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4.5 导数的综合运用（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现例题剖析
考点一 零点的个数
【例1】（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的极值点；
(2)当 时，试讨论函数 的零点个数.
【一隅三反】
1．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知函数 ．(1)求函数 的图象在 处的切线方程；
(2)判断函数 的零点个数，并说明理由.
2．（2022·北京四中三模）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时，讨论 的零点个数.
3．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数 .
(1)讨论 的单调性；(2)当 时，设 ，求证： 在 上只有1个零点
考点二 已知零点个数求参
【例2】（2022·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
【一隅三反】
1．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））已知函数 ．
(1)若 ，讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点，求实数a的取值范围．2（2022·全国·高考真题（理））已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在区间 各恰有一个零点，求a的取值范围．
3．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)当 有三个零点时a的取值范围恰好是 求b的值.考点三 不等式恒（能）成立
【例3】（2022·天津市）已知函数 ， （ ），其中e是自然对
数的底数.
(1)当 时，
（ⅰ）求 在点 处的切线方程；
（ⅱ）求 的最小值；
(2)讨论函数 的零点个数；
(3)若存在 ，使得 成立，求a的取值范围
【一隅三反】
1．（2022·河南安阳）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)对于 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．2．（2022·海南中学高三阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)是否存在实数a，使 对 恒成立，若存在，求出a的值或取值范围；若不存在，请说明
理由.
3．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（理））已知函数 ．
(1)若 在 上仅有一个零点，求实数a的取值范围；
(2)若对任意的 ， 恒成立，求实数a的取值范围．考点四 证明不等式
【例4】（2022·四川省）己知函数 （其中e为自然对数的底数， …）．
(1)若 恒成立，求实数a的值；
(2)若 ，求证： ．
【一隅三反】
1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））已知函数 （e为自然对数的底数）有
两个零点．
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)若 的两个零点分别为 ，证明： ．2．（2022·河南·高三阶段练习）已知函数 .
(1)求 的最小值；
(2)证明： .
3．（2022·河南）已知函数 .
(1)求 的最小值；
(2)若 ，证明： .4．（2022·全国·高考真题）已知函数 和 有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等差数列．
