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9.2椭圆（精讲）
一．椭圆的定义
1.定义：平面内与两个定点F，F 的距离的和等于常数(大于|FF|)的点的轨迹．
1 2 1 2
2.焦点：两个定点F，F.
1 2
3.焦距：两焦点间的距离|FF|.
1 2
4.半焦距：焦距的一半．
5.其数学表达式：集合P＝{M||MF |＋|MF |＝2a}，|FF|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
1 2 1 2
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
二．椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】图形
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
A(－a，0)，A(a，0)，B(0，－ A(0，－a)，A(0，a)，B(－b，
顶点 1 2 1 1 2 1
b)，B(0，b) 0)，B(b，0)
2 2
轴长 短轴长为2b，长轴长为2a
焦点 F(－c，0)，F(c，0) F(0，－c)，F(0，c)
1 2 1 2
焦距 |FF|＝2c
1 2
对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点
离心率 e＝(0＜e＜1)
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
一.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则
1.b≤|OP|≤a；
2.a－c≤|PF|≤a＋c.
二.焦点三角形：椭圆上的点P(x ，y)与两焦点构成的△PFF 叫作焦点三角形，r ＝|PF|，r ＝|PF|，
0 0 1 2 1 1 2 2
∠FPF＝θ，△PFF 的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中：
1 2 1 2
(1)当r＝r 时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
1 2
(2)S＝b2tan ＝c|y|，当|y|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
0 0
三．标准方程
1.利用定义法求椭圆标准方程，要注意条件2a＞|FF|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也
1 2
可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式.
2.椭圆的标准方程的两个应用
①方程＋＝1与＋＝λ(λ＞0)有相同的离心率.
②与椭圆＋＝1(a＞b＞0)共焦点的椭圆系方程为＋＝1(a＞b＞0，k＋b2＞0)，恰当运用椭圆系方程，可使运
算简便.
四．椭圆离心率
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：
1.直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解．
2.由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝ 求解．
3.构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系式，从而求得
e.
五．弦长
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆C相交于A(x ，y)，B(x ，y)两个不同的点，则弦长|AB|
1 1 2 2
＝＝·|x －x|＝·|y －y|(k≠0)．
1 2 1 2
六．直线与椭圆位置关系的方法
(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数问题；
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
考点一 椭圆的定义及应用
【例1-1】（2023春·江西·高三统考阶段练习）已知椭圆 为两个焦点， 为椭圆
上一点，若 的周长为4，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】设椭圆 的焦距为 ，则 ，
的周长为 ，解得 ，
故选：D
【例1-2】（2023·河南开封·统考三模）已知点 是椭圆 上一点，椭圆的左、右焦点分别为 、
，且 ，则 的面积为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．6 B．12 C． D．
【答案】C
【解析】由椭圆 ，得 ， ， .
设 ， ，
∴ ，在 中，由余弦定理可得： ，
可得 ，得 ，
故 .
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知点 ， 是椭圆 上关于原点对称的两点，
， 分别是椭圆 的左、右焦点，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】C
【解析】因为 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以四边形 是平行四边形.
所以 .
由椭圆的定义得 .
所以 .
故选：C
2．（2024秋·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）椭圆 的两焦点分别为
， 是椭圆 上一点，当 的面积取得最大值时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，所以 ，
所以 ，则当 最大时， 面积最大，
此时点 位于椭圆的上下端点，
则 ，因为 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ， 为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意椭圆 ， 为两个焦点，可得 ，
则 ①，即 ，
由余弦定理得 ，
，故 ，②
联立①②，解得： ，
而 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，
故选：B
考点二 椭圆的标准方程
【例2】（2023秋·课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在 轴上，且经过两个点 和 ；
(2)经过点 和点Q .
(3)两个焦点的坐标分别为 和 ，且椭圆经过点 ；
(4)焦点在y轴上，且经过两个点 和 ；
(5)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【解析】（1）由于椭圆的焦点在 轴上，
∴设它的标准方程为 ，
由于椭圆经过点 和 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，
故所求椭圆的标准方程为 .
（2）设椭圆方程为 ，
则 ，
∴椭圆方程为 .
