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9.1 直线方程与圆的方程（精讲）
一．直线的斜率与倾斜角
1.直线的方向向量
设A，B是直线上的两点，则AB就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做
直线l的倾斜角．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°．
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角 α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母 k表示，即k＝tan
α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P(x，y)，P(x，y)(x≠x)，其斜率k＝．
1 1 1 2 2 2 1 2
二．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y＝k(x－x) 不含直线x＝x
0 0 0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
＝
两点式 不含直线x＝x 和直线y＝y
1 1
(x≠x，y≠y)
1 2 1 2
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
三．直线的位置关系
1．两条直线的平行与垂直
(1)两条直线平行
若l∥l ，则l 与l 的倾斜角α 与α 相等，由α ＝α ，可得tan α ＝tan α ，即k ＝k.因此，若l∥l ，则k ＝
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
k．
2
(2)两条直线垂直
设两条直线l ，l 的斜率分别为k ，k ，则直线l ，l 的方向向量分别是 a＝(1，k)，b＝(1，k)，于是
1 2 1 2 1 2 1 2
l⊥l⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔1×1＋kk＝0，即kk＝－1.也就是说，l⊥l⇔kk＝－1．
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2．两条直线的交点坐标
已知两条直线l：Ax＋By＋C ＝0，l：Ax＋By＋C ＝0相交，则交点P的坐标是方程组的解．
1 1 1 1 2 2 2 2
四．三种距离
点点距 点P(x，y)，P(x，y)之间的距离 |PP|＝
1 1 1 2 2 2 1 2
点线距 点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝
0 0 0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】线线距 两条平行线Ax＋By＋C ＝0与Ax＋By＋C ＝0间的距离 d＝
1 2
五．圆的定义和圆的方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
圆心C(a，b)
标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
半径为r
充要条件：D2＋E2－4F＞0
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
圆心C：
一般方程
(D2＋E2－4F＞0)
半径r＝
六．有关圆的位置关系
1.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x，y)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
0 0
(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x－a)2＋(y－b)2＞r2⇔M在圆外；
0 0
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x－a)2＋(y－b)2＝r2⇔M在圆上；
0 0
(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x－a)2＋(y－b)2＜r2⇔M在圆内．
0 0
2．直线与圆的位置关系
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r
代数法：由
判定方
法
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
消元得到一元二次方程根的判别式Δ
3.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法
若两圆的半径分别为r，r，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
1 2
位置
外离 外切 相交 内切 内含
关系
图示
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】d与
d＝|r－r| 0≤d＜|r－r|
1 2 1 2
r，r 的 d＞r＋r d＝r＋r |r－r|＜d＜r＋r
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
(r≠r) (r≠r)
1 2 1 2
关系
(2)代数法
通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
――→一元二次方程
一．斜率的求法
1.定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率；
2.公式法：若已知直线上两点A(x，y)，B(x，y)，一般根据斜率公式k＝(x ≠x)求斜率．
1 1 2 2 1 2
二．倾斜角及斜率取值范围的两种求法
1.数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；
2.函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可．
三．求圆的方程的两种方法
1.直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出圆的方程．
2.待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，
从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，
进而求出D，E，F的值．
四．判断直线与圆的位置关系的方法
1.几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断．
2.代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数
(也就是方程组解的个数)来判断．
①如果Δ<0，那么直线与圆相离；②如果Δ＝0，那么直线与圆相切；③如果Δ>0，那么直线与圆相交．
五．圆的切线方程
1.过圆x2＋y2＝r2上一点P(x，y)的圆的切线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
2.过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x，y)的圆的切线方程为(x－a)(x－a)＋(y－b)(y－b)＝r2.
0 0 0 0
3.过圆x2＋y2＝r2外一点M(x，y)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
4．两圆相交时公共弦所在直线的方程
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，②
1 1 1 1 2 2 2 2
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即(D －D)x＋(E －E)y＋(F －F)
1 2 1 2 1 2
＝0.
考点一 直线的倾斜角与斜率
【例1-1】（2022秋·吉林·高三校考期末）已知点 .若直线 与线段 相交,
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D．
【答案】D
【解析】由已知直线 恒过定点 ,
如图所示,若 与线段 相交,则 ,
因为 ,所以 .故选:D.
