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8.3分布列（精讲）
一.相互独立事件
1.事件相互独立：在一个随机试验中两个事件A，B是否发生互不影响，则称事件A与事件B相互独立，当
对于n个事件A ，A ，…，A ，如果其中任意一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称 n
1 2 n
个事件A，A，…，A 相互独立；
1 2 n
2.独立事件的概率公式
①若事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）；
②若事件A，A，…，A 相互独立，则P（AA…A）＝P（A）P（A）…P（A）.
1 2 n 1 2 n 1 2 n
二.条件概率
P(AB)
1.概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P（A）＞0，我们称P（B｜A）＝ 为在事件A发生
P(A)
的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率；
2.两个公式及三个性质n(AB)
①利用古典概型：P（B｜A）＝ ；
n(A)
②利用概率的乘法公式：P（AB）＝P（A）P（B｜A）；
三.全概率公式
一般地，设A ，A ，…，A 是一组两两互斥的事件，A∪A∪…∪A ＝Ω，且P（A）＞0，i＝1，2，…，
1 2 n 1 2 n i
n
n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝∑P（A）P（B｜A），我们称上面的公式为全概率公式.
i i
i=1
四.两点分布（或0－1分布）
如果随机变量X的分布列为
X 0 1
P 1－p p
其中0＜p＜1，则称离散型随机变量X服从两点分布或0－1分布.其中p＝P（X＝1）称为成功概率.
五.超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽
Ck Cn-k
M N-M
取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P（X＝k）＝ ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r
Cn
N
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上
式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
六.伯努利试验与二项分布
1.伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行 n次所组
成的随机试验称为n重伯努利试验；
2.二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），用X表示
事件A发生的次数，则X的分布列为P（X＝k）＝Ck pk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n.
n
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B（n，p）.对于服从
二项分布的随机变量X，E（X）＝np，D（X）＝np（1－p）.
七.正态分布
若随机变量X服从正态分布，记为X～N（μ，σ2），其中E（X）＝μ，D（X）＝σ2，其正态密度函数为f
(x-μ)2
1 -
（x）＝ e 2σ2 .当μ＝0，σ＝1时，随机变量X服从标准正态分布.
σ√2π
（1）正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
1
③曲线在x＝μ处达到峰值 ；
σ√2π
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越
“矮胖”，表示总体的分布越分散.
（2）正态分布的三个常用数据
①P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.682 7；
②P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.954 5；
③P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.997 3.
八.离散型随机变量的分布列
1.对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X（ω）与之对应，我们称X为随机变量.
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量叫做离散型随机变量；
2.一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x ，x ，…，x ，称X取每一个值x的概率P（X＝x）＝p（i
1 2 n i i i
＝1，2，…，n）为X的概率分布列，简称分布列.
X x x … x
1 2 n
P p p … p
1 2 n
离散型随机变量的分布列也可以用如上表格表示.且具有如下性质：
①p≥0，i＝1，2，…，n；
i
②p＋p＋…＋p＝1.
1 2 n
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.
3.均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x x … x
1 2 n
P p p … p
1 2 n
n
则称E（X）＝xp ＋xp ＋…＋xp ＝∑xp为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值
1 1 2 2 n n i i
i=1
的平均水平.
4.方差
设离散型随机变量X的分布列为
X x x … x
1 2 n
P p p … p
1 2 n
n
则（x－E（X））2描述了x（i＝1，2，…，n）相对于均值E（X）的偏离程度.而D（X）＝∑（x－E
i i i
i=1
（X））2p为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E（X）的平均偏离程度.称D（X）为
i
随机变量X的方差，有时也记为Var（X），并称√D(X)为随机变量X的标准差，记为σ（X）.
一．超几何分布概率模型的特征
（1）实际问题所描述的事件只包含两个结果（发生与不发生），每进行一次上述抽取都不是原来的重复
（再次抽取时，都与上次条件发生了变化）；（2）每次抽取中同一事件发生的概率都不同；
（3）实际问题中随机变量为抽到某类个体的个数；
（4）该问题属于不放回抽取问题.
二．二项分布概率模型的特征
（1）在每一次试验中，试验结果只有两个，即发生与不发生；
（2）各次试验中的事件是相互独立的；
（3）在每一次试验中，事件发生的概率与不发生的概率都保持不变.