（3）由题意知，椭圆的焦点在x轴上，可设它的标准方程为 ，
易知 ，∴ ，
又 ，∴ ，
故所求椭圆的标准方程为 ；
（4）∵椭圆的焦点在y轴上，
∴可设它的标准方程为 ，
∵椭圆经过点 和 ，
∴ ，解之得 ，
故所求椭圆的标准方程为 ；
（5）根据题意可知 ，又焦点在y轴上，故焦点坐标为 ，
∵椭圆经过点 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴由椭圆的定义可得 ，即 ，
∴ ，
故椭圆的标准方程为 .
【一隅三反】
1．（2023秋·课时练习）若方程 表示椭圆，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依题意，方程 表示椭圆，
则 ，
解得 或 ，
即实数m的取值范围是 .
故选：B
2（2023秋·高二课时练习）以下方程表示椭圆的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A选项，方程 ，即 ，表示圆，不是椭圆，A选项错误.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】B选项，方程 ，即 ，方程中间是减号，不是椭圆，B选项错误.
C选项，方程 ，即 ，
表示焦点在 轴上的椭圆，C选项正确.
D选项，方程 右边不是 ，不是椭圆，D选项错误.
故选：C
3．（2023秋·广东）已知 是椭圆 的一个焦点，则实数 （ ）
A．6 B．
C．24 D．
【答案】D
【解析】椭圆 化为： ，显然 ，有 ，
而椭圆的一个焦点为 ，因此 ，所以 .
故选：D
4．（2023秋·高二课时练习）F，A分别为椭圆的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是6，且 ，
则椭圆的标准方程为（ ）
A．
B．
C． 1或
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D． 1或
【答案】D
【解析】当焦点在x轴上时， ，
因为 ，所以 ， ，所以 ，
所以椭圆方程为 ；
同理，当焦点在y轴上时，椭圆方程为 .
故选：D
考点三 离心率
【例3-1】（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知椭圆 的焦点在 轴上，若焦距为
4，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题得 ，即 ，
由焦距为4得 ，解得 ，
可得椭圆方程为 ，所以 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以离心率为 .
故选：B.
【例3-2】（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知椭圆C的左右焦点分别为 ， ，
P，Q为C上两点， ，若 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 ， ， .
在 中得： ，即 .
因此 ， ， ，
在 中得： ，故 ，所以 .
故选：D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【一隅三反】
1．（2022秋·广东惠州·高三统考阶段练习）若焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 椭圆焦点在 轴上， ， ，
离心率 ，解得： .
故选：C.
2．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知 、 是椭圆的两个焦点，满足 的
点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为 ，
，
点的轨迹是以原点 为圆心，半焦距 为半径的圆，
又 点总在椭圆内部，
该圆内含于椭圆，即 ， ，
， ．
故选：A．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线 与椭圆 交于 两点，若点
恰为弦 的中点，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【【解析】依题意，直线 的斜率为 ，设 ，则 ，且 ，
由 两式相减得： ，于是 ，
解得 ，此时椭圆 ，显然点 在椭圆 内，符合要求，
所以椭圆 的离心率 .
故选：A
考点四 直线与椭圆的位置关系
【例4-1】．（2023秋·课时练习）若直线 与椭圆 有唯一公共点，则实数 ．
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】直线 的方程与椭圆 的方程联立 ，
消去 ，得 ①.
方程①的判别式 .
因为直线l与椭圆C有唯一公共点．
则 ，解得 .
故答案为： .
【例4-2】（2022·全国·高三专题练习）椭圆 上点P(1,1)处的切线方程是 ．
【答案】
【解析】∵椭圆 ，
∴y>0时， ，∴ ，
∴x＝1时， ，即切线斜率 ，
∴椭圆 上点P(1,1)处的切线方程是 ，
即 ．
故答案为： ．
【一隅三反】
1．（2023春·上海闵行）直线 与椭圆 恒有两个不同的交点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】椭圆长半轴长为 ，由题意得 ，则若恒有两个不同的交点，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为： .
2．（2022秋·江西南昌·）如果直线l： 与椭圆C： 总有公共点，则实数a的
取值范围是 .
【答案】
【解析】直线l： 过定点 ，
因为直线l： 与椭圆C： 总有公共点，
所以点 在椭圆内部或椭圆上，
则有 ，
故答案为：
3．（2023·全国·专题练习）直线 与椭圆 (m>0)有且仅有一个公共点P，则m＝
，点P的坐标是 .