【例1-2】．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾
斜角的取值范围为（ ）
A． B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】B
【解析】设切线的倾斜角为 ，则 ，∵ ，
∴切线的斜率 ，则 .
故选：B
【例1-3】．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 的倾斜角为 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，直线 的斜率为 ，解得 .故选：A.
【一隅三反】
1．（2023·黑龙江哈尔滨）设点 ､ ，若直线l过点 且与线段AB相交，则直线l的斜率
k的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】A
【解析】如图所示：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】依题意， ，
要想直线l过点 且与线段AB相交，
则 或 ，
故选：A
2．（2023秋·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考开学考试）在等差数列 中，
，直线 过点 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 是等差数列， ，
令数列 的公差为 ，
所以 ， ，
则 ，
所以 ，
则直线 的斜率为 .
故选：A
考点二 直线方程
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）过点 且方向向量为 的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知直线的斜率 ，由点斜式方程得，
所求直线的方程为 ，即 ．
故选：A
【例2-2】．（2023·全国·高三专题练习）过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程
为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】解法一 当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为 ，即 ；
当直线不过原点时，设直线方程为 ，
因为直线过点 ，所以 ，
解得 ，此时直线方程为 .
故选：
解法二 易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意.
设直线方程为 ，
则 时， ， 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由题意知 ，
解得 或 ，即直线方程为 或 .
故选：
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知两条直线 和 的交点为 ，则过点 且与
直线 垂直的直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设所求直线 的方程为 ，即 ，
因为直线 与 垂直，
所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 两点，则线段 的中垂线的方程为
.
【答案】 .
【解析】因为 ，所以线段 的中点坐标为 ，线段 所在直线的斜率为
，
所以线段 的中垂线的斜率为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以线段 的中垂线的方程为 ，即 ，
故答案为：
3（2023·全国·高三专题练习）已知一条直线经过点A（2,－ ），且它的倾斜角等于直线x－ y＝0倾斜
角的2倍，则这条直线的方程为 ；
【答案】 x－y－3 ＝0
【解析】由已知得直线x－ y＝0的斜率为 ，则其倾斜角为30°，
故所求直线倾斜角为60°，斜率为 ，
故所求直线的方程为y-(－ )＝ ，即 x－y－3 ＝0．
故答案为： x－y－3 ＝0
4．（2023·全国·高三专题练习）过点 且与直线 平行的直线方程为 .
【答案】
【解析】设所求直线方程为 ，
因为点 在直线 上，
所以 ，解得 ，
故所求直线方程为 .
故答案为：
考点三 两条直线的位置关系
【例3-1】（2024·四川成都·成都七中校考一模）直线 ： 与直线 ： 平行，则
（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由题意得 ，解得 .故选：A
【例3-2】（2023秋·河北·高三校联考阶段练习）已知 ，则“直线 与直线
垂直”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件，
【答案】B
【解析】直线 与直线 垂直，
即 ，解得 或 .
所以“直线 与直线 垂直”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
【一隅三反】
1．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）若曲线 在点 处的切线与直线 垂
直，则 的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】由题设，知 处的切线的斜率为 ，又因为 ，所以 ，解得
.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）若直线 与 垂直，则
.
【答案】0或1
【解析】因为直线 与 垂直，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
化简整理得 ，解得 或 ，
故答案为：0或1
3．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 和直线 ，若 ，则
【答案】－1
【解析】 时，两直线显然不平行，因此 ，
所以由 得 ，解得 ，
故答案为： ．
考点四 三种距离
【例4-1】（2023·全国·高三专题练习）直线 ， 之间的距离是 .
【答案】 /
【解析】由 ，得 ，
所以直线 ， 之间的距离为
，
故答案为：
【例4-2】（2023·全国·高三专题练习）点 ， 到直线l的距离分别为1和4，写出一个满足条件的
直线l的方程： .
【答案】 或 或 （填其中一个即可）
【解析】设 ， ，连接MN，则 .