三．条件概率
P(AB)
（1）利用定义，分别求P（A）和P（AB），得P（B｜A）＝ ；
P(A)
（2）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点个数n（A），再在事件A发生的条件下求事件B
n(AB)
包含的样本点个数，即n（AB），得P（B｜A）＝ .
n(A)
四．全概率公式求概率
（1）按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件A（i＝1，2，…，n）；
i
（2）求P（A）和所求事件B在各个互斥事件A发生条件下的概率P（A）P（B｜A）；
i i i i
（3）代入全概率公式计算.
五．数学期望的性质
1.若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则E（aX＋b）＝aE（X）＋b，D（aX＋b）＝a2D
（X）.
2.若随机变量X服从两点分布，则E（X）＝p，D（X）＝p（1－p）.
3.若X，X 相互独立，则E（X·X）＝E（X）·E（X）.
1 2 1 2 1 2
nM nM( M) N-n
4.若随机变量X服从参数为n，M，N的超几何分布，则E（X）＝ ，D（X）＝ 1- · .
N N N N-1
考点一 分布列及其性质
【例1-1】（2023春·山东滨州）已知随机变量X的分布列如下所示，则 （ ）
X 0 2 4
P m
A．2 B．3 C．4 D．5
【例1-2】（2023秋·河南）已知样本数据 ， ， ， ， ， 的平均数为16，方差为9，则另一组数据 ， ， ， ， ， ，12的方差为（ ）．
A． B． C． D．7
【一隅三反】
1．（2023春·云南保山）设 是一个离散型随机变量，其分布列为
则 等于（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2022春·河南南阳）设随机变量 的分布列如下表所示，则 （ ）
0 1 2 3 4
0.36 0.2 0.1
A．0.14 B．0.24 C．0.34 D．0.44
3．（2023吉林）某射手射击所得环数 的分布列为
7 8 9 10
0.1 0.3
已知 的均值 ，则 的值分别为( )
A．0.2,0.3 B．0.3,0.4
C．0.2,0.4 D．0.4,0.2
4．（2023春·黑龙江七台河）随机变量 的分布列如下表，其中 ，且 ，
2 4 6
则 （ ）A． B． C． D．
考点二 相互独立事件
【例2-1】（2023春·陕西渭南·高二校考期中）在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概
率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是（ ）
A．0.12 B．0.88 C．0.28 D．0.42
【例2-2】（2023秋·黑龙江哈尔滨）已知事件 ，且 ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 ，则 ，
B．若A与B互斥，则 ，
C．若A与B相互独立，则 ，
D．若A与B相互独立，则 ，
【例2-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入
下一轮，否则被淘汰．已知甲选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 ， ， ，乙选手能
正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 ， ， ，且两位选手各轮问题能否正确回答互不影响．
(1)求乙选手进入第三轮才被淘汰的概率；
(2)求至多有一名选手通过全部考核的概率．【一隅三反】
1（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）（多选）红、黄、蓝被称为三原色，选取其中任意几种颜色调
配，可以调配出其他颜色，已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加
蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红、黄、蓝颜料各两瓶，甲从六瓶颜料中任取两瓶，
乙再从余下四瓶颜料中任取两瓶，两人分别进行等量调配， 表示事件“甲调配出红色”； 表示事件
“甲调配出绿色”； 表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件 与事件 是独立事件 B．事件 与事件 是互斥事件
C． D．
2．（2023秋·吉林长春）甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为 ，那么三人中恰有
两人合格的概率是 ．
3．（2023秋·湖北）插花是一种高雅的审美艺术，是表现植物自然美的一种造型艺术，与建筑、盆景等艺
术形式相似，是最优美的空间造型艺术之一。为了通过插花艺术激发学生对美的追求，某校举办了以“魅
力校园、花香溢校园”为主题的校园插花比赛。比赛按照百分制的评分标准进行评分，评委由10名专业教
师、10名非专业教师以及20名学生会代表组成，各参赛小组的最后得分为评委所打分数的平均分.比赛结
束后，得到甲组插花作品所得分数的频率分布直方图和乙组插花作品所得分数的频数分布表，如下所示：分数区间 频数
1
5
12
14
4
3
1
定义评委对插花作品的“观赏值”如下所示：
分数区
间
观赏值 1 2 3
(1)估计甲组插花作品所得分数的中位数（结果保留两位小数）；
(2)若该校拟从甲、乙两组插花作品中选出1个用于展览，从这两组插花作品的最后得分来看该校会选哪一