【答案】
【解析】法1：联立方程 得 ，
得 ，
所以 ，得 ，所以 .
法2：设 ，则 处切线 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可化为 ，比对得 ，
代入椭圆方程得： ，得 .
得 ，所以 ，得 ，所以 .
法3：椭圆长轴长 ，焦点 .
由椭圆的定义知，椭圆上每一个点P，均满足 ，
椭圆上外部的每一个点P，均满足 ，直线 与椭圆有且仅有一个公共点P，
则对于直线 上任意一点 ，满足 ，当且仅当 在点 处时，等号成立，
即当 在 处时， 取得最小值 .求得 关于直线 对称的点为 ，
所以 ，
因此 ，椭圆方程为 ，P的坐标是 .
故答案为： ；
考点五 弦长与中点弦的问题
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例5-1】（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆 ，左右焦点分别为 ， ，直线
与椭圆交于 ， 两点，弦 被点 平分．
(1)求直线 的方程；
(2)求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为弦 被点 平分，所以
设交点坐标
则 ，
两式相减得： ），
所以直线 的斜率 ，
故直线 的方程为
（2） ，
联立椭圆与直线方程 得
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
又因为直线过点 ，
所以 ．
【例5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： ，过点 的直线l与椭圆C交于A，
B两点，若点P恰为弦AB的中点，则直线l的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ， ，则 ， ，
且 ， ，
作差得 ，所以 ，
即直线l的斜率是 ．
故选：C．
【一隅三反】
1．（2023秋·河南郑州·高三校考开学考试）已知椭圆C： 的一个焦点为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】且离心率为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过椭圆C的左焦点，倾斜角为 的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】1）依题意得 ， ，所以 ， ，
所以椭圆C的方程为 .
（2）因为直线 的倾斜角为 ，所以斜率为 ，
又直线 过点 ，所以直线 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
，
设 ， ，
则 ， ，
所以 ，
所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023·全国·高三对口高考）中心在原点，一个焦点为 的椭圆被直线 截得弦的中点
的横坐标为 ，则椭圆的方程为 ．
【答案】
【解析】由题意，
在椭圆中，一个焦点为 ，
设椭圆的方程为 ,
∴ ，
设直线 与椭圆的交点为 ,弦 中点为
∵直线 截得弦的中点的横坐标为 ，
∴ ， ，
∴ 即
∴ .
∴ ，解得：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴椭圆的方程为： ，
故答案为： .
故答案为： .
考点六 直线与椭圆的综合运用
【例6】（2023·全国·高三对口高考）中心在原点，一个焦点为 的椭圆被直线 截得弦的
中点的横坐标为 ，则椭圆的方程为 ．
【答案】
【解析】由题意，
在椭圆中，一个焦点为 ，
设椭圆的方程为 ,
∴ ，
设直线 与椭圆的交点为 ,弦 中点为
∵直线 截得弦的中点的横坐标为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ， ，
∴ 即
∴ .
∴ ，解得：
∴椭圆的方程为： ，
故答案为： .
故答案为： .
【一隅三反】
1．（2024·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）椭圆 的离心率 ，过点 .
(1)求椭圆的标准方程；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)过点 且斜率不为0的直线 与椭圆交于 两点，椭圆的左顶点为 ，求直线 与直线 的
斜率之积.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：因为椭圆 的离心率 ，
所以 ，即 ，
又因为椭圆过点 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以椭圆的方程为 ；
（2）如图所示：
当直线的斜率不存在时，直线的方程为 ，
与椭圆方程联立求得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，
所以 ，
所以 ；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，
由 ，消去y得： ，
，
由韦达定理得 ，
所以 ，
，
.
2．（2023·海南海口·校考模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知定点 ，定直线 ，动点
在 上的射影为 ，且满足 .
(1)记点 的运动轨迹为 ，求 的方程；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)过点 作斜率不为0 的直线与 交于 两点， 与 轴的交点为 ，记直线 和直线 的斜率
分别为 ，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）设 ，则 ，因为 ，
所以 ，化简得， ，
即 的方程为 .
（2）由题意知 ，
设过点 作斜率不为0的直线为 ， ， ，
联立 可得， ，
则 ， ，
又 ， ，
则
，
所以 得证.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