以M为圆心，1为半径作圆M，以N为圆心4为半径作圆N，则两圆外切，
所以两圆有3条公切线，即符合条件的直线l有3条.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当公切线的斜率不存在时，显然公切线的方程为 .
当公切线的斜率存在时，设公切线的方程为 ，则有 ，
由①②得 ，所以 或 .
由①及 得 ，由①及 得 ，
所以公切线方程为 或 .
综上，直线l的方程为 或 或 .
故答案为： 或 或
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）当点 到直线 的距离取得最大值时，
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将直线 转化为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立方程组 ，解得 ，所以直线经过定点 ，
当直线 与该直线垂直时，点 到该直线的距离取得最大值，
此时 ，解得 .
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知两条平行直线 ： ， ：
，则 与 间的距离为 .
【答案】
【解析】由 ，得 ，得 ，
所以 ： ，即 ，又 ： ，
所以 与 间的距离 .
故答案为：
3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）点 到直线 的距离的最大值
是 ．
【答案】
【解析】因为直线 恒过点 ，
记 ，直线 为直线 ，
则当 时，此时点 到直线 的距离最大，
∴点 到直线 距离的最大值为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.
故答案为： .
考点五 圆的方程
【例5-1】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知 的三个顶点为 ，则下列
关于 的外接圆圆M的说法正确的是（ ）
A．圆M的圆心坐标为
B．圆M的半径为
C．圆M关于直线x＋y＝0对称
D．点 在圆M内
【答案】ABD
【解析】设 的外接圆圆M的方程为 （ ），
则 ，解得 ，
所以 的外接圆圆M的方程为 ，即 .
故圆M的圆心坐标为 ，圆M的半径为 ，故AB正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心 ，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称，故C错误；
因为 ，故点 在圆M内，故D正确.
故选：ABD
【例5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知点 在圆C： 的外部，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ，
则 ，解得： ①，
又∵点 在圆 的外部，
∴ ，即 ，解得 或 ②，
由①②得 ，故选：B．
【一隅三反】
1．（2023秋·云南临沧·）已知半径为3的圆 的圆心与点 关于直线 对称，则圆 的标
准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设圆心坐标 ，由圆心 与点 关于直线 对称，得到直线 与 垂直，
结合 的斜率为1，得直线 的斜率为 ，所以 ，化简得 ①
再由 的中点在直线 上， ，化简得 ②
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立①②，可得 ，所以圆心 的坐标为 ，
所以半径为3的圆 的标准方程为 .故选：C
2．（2023春·重庆沙坪坝·）在平面直角坐标系 中，已知 、 两点，若圆 以 为直径，
则圆 的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，圆心 的横坐标为 ，纵坐标为 ，即点 ，
圆 的半径为 ，因此，圆 的标准方程为 .故选：A.
3．（2023·宁夏银川）已知直线 经过圆 的圆心，其中 ，则 的最
小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．12
【答案】D
【解析】因为直线 经过圆 的圆心 ，故 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.故选：D
考点六 直线与圆的位置关系
【例6】（2024秋·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）（多选）已知圆 ： ，直线 ：
，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 恒过定点 B．直线 被圆 截得的弦最长时，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C．直线 被圆 截得的弦最短时， D．直线 被圆 截得的弦最短弦长为
【答案】ABC
【解析】对于选项A：直线 的方程可化为 ，
令 ，解得 ，
所以直线恒过定点 ，故A正确；
对于选项B：因为 ，即点 在圆 内，
当直线 过圆心 时，直线被圆截得的弦长最长，
此时 ，解得 ，故B正确；
对于选项C：当直线 时，直线被圆截得的弦长最短，
直线 的斜率为 ， ，
由 ，解得 ，故C正确；
对于选项D：此时直线 的方程是 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
可得 ，
所以最短弦长是 ，故D错误．
故选：ABC．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【一隅三反】
1．（2023秋·云南昆明·高三云南师大附中校考开学考试）（多选）设直线 与圆
，则下列结论正确的为（ ）
A． 可能将 的周长平分
B．若圆 上存在两个点到直线 的距离为1，则 的取值范围为
C．若直线 与圆 交于 两点，则 面积的最大值为2
D．若直线 与圆 交于 两点，则 中点 的轨迹方程为
【答案】BC
【解析】对于 ，若直线 将圆 的周长平分，则直线 过原点，此时直线 的斜率不存在， 错误；
对于B，若圆 上存在两个点到直线 的距离为1，则 到直线 的距离 满足 ，
所以 ，解得 或 ，B正确；
对于C， ，
当 时， 的面积有最大值2，C正确；
对于 ，易知直线 经过定点 ，所以 ，所以 点的轨迹以 为直径的圆，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】其方程为 ，又因为 点在圆 内，由 ，解得 ，
所以 点的轨迹方程为 ，D错误.
