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9.1 直线方程与圆的方程（精讲）
一．直线的斜率与倾斜角
1.直线的方向向量
设A，B是直线上的两点，则AB就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做
直线l的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°．
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角 α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母 k表示，即k＝tan
α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P(x，y)，P(x，y)(x≠x)，其斜率k＝．
1 1 1 2 2 2 1 2
二．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y＝k(x－x) 不含直线x＝x
0 0 0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
＝
两点式 不含直线x＝x 和直线y＝y
1 1
(x≠x，y≠y)
1 2 1 2
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
三．直线的位置关系
1．两条直线的平行与垂直
(1)两条直线平行
若l∥l ，则l 与l 的倾斜角α 与α 相等，由α ＝α ，可得tan α ＝tan α ，即k ＝k.因此，若l∥l ，则k ＝
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
k．
2
(2)两条直线垂直
设两条直线l ，l 的斜率分别为k ，k ，则直线l ，l 的方向向量分别是 a＝(1，k)，b＝(1，k)，于是
1 2 1 2 1 2 1 2
l⊥l⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔1×1＋kk＝0，即kk＝－1.也就是说，l⊥l⇔kk＝－1．
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2．两条直线的交点坐标
已知两条直线l：Ax＋By＋C ＝0，l：Ax＋By＋C ＝0相交，则交点P的坐标是方程组的解．
1 1 1 1 2 2 2 2
四．三种距离
点点距 点P(x，y)，P(x，y)之间的距离 |PP|＝
1 1 1 2 2 2 1 2
点线距 点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝
0 0 0线线距 两条平行线Ax＋By＋C ＝0与Ax＋By＋C ＝0间的距离 d＝
1 2
五．圆的定义和圆的方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
圆心C(a，b)
标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
半径为r
充要条件：D2＋E2－4F＞0
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
圆心C：
一般方程
(D2＋E2－4F＞0)
半径r＝
六．有关圆的位置关系
1.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x，y)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
0 0
(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x－a)2＋(y－b)2＞r2⇔M在圆外；
0 0
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x－a)2＋(y－b)2＝r2⇔M在圆上；
0 0
(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x－a)2＋(y－b)2＜r2⇔M在圆内．
0 0
2．直线与圆的位置关系
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r
代数法：由
判定方
法
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
消元得到一元二次方程根的判别式Δ
3.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法
若两圆的半径分别为r，r，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
1 2
位置
外离 外切 相交 内切 内含
关系
图示d与
d＝|r－r| 0≤d＜|r－r|
1 2 1 2
r，r 的 d＞r＋r d＝r＋r |r－r|＜d＜r＋r
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(r≠r) (r≠r)
1 2 1 2
关系
(2)代数法
通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
――→一元二次方程
一．斜率的求法
1.定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率；
2.公式法：若已知直线上两点A(x，y)，B(x，y)，一般根据斜率公式k＝(x ≠x)求斜率．
1 1 2 2 1 2
二．倾斜角及斜率取值范围的两种求法
1.数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；
2.函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可．
三．求圆的方程的两种方法
1.直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出圆的方程．
2.待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，
从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，
进而求出D，E，F的值．
四．判断直线与圆的位置关系的方法
1.几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断．
2.代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数
(也就是方程组解的个数)来判断．
①如果Δ<0，那么直线与圆相离；②如果Δ＝0，那么直线与圆相切；③如果Δ>0，那么直线与圆相交．
五．圆的切线方程
1.过圆x2＋y2＝r2上一点P(x，y)的圆的切线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
2.过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x，y)的圆的切线方程为(x－a)(x－a)＋(y－b)(y－b)＝r2.
0 0 0 0
3.过圆x2＋y2＝r2外一点M(x，y)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
4．两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，②
1 1 1 1 2 2 2 2
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即(D －D)x＋(E －E)y＋(F －F)
1 2 1 2 1 2
＝0.
考点一 直线的倾斜角与斜率
【例1-1】（2022秋·吉林·高三校考期末）已知点 .若直线 与线段 相交,
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D．
【例1-2】．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾
斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【例1-3】．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 的倾斜角为 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023·黑龙江哈尔滨）设点 ､ ，若直线l过点 且与线段AB相交，则直线l的斜率
k的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或C． D．
2．（2023秋·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考开学考试）在等差数列 中，
，直线 过点 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
考点二 直线方程
【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）过点 且方向向量为 的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例2-2】．（2023·全国·高三专题练习）过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程
为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知两条直线 和 的交点为 ，则过点 且与
直线 垂直的直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 两点，则线段 的中垂线的方程为
.3（2023·全国·高三专题练习）已知一条直线经过点A（2,－ ），且它的倾斜角等于直线x－ y＝0倾斜
角的2倍，则这条直线的方程为 ；
4．（2023·全国·高三专题练习）过点 且与直线 平行的直线方程为 .
考点三 两条直线的位置关系
【例3-1】（2024·四川成都·成都七中校考一模）直线 ： 与直线 ： 平行，则
（ ）
A． B． C．2 D．
【例3-2】（2023秋·河北·高三校联考阶段练习）已知 ，则“直线 与直线
垂直”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件，
【一隅三反】
1．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）若曲线 在点 处的切线与直线 垂
直，则 的值为（ ）
A． B． C． D．1
2．（2023·全国·高三专题练习）若直线 与 垂直，则
.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 和直线 ，若 ，则
考点四 三种距离
【例4-1】（2023·全国·高三专题练习）直线 ， 之间的距离是 .
