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新版北师大版八年级下册第 1 章《三角形的证明》单元测试
试卷及答案（3）
一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）
1．（3分）下列三角形：
①有两个角等于60°；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
2．（3分）（2013•邢台一模）如图，AC=BC=10cm，∠B=15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（
）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
3．（3分）（2006•曲靖）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰
好落在AB的中点E处，则∠A等于（ ）
A．25° B．30° C．45° D．60°
4．（3分）如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是
（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状
5．（3分）（2004•河南）如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直
距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时
梯子的顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°，则这间房子的宽AB为（
）
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A． B． C．b米 D．a米
米 米
6．（3分）（2012•深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A 、A 、A …在射线ON上，点B 、B 、
1 2 3 1 2
B …在射线OM上，△A B A 、△A B A 、△A B A …均为等边三角形，若OA =1，则
3 1 1 2 2 2 3 3 3 4 1
△A B A 的边长为（ ）
6 6 7
A．6 B．12 C．32 D．64
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
7．（3分）如图所示，在△ABC中，AB=AC=20cm，∠BAC=150°，则S = ________ _
△ABC
cm2．
8．（3分）（2007•天津）如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则
CD= ________ _ ．
9．（3分）如图所示，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于点
D，PE⊥OA于点E，若PE=2cm，则PD= ________ _ cm．
10．（3分）（2011•济宁）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总
使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则 = ________ _ ．
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三、解答题（共3小题，满分0分）
11．（2011•日照）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延
长线上的一点，且CE=CA．
（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．
12．如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°AC=1点D为AC上一动点，连接BD，
以BD为边作等边△BDE，EA的延长线交BC的延长线于F，设CD=n，
（1）当n=1时，则AF= ________ _ ；
（2）当0＜n＜1时，如图2，在BA上截取BH=AD，连接EH，求证：△AEH为等边三角形．
13．（2013•抚顺）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为
点E，连接CD．
（1）如图1，DE与BC的数量关系是 ________ _ ；
（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆
时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的
结论；
（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写
出DE、BF、BP三者之间的数量关系．
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参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）
1．（3分）下列三角形：
①有两个角等于60°；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
考点： 等边三角形的判定．
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分析： 根据等边三角形的判定判断．
解答： 解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；
②这是等边三角形的判定2，故正确；
③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确；
④根据等边三角形三线合一性质，故正确．
所以都正确．
故选D．
点评： 此题主要考查学生对等边三角形的判定的掌握情况．
2．（3分）（2013•邢台一模）如图，AC=BC=10cm，∠B=15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（
）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
考点： 含30度角的直角三角形．
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分析： 根据等边对等角的性质可得∠B=∠BAC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻
的两个内角的和列式求出∠ACD=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等
于斜边的一半解答即可．
解答： 解：∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC=15°，
∴∠ACD=∠B+∠BAC=15°+15°=30°，
∵AD⊥ BC，
∴AD= AC= ×10=5cm．
故选C．
点评： 本题考查了等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的
关键．
3．（3分）（2006•曲靖）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰
好落在AB的中点E处，则∠A等于（ ）
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A．25° B．30° C．45° D．60°
考点： 等边三角形的判定与性质．
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专题： 压轴题．
分析： 先根据图形折叠的性质得出BC=CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即