故选：BC.
2．（2023秋·山西忻州·高三校联考开学考试）（多选）已知直线 与圆
，则（ ）
A．直线l过定点
B．圆C的半径是4
C．直线l与圆C一定相交
D．圆C的圆心到直线l的距离的最大值是
【答案】ACD
【解析】由题意可得直线 ，
由 ，解得 ，则直线l过定点 ，故A正确；
圆 ，即 ，
则圆C的圆心坐标为 ，半径为2， 故B错误；
因为 ，则点 在圆C的内部，
所以直线l与圆C一定相交，故C正确；
因为 ，所以圆C的圆心到直线l的距离的最大值是 ，故D正确.
故选：ACD.
3．（2024秋·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）（多选）已知直线 及
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】圆 ，则（ ）
A．直线 过定点
B．直线 截圆 所得弦长最小值为2
C．存在 ，使得直线 与圆 相切
D．存在 ，使得圆 关于直线 对称
【答案】ABD
【解析】A选项，由 ，
得 ，解得 ，所以直线 过定点为 ，故A正确；
B选项，由圆的标准方程可得圆心为 ，半径 ，直线 过的定点为 ，
当 时，直线 截圆 所得弦长最短，因为 ，
则最短弦长为 ，故B正确；
C选项， ，故点 在圆 内，所以直线 与圆 一定相交，故C错误；
D选项，当直线 过圆心 时，满足题意，此时 ，解得 ，
故D正确. 故选：ABD.
考点七 圆与圆的位置关系
【例7-1】（2023春·江苏扬州）圆 与圆 的位置关系为（ ）．
A．相交 B．内切 C．外切 D．外离
【答案】B
【解析】由题意可得 ，
故两圆的圆心分别为： ，设两圆半径分别为 ，则 ，
易知 ，故两圆内切.
故选：B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例7-2】（2023·全国·高三专题练习）圆 ： 与圆 ： 公
切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】根据题意，圆 ： ，即 ，
其圆心为 ，半径 ；
圆 ： ，即 ，
其圆心为 ，半径 ，
两圆的圆心距 ，所以两圆相外切，
其公切线条数有3条．
故选：C．
【一隅三反】
1．（2023春·四川成都·高三统考阶段练习）“ ”是“圆 ： 与圆 ：
有公切线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】圆 ： 的圆心 ，半径 ，圆 ： 的圆心 ，半
径 ，
若两圆有公切线，则 ，即 ，解得 或 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以“ ”是“圆 ： 与圆 ： 有公切线”的充分而不必要条件.
故选：A.
2．（2023安徽）（多选）点 在圆 ： 上，点 在圆 ： 上，则
（ ）
A． 的最小值为
B． 的最大值为
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆公共弦所在直线的方程为
【答案】AC
【解析】根据题意，圆 ： ，其圆心 ，半径 ，
圆 ： ，即 ，其圆心 ，半径 ，
则圆心距 ，两圆外离，不存在公共弦，故D不正确；
的最小值为 ，最大值为 ，
故A正确，B不正确；
对于C，圆心 ，圆心 ，
则两个圆心所在直线斜率 ，故C正确，
故选：AC.