【例4-2】（2023·全国·高三专题练习）点 ， 到直线l的距离分别为1和4，写出一个满足条件的直线l的方程： .
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）当点 到直线 的距离取得最大值时，
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知两条平行直线 ： ， ：
，则 与 间的距离为 .
3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）点 到直线 的距离的最大值
是 ．
考点五 圆的方程
【例5-1】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知 的三个顶点为 ，则下列
关于 的外接圆圆M的说法正确的是（ ）
A．圆M的圆心坐标为
B．圆M的半径为
C．圆M关于直线x＋y＝0对称
D．点 在圆M内
【例5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知点 在圆C： 的外部，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023秋·云南临沧·）已知半径为3的圆 的圆心与点 关于直线 对称，则圆 的标
准方程为（ ）A． B．
C． D．
2．（2023春·重庆沙坪坝·）在平面直角坐标系 中，已知 、 两点，若圆 以 为直径，
则圆 的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·宁夏银川）已知直线 经过圆 的圆心，其中 ，则 的最
小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．12
考点六 直线与圆的位置关系
【例6】（2024秋·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）（多选）已知圆 ： ，直线 ：
，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 恒过定点 B．直线 被圆 截得的弦最长时，
C．直线 被圆 截得的弦最短时， D．直线 被圆 截得的弦最短弦长为
【一隅三反】
1．（2023秋·云南昆明·高三云南师大附中校考开学考试）（多选）设直线 与圆
，则下列结论正确的为（ ）
A． 可能将 的周长平分
B．若圆 上存在两个点到直线 的距离为1，则 的取值范围为
C．若直线 与圆 交于 两点，则 面积的最大值为2D．若直线 与圆 交于 两点，则 中点 的轨迹方程为
2．（2023秋·山西忻州·高三校联考开学考试）（多选）已知直线 与圆
，则（ ）
A．直线l过定点
B．圆C的半径是4
C．直线l与圆C一定相交
D．圆C的圆心到直线l的距离的最大值是
3．（2024秋·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）（多选）已知直线 及
圆 ，则（ ）
A．直线 过定点
B．直线 截圆 所得弦长最小值为2
C．存在 ，使得直线 与圆 相切
D．存在 ，使得圆 关于直线 对称
考点七 圆与圆的位置关系
【例7-1】（2023春·江苏扬州）圆 与圆 的位置关系为（ ）．
A．相交 B．内切 C．外切 D．外离
【例7-2】（2023·全国·高三专题练习）圆 ： 与圆 ： 公
切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【一隅三反】
1．（2023春·四川成都·高三统考阶段练习）“ ”是“圆 ： 与圆 ：有公切线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023安徽）（多选）点 在圆 ： 上，点 在圆 ： 上，则
（ ）
A． 的最小值为
B． 的最大值为
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆公共弦所在直线的方程为
3．（2023·湖南·校联考二模）（多选）已知点 在圆 上，点 在圆
上，则（ ）
A．两圆外离 B． 的最大值为9
C． 的最小值为1 D．两个圆的一条公切线方程为
考点八 圆的切线、弦长问题
【例8-1】（2023秋·湖南）已知圆 ，过点 作圆C的两条切线，切点分别
为A，B．则四边形 的面积为（ ）．
A．6 B．12 C．14 D．18
【例8-2】（2023春·山东菏泽·高三校考开学考试）过点 与圆 相切的两条直线的夹角
为 则 （ ）
A．1 B． C． D．【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）（多选）圆 和圆 的交点为A，
B，则（ ）
A．公共弦AB所在直线的方程为
B．线段AB中垂线方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆 上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
2．（2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）（多选）已知圆 与圆
，下列说法正确的是（ ）
A． 与 的公切线恰有4条
B． 与 相交弦的方程为
C． 与 相交弦的弦长为
D．若 分别是圆 上的动点，则
3．（2023秋·广东深圳·高三校联考开学考试）“ ”是“圆 ： 与圆 ：
存在公切线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
考点九 与圆的有关最值问题【例9-1】（2023·全国·模拟预测）已知圆 与圆 交于 ， 两点，
点 在圆 上，则点 到直线 距离的最大值为（ ）
A．6 B． C． D．7
【例9-2】（2023秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考开学考试）已知复数 满足 ，则
的最大值为 ．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）设点 是圆： 上的动点，定点 ，则
的最大值为 ．
2．（2023春·福建宁德·高三统考阶段练习）已知圆 与圆 内
切，则 的最小值为
3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）过直线 上的任意一点 作圆
的两条切线，切点分别为 ， ，则点 到直线 距离的最大值为
.
考点十 对称问题
【例10-1】（2023秋·广东湛江·高三校联考阶段练习）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高
悬，置水盆于下，则见四邻矣”．这是中国古代入民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中
的数学智慧．在平面直角坐标系 中，一条光线从点 射出，经 轴反射后的光线所在的直线与圆
相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A． B． 或1 C．1 D．2
【例10-2】（2023·全国·高三专题练习）在 中， 的内角平分线方程为 ， ， ，则角 的正切值为 ．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 的顶点 ， ，一条角平分线所在直线为
，则点A坐标为 .
2．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）写出与圆 和圆 都相切
的一条直线的方程 .
3．（2022秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）已知圆 ： ，一条光线
从点 射出经 轴反射，则下列结论不正确的是（ ）
A．圆 关于 轴的对称圆的方程为
B．若反射光线平分圆 的周长，则入射光线所在直线方程为
C．若反射光线与圆 相切于 ，与 轴相交于点 ，则
D．若反射光线与圆 交于 ， 两点，则 面积的最大值为