组，请说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)从40名评委中随机抽取1人进行调查，试估计其对乙组插花作品的“观赏值”比对甲组插花作品的“观
赏值”高的概率.考点三 条件概率
【例3-1】（2023春·广东东莞·）甲、乙两位游客慕名来到江城武汉旅游，准备分别从黄鹤楼、东湖、昙华
林和欢乐谷4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件A：甲和乙至少一人选择黄鹤楼，事
件 ：甲和乙选择的景点不同，则条件概率 （ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2023湖南）已知 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·河南开封·统考三模）用 五个数字排成一个无重复数字的五位数，设事件 {数字 在
的左边}，事件 { 与 相邻}，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川成都·校联考二模）一个不透明的袋中装有4个红球，4个黑球，2个白球，这些球除颜色外，
其他完全相同，现从袋中一次性随机抽取3个球，事件A：“这3个球的颜色各不相同”，事件B：“这3个球中至少有1个黑球”，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024秋·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）2023年7月28日晚，第31届世界大学生夏季运
动会在成都盛大开幕. 为宣传成都大运会，某大学团委开展了“阳光灿烂 青春与共”大运会知识竞赛活动，
各班以团支部为单位参加比赛，某班团支部在6道题中（包含4道图片题和2道视频题），依次不放回地
随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到图片题”，事件 为“第2次抽到视频题”，则
（ ）
A． B． C． D．
考点四 超几何分布
【例4】（2022秋·广东云浮·高三校考阶段练习） 年7月 日第 届全国中学生生物学竞赛在浙江省
萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了 名学生
的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于 至 之间，将数据按照 ， ， ，
， ， 分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 的值，并估计这 名学生成绩的中位数；(2)在这 名学生中用分层抽样的方法从成绩在 ， ， 的三组中抽取了 人，再从这
人中随机抽取3人，记 为3人中成绩在 的人数，求 的分布列和数学期望；
【一隅三反】
1．（2023春·北大附中校考期中）下表为某班学生理科综合能力测试成绩（百分制）的频率分布表，已知
在 分数段内的学生人数为21.`
分数
段
频率 0.1 0.15 0.2 0.2 0.15 0.1 *
(1)求测试成绩在 分数段内的人数；
(2)现欲从 分数段内的学生中抽出2人参加物理兴趣小组，若其中至少有一名男生的概率为 ，求
分数段内男生的人数；(3)若在 分数段内的女生为4人，现欲从 分数段内的学生中抽出3人参加培优小组， 为分配
到此组的3名学生中男生的人数．求 的分布列及期望
2．（2023春·河北）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道
试题，乙能答对其中的8道试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，
答错一题得0分．求：
(1)甲答对试题数 的概率分布；
(2)乙所得分数 的概率分布．3．（2023春·甘肃定西）为推动网球运动的发展，某网球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自
甲协会的运动员 名，其中种子选手 名；乙协会的运动员 名，其中种子选手 名．从这 名运动员中随
机选择 人参加比赛．
(1)设事件 为“选出的 人中恰有 名种子选手，且这 名种子选手来自同一个协会”，求事件 发生的
概率；
(2)设 为选出的 人中种子选手的人数，求随机变量 的分布列及均值 ．
考点五 二项分布
【例5】（2024秋·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）某公司使用甲、乙两台机器生产芯片，已知
每天甲机器生产的芯片占产量的六成，且合格率为 ；乙机器生产的芯片占产量的四成，且合格率为
，已知两台机器生产芯片的质量互不影响. 现对某天生产的芯片进行抽样.
(1)从所有芯片中任意抽取一个，求该芯片是不合格品的概率；
(2)现采用有放回的方法随机抽取3个芯片，记其中由乙机器生产的芯片的数量为 ，求 的分布列以及数
学期望 .【一隅三反】
1．（2023秋·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试）第四届应急管理普法知识竞赛线上启动仪式在
3月21日上午举行，为普及应急管理知识，某高校开展了“应急管理普法知识竞赛”活动，现从参加该竞
赛的学生中随机抽取100名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“普法
王者”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)若该校参赛人数达20000人，请估计其中有多少名“普法王者”；
(2)随机从该高校参加竞赛的学生中抽取3名学生，记其中“普法王者”人数为 ，用频率估计概率，请你
写出 的分布列.