3．（2023·湖南·校联考二模）（多选）已知点 在圆 上，点 在圆
上，则（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．两圆外离 B． 的最大值为9
C． 的最小值为1 D．两个圆的一条公切线方程为
【答案】ABC
【解析】圆 的圆心坐标 ，半径 ，
圆 ，即 的圆心坐标 ，半径 ，
所以圆心距 ，
因为 ，所以两圆外离．故A正确；
因为 在圆 上， 在圆 上，所以 ，故B、C正确；
因为圆心 到直线 的距离 ，所以 不是两圆公
切线，故D错误；
故选：ABC．
考点八 圆的切线、弦长问题
【例8-1】（2023秋·湖南）已知圆 ，过点 作圆C的两条切线，切点分别
为A，B．则四边形 的面积为（ ）．
A．6 B．12 C．14 D．18
【答案】B
【解析】依题意，圆 ，圆心为 ，半径为3，
则 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，由对称性可知， 与 全等，
故四边形 的面积 ．
故选：B
【例8-2】（2023春·山东菏泽·高三校考开学考试）过点 与圆 相切的两条直线的夹角
为 则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，即 ，
可得圆心 ，半径 ，
过点 作圆C的切线，切点为 ，
所以 ，
可得 .
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）（多选）圆 和圆 的交点为A，
B，则（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．公共弦AB所在直线的方程为
B．线段AB中垂线方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆 上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于选项A，因为圆 ， ，
两式作差可得公共弦AB所在直线的方程为 ，即 ，故A正确；
对于选项B，圆 的圆心为 ，
则线段AB中垂线的斜率为 ，即线段AB中垂线方程为 ，
整理可得 ，故B正确；
对于选项C，圆心 到 的距离为 ，
又圆 的半径 ，所以 ，故C不正确；
对于选项D，P为圆 上一动点，圆心 到 的距离为 ，
又圆 的半径 ，所以P到直线AB距离的最大值为 ，故D正确．
故选：ABD．
2．（2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）（多选）已知圆 与圆
，下列说法正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． 与 的公切线恰有4条
B． 与 相交弦的方程为
C． 与 相交弦的弦长为
D．若 分别是圆 上的动点，则
【答案】BD
【解析】由已知得圆 的圆心 ，半径 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
，
故两圆相交，所以 与 的公切线恰有2条，故A错误；
做差可得 与 相交弦的方程为
到相交弦的距离为 ，故相交弦的弦长为 ，故C错误；
若 分别是圆 上的动点，则 ，故D正确.
故选：BD
3．（2023秋·广东深圳·高三校联考开学考试）“ ”是“圆 ： 与圆 ：
存在公切线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当两圆无公切线时，两圆内含，
圆 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆心为 ，半径为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以两圆的圆心距为 ，
即 ，解得 ，
所以当两圆有公切线时 或 ，
所以 能推出圆 和 有公切线，而圆 和 有公切线不能推出 ，
所以“ ”是“圆 ： 与圆 ： 存在公切线”的充分而不必要条件，
故选：A.
考点九 与圆的有关最值问题
【例9-1】（2023·全国·模拟预测）已知圆 与圆 交于 ， 两点，
点 在圆 上，则点 到直线 距离的最大值为（ ）
A．6 B． C． D．7
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
由 和 可得直线 的方程为 ，
变形得 ，由 ，得 ，
所以直线 经过定点 ，
因为圆 的圆心为 ，半径 ，
所以点 到直线 的距离的最大值为 ，
所以点 到直线 距离的最大值为 .
故选：B
【例9-2】（2023秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考开学考试）已知复数 满足 ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的最大值为 ．
【答案】
【解析】设复数 ，由 ，得 ，
整理得 ，即 ，
因此复数 在复平面内对应点 在以点 为圆心， 为半径的圆， 为原点，
所以 .
故答案为：
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）设点 是圆： 上的动点，定点 ，则
的最大值为 ．
【答案】10
【解析】由题意知， ，
所以 ，
由于点 是圆上的点,故其坐标满足方程 ，
故 ，
所以 .
由圆的方程 ，易知 ，
所以当 时， 的值最大，最大值为 .
故答案为：10
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023春·福建宁德·高三统考阶段练习）已知圆 与圆 内
切，则 的最小值为
【答案】2
【解析】圆 的圆心为 ，半径为 ，圆 的圆心为 ，半径为 ，
两圆的圆心距 ，
两圆内切， ，可得 ，
所以 ．当且仅当 时，取得最小值， 的最小值为2．
故答案为：2．
3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）过直线 上的任意一点 作圆
的两条切线，切点分别为 ， ，则点 到直线 距离的最大值为
.
