ＋60°)－sin(θ＋60°)cos(θ＋
60°)＋4
＝[1－cos(2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4
＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋
＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)．
当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2.
所以设计∠AMN＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．
