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[基础题组练]
1．设随机变量X服从正态分布N(0，1)，若P(X>1)＝p，则P(－10)＝P(X<0)＝，P(X>1)＝P(X<－1)＝p，所以 P(－176)等于________．
(附：(P(μ－σ76)＝0.022 75，所以P(X<70或
X>76)＝0.158 65＋0.022 75＝0.181 4.
答案：0.181 4
7．若随机变量ξ的分布列如下表所示，E(ξ)＝1.6，则a－b＝________．
ξ 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.1
解析：易知a，b∈[0，1]，由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，又由E(ξ)＝0×0.1＋1×a
＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.
答案：－0.2
8．某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动．参选的志愿者回
答三个问题，其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设ξ为回答正确的题
数，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________．
解析：由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3.
P(ξ＝0)＝××＝，
P(ξ＝1)＝××＋××＋××＝，
P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝，
P(ξ＝3)＝××＝.
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
答案：
9．(2019·西安模拟)一个盒子中装有大量形状、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随
机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为[5，15]，(15，25]，(25，35]，(35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图(如图)．
(1)求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和
数学期望．(以直方图中的频率作为概率)．
解：(1)由题意，得(0.02＋0.032＋a＋0.018)×10＝1，
解得a＝0.03.由频率分布直方图可估计盒子中小球重量的众数为20克，
而 50 个样本中小球重量的平均数为x＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝
24.6(克)．
故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均数为24.6克．
(2)该盒子中小球重量在[5，15]内的概率为，
则X～B，X的可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝C＝，
P(X＝1)＝C×＝，
P(X＝2)＝C×＝，
P(X＝3)＝C＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(或者E(X)＝3×＝.)
10．(2019·长沙模拟)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采
摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，下雨会影响药材品质，基地收益如下表
所示：
周一 无雨 无雨 有雨 有雨
周二 无雨 有雨 无雨 有雨
收益/万元 20 15 10 7.5
若基地额外聘请工人，可在下周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨
时，收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．
已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.
(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益；
(2)该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由．
解：(1)设下周一无雨的概率为p，由题意得，p2＝0.36，解得p＝0.6，
基地收益X的可能取值为20，15，10，7.5，则P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24，P(X＝10)
＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16.
所以基地收益X的分布列为
X 20 15 10 7.5
P 0.36 0.24 0.24 0.16
E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4(万元)，
所以基地的预期收益为14.4万元．
(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，
则其预期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝16－a(万元)，E(Y)－E(X)＝1.6－a(万元)．
综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不额外聘请工人；成本低于1.6万元时，
额外聘请工人；成本恰为1.6万元时，额外聘请或不聘请工人均可以．
[综合题组练]
1．某鲜奶店每天以每瓶3元的价格从牧场购进若干瓶鲜牛奶，然后以每瓶7元的价格出
售．如果当天卖不完，剩下的鲜牛奶作垃圾处理．
(1)若鲜奶店一天购进30瓶鲜牛奶，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：
瓶，n∈N)的函数解析式；
(2)鲜奶店记录了100天鲜牛奶的日需求量(单位：瓶)，绘制出如下的柱形图(例如：日需
求量为25瓶时，频数为5)：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若该鲜奶店一天购进30瓶鲜奶，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列及数学
期望；
②若该鲜奶店计划一天购进29瓶或30瓶鲜牛奶，你认为应购进29瓶还是30瓶？请说
明理由．
解：(1)当n≥30时，y＝30×(7－3)＝120；
当n≤29时，y＝(7－3)n－3(30－n)＝7n－90.故y＝，n∈N.(2)①X的可能取值为85，92，99，106，113，120，
P(X＝85)＝0.05，
P(X＝92)＝0.1，
P(X＝99)＝0.1，
P(X＝106)＝0.05，
P(X＝113)＝0.1，
P(X＝120)＝0.6.
X的分布列为
X 85 92 99 106 113 120
P 0.05 0.1 0.1 0.05 0.1 0.6
E(X)＝(85＋106)×0.05＋(92＋99＋113)×0.1＋120×0.6＝111.95.
②购进29瓶时，当天利润的数学期望为t＝(25×4－4×3)×0.05＋(26×4－3×3)×0.1
＋(27×4－2×3)×0.1＋(28×4－1×3)×0.05＋29×4×0.7＝110.75，
因为111.95＞110.75，所以应购进30瓶．
2．(2019·洛阳尖子生第二次联考)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：
投资股市
投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20%
概率
购买基金
投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10%
概率 p q
(1)当p＝时，求q的值．
(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们
中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围．
(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种
方案中选择一种，已知p＝，q＝，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学
期望较大？请说明理由．
解：(1)因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三
种投资结果相互独立，
所以p＋＋q＝1.又p＝，所以q＝.
(2)记事件A为“甲投资股市且获利”，事件B为“乙购买基金且获利”，事件C为“一年
后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，
则C＝AB∪AB∪AB，且A，B独立．
由题意可知，P(A)＝，P(B)＝p，
所以P(C)＝P(AB)＋P(AB)＋P(AB)
＝(1－p)＋p＋p＝＋p.
因为P(C)＝＋p＞，所以p＞.又p＋＋q＝1，q≥0，所以p≤.
所以p的取值范围为.
(3)假设丙选择“投资股市”的方案进行投资，记X为丙投资股市的获利金额(单位：万
元)，
所以随机变量X的分布列为
X 4 0 －2
P
则E(X)＝4×＋0×＋(－2)×＝.
假设丙选择“购买基金”的方案进行投资，记Y为丙购买基金的获利金额(单位：万元)，
所以随机变量Y的分布列为
Y 2 0 －1
P
则E(Y)＝2×＋0×＋(－1)×＝.
因为E(X)＞E(Y)，
所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．
3．(2019·高考全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更
有效，为此进行动物实验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两
只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．
当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多
的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的
白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈
则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈
率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i
i
时 ，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p ＝0，p ＝1，p＝ap ＋bp＋cp (i＝1，
0 8 i i－1 i i＋1
2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.
(ⅰ)证明：{p －p}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列；
i＋1 i
(ⅱ)求p，并根据p 的值解释这种试验方案的合理性．
4 4
解：(1)X的所有可能取值为－1，0，1.
P(X＝－1)＝(1－α)β，
P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，
P(X＝1)＝α(1－β)．
所以X的分布列为
(2)(ⅰ)证明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.因此p＝0.4p ＋0.5p＋0.1p ，
i i－1 i i＋1
故0.1(p －p)＝0.4(p－p )，
i＋1 i i i－1
即p －p＝4(p－p )．
i＋1 i i i－1
又因为p－p＝p≠0，所以{p －p}(i＝0，1，2，…，7)为公比为4，首项为p 的等比数列．
1 0 1 i＋1 i 1
(ⅱ)由(ⅰ)可得
p＝p－p＋p－p＋…＋p－p＋p
8 8 7 7 6 1 0 0
＝(p－p)＋(p－p)＋…＋(p－p)
8 7 7 6 1 0
＝p.
1
由于p＝1，故p＝，所以
8 1
p＝(p－p)＋(p－p)＋(p－p)＋(p－p)
4 4 3 3 2 2 1 1 0
＝p
1
＝.
p 表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治
4
愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p＝≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，
4
说明这种试验方案合理．