【答案】 /
【解析】设 ，则 ，所以 .
由几何性质知 ,
所以 ， ， ， 四点在以 为直径的圆 上，
设圆 上任意一点坐标为 ，则 ，
所以 ，当 时，也成立.
即圆 方程为 ，即 ，
把圆 和圆 方程相减得 .
故直线 的方程为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 是以原点为圆心、1为半径的圆上的点，
故点 到直线 的距离的最大值为
.
（当 时取等）
故答案为：
考点十 对称问题
【例10-1】（2023秋·广东湛江·高三校联考阶段练习）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高
悬，置水盆于下，则见四邻矣”．这是中国古代入民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中
的数学智慧．在平面直角坐标系 中，一条光线从点 射出，经 轴反射后的光线所在的直线与圆
相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A． B． 或1 C．1 D．2
【答案】C
【解析】易知 关于 轴的对称点为 ，
由平面镜反射原理，反射光线所在的直线过 且与该圆相切，
将圆 化简后可得 ，所以圆心 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】易知 在该圆上，所以 即为切点，
因此圆心与切点连线与反射光线垂直，设反射光线所在直线的斜率为 ，
即 ，解得
故选：C．
【例10-2】（2023·全国·高三专题练习）在 中， 的内角平分线方程为 ， ， ，
则角 的正切值为 ．
【答案】
【解析】由题意得，根据角平分线的性质， 关于 的对称点一定在直线 上，
设 关于 的对称点为 ，记 ，则 是 中垂线，于是 ，解得 ，
故 ，又 ，故 直线方程为 ，于是 和 的交点 为 的坐标，
由 ，则 ，故 ，
则 ， .
故答案为：
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知 的顶点 ， ，一条角平分线所在直线为
，则点A坐标为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【解析】如图所示，可知点A在直线 上，
令点 为点 关于直线 的对称点.
由于直线CD与直线 垂直，且线段CD的中点在直线 上，
于是就有 ，解得 ，因此点D的坐标为 .
根据对称性可知点 在直线AB上，又点B的坐标为 ，
于是直线AB的方程为 ，即 .
由 ，解得 ，得点A的坐标为 .
故答案为：
2．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）写出与圆 和圆 都相切
的一条直线的方程 .
【答案】 （答案不唯一， 或 均可以）
【解析】圆 的圆心为 ，半径为1；圆 的圆心为 ，半径为4，
圆心距为 ，所以两圆外切，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】如图，有三条切线 ，易得切线 的方程为 ；
因为 ，且 ，所以 ，设 ，即 ，则 到 的距离
，解得 （舍去）或 ，所以 ；
可知 和 关于 对称，联立 ，解得 在 上，
在 上取点 ，设其关于 的对称点为 ，则 ，
解得 ，则 ，
所以直线 ，即 ，
综上，切线方程为 或 或 .
故答案为： （答案不唯一， 或 均可以）
3．（2022秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）已知圆 ： ，一条光线
从点 射出经 轴反射，则下列结论不正确的是（ ）
A．圆 关于 轴的对称圆的方程为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．若反射光线平分圆 的周长，则入射光线所在直线方程为
C．若反射光线与圆 相切于 ，与 轴相交于点 ，则
D．若反射光线与圆 交于 ， 两点，则 面积的最大值为
【答案】C
【解析】对于A，由圆 方程可得 ，故圆心 ，半径 ，
圆 关于 轴对称的圆的圆心为 ，半径为 ，
所求圆的方程为： ，即 ，A正确；
对于B， 反射光线平分圆 的周长， 反射光线经过圆心 ，
入射光线所在直线经过点 ， ，
入射光线所在直线方程为： ，即 ，B正确；
对于C， 反射光线经过点 关于 轴的对称点 ，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，则 ，C错误；
对于D，设 ，
则圆心 到直线 的距离 ，
，
，
则当 时， ，D正确.
故选：C.
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