2．（2022秋·陕西渭南·高三统考阶段练习）为了监控某一条生产线的生产过程，从其产品中随机抽取100
件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图．(1)求这些产品质量指标值落在区间 内的频率；
(2)若将频率视为概率，从该条生产线的这种产品中随机抽取2件，记这2件产品中质量指标值位于区间
内的产品件数为X，求X的分布列与数学期望．
3．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）西梅以“梅”为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫
“欧洲李”，素有“奇迹水果”的美誉.因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了
10箱西梅，其中有4箱测定为一等品.
(1)现从这10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；
(2)以这10箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取3箱，记 表示抽到一等品
的箱数，求 的分布列和期望.
考点六 正态分布【例6-1】（2023春·山东滨州）某班级有50名学生，期中考试数学成绩服从正态分布 ，已知
，则数学成绩及格（90分以上）的学生人数约为（ ）
A．30 B．35 C．40 D．45
【例6-2】（2023秋·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试）随机变量 服从正态分布
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例6-3】（2023·山东）第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为了让中学生
了解亚运会，某市举办了一次亚运会知识竞赛，分预赛和复赛两个环节，现从参加预赛的全体学生中随机
抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布表（见表）．
分组（百分制） 频数 频率
10 0.1
20 0.2
30 0.3
25 0.25
15 0.15
合计 100 1
(1)由频率分布表可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩X服从正态分布 ，其中 可近似为
样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且 ．利用该正
态分布，求 ；
(2)预赛成绩不低于80分的学生将参加复赛，现用样本估计总体，将频率视为概率．从该市参加预赛的学
生中随机抽取2人，记进入复赛的人数为Y，求Y的概率分布列和数学期望．附：若 ，则 ， ，
； ．
【一隅三反】
1．（2023春·课时练习）已知服从正态分布 的随机变量在区间 和
内取值的概率约为68.3%，95.4%和99.7%.若某校高一年级1000名学生的某次考试成绩X服
从正态分布 ，则此次考试成绩在区间 内的学生大约有（ ）
A．997人 B．972人
C．954人 D．683人2．（2023秋·重庆·高三统考开学考试）为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青 春向党百年
路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从 中抽取了200 份试卷进行调查，这200 份试卷的成绩（卷 面
共100分）频率分布直方图如右图所示．
(1)用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
(2)可以认为这次竞赛成绩 X 近似地服从正态分布 N，2 （用样本平均数和标准差 s 分别作为 、
的近似值），已知样本标准差 s 7.36 ，如有84%的学生的竞赛 成绩高于学校期望的平均分，则学校期
望的平均分约为多少？（结果取整数）
(3)从得分区间80，90 和90，100 的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这 10份样本中随
机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间80，90 的概
率．
参考数据：若 X ~N ，2 ，则 P X 0.68 ，P 2 X 2 0.95
， P 3 X 3 0.99 .3．（2023·江苏）全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强
方能国强．某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入x（单位：万元）进行调
查，并绘制得到如下图所示的频率分布直方图．
(1)求这2000户农户家庭年收入的样本平均数 和样本方差 （同一组的数据用该组区间中点值代表）．
(2)由直方图可认为农户家庭年收入 近似服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ， 近似
为样本方差 ．
①估计这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数？（结果保留整数）
②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取
4户，即年收入不超过9.52万元的农户家庭数为 ，求 ．（结果精确到0.001）
附：① ；②若 ，则 ，
；③ ．4．（2023春·山西大同）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广
大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加，
为了制定提升农民收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如
下频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入 （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的
中点值表示）；
(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入X服从正态分布 ，其中 近似为年平均收入
， 近似为样本方差 ，经计算得 ，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低
年收入大约为多少千元？
②为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的
年收入互相独立，记这1000位农民中的年收入高于 千元的人数为 ，求 .
附参考数据： ，
若随机变量X服从正态分布 ，则
，
，.