可得出CE=AE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三
角形两锐角互补的性质即可得出结论．
解答： 解：△ABC沿CD折叠B与E重合，
则BC=CE，
∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，
∴CE=BE=AE，
∴△BEC是等边三角形．
∴∠B=60°，
∴∠A=30°，
故选B．
点评： 考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推
理能力．
4．（3分）如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是
（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状
考点： 等边三角形的判定．
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分析： 先证得△ABE≌△ACD，可得AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°，即可证明△ADE是等边
三角形．
解答： 解：∵△ABC为等边三角形
∴AB=AC
∵∠1=∠2，BE=CD
∴△ABE≌△ACD
∴AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°
∴△ADE是等边三角形．
故选B．
点评： 此题主要考查学生对等边三角形的判定及三角形的全等等知识点的掌握．
5．（3分）（2004•河南）如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直
距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时
梯子的顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°，则这间房子的宽AB为（
）
A． B． C．b米 D．a米
米 米
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考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题；等边三角形的性质．
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专题： 压轴题．
分析： 根据CM=CN以及∠MCN的度数可得到△CMN为等边三角形．利用相应的三角函
数表示出MN，MC的长，可得到房间宽AB和AM长相等．
解答： 解：过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．
设梯子底端为C点，AB=x，且AB=ND=x．
∴△BNC为等腰直角三角形，△CNM为等边三角形（180﹣45﹣75=60°，梯子长度相
同
∵∠NCB=45°，
∴∠DNC=45°，
∴∠MND=60°﹣45°=15°，
∴cos15°= ，
又∵∠MCA=75°，
∴∠AMC=15°，
∴cos15°= ，
故可得： = ．
∵△CNM为等边三角形，
∴NM=CM．
∴x=MA=a．
故选D．
点评： 此题是解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，作辅助线很关键．
6．（3分）（2012•深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A 、A 、A …在射线ON上，点B 、B 、
1 2 3 1 2
B …在射线OM上，△A B A 、△A B A 、△A B A …均为等边三角形，若OA =1，则
3 1 1 2 2 2 3 3 3 4 1
△A B A 的边长为（ ）
6 6 7
A．6 B．12 C．32 D．64
考点： 等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
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专题： 压轴题；规律型．
分析： 根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A
1
B 1∥A
2
B 2∥A
3
B
3
，以及A
2
B
2
=2B
1
A
2
，
得出A B =4B A =4，A B =8B A =8，A B =16B A …进而得出答案．
3 3 1 2 4 4 1 2 5 5 1 2
解答： 解：∵△A B A 是等边三角形，
1 1 2
∴A
1
B
1
=A
2
B
1
，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，
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∵∠MON=∠1=30°，
∴OA =A B =1，
1 1 1
∴A B =1，
2 1
∵△A B A 、△A B A 是等边三角形，
2 2 3 3 3 4
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A
1
B 1∥A
2
B 2∥A
3
B
3
，B
1
A 2∥B
2
A
3
，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A B =2B A ，B A =2B A ，
2 2 1 2 3 3 2 3
∴A B =4B A =4，
3 3 1 2
A B =8B A =8，
4 4 1 2
A B =16B A =16，
5 5 1 2
以此类推：A B =32B A =32．
6 6 1 2
故选：C．
点评： 此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出
A B =4B A ，A B =8B A ，A B =16B A 进而发现规律是解题关键．
3 3 1 2 4 4 1 2 5 5 1 2
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
7．（3分）如图所示，在△ABC中，AB=AC=20cm，∠BAC=150°，则S = 10 0 cm2．
△ABC
考点： 含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
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分析： 过C作CD⊥BA，交BA延长线于D，求出CD，根据三角形面积公式求出即可．
解答：
解：
过C作CD⊥BA，交BA延长线于D，
∵∠BAC=150°，
∴∠DAC=30°，
∴DC= AC=10cm，
∴S = AB×CD= ×20×10=100（cm2），
△ABC
故答案为：100．
点评： 本题考查了三角形的面积，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出△ABC
的高．
8．（3分）（2007•天津）如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则
CD= 3 ．
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考点： 含30度角的直角三角形．
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分析： 由于∠C=90°，∠ABC=60°，可以得到∠A=30°，又由BD平分∠ABC，可以推出
∠CBD=∠ABD=∠A=30°，∴BD=AD=6，再30°角所对的直角边等于斜边的一半即可
求出结果．
解答： 解：∵∠C=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°，
∴BD=AD=6，
∴CD= BD=6× =3．
故填空答案：3．
点评： 本题利用了直角三角形的性质和角的平分线的性质求解．
9．（3分）如图所示，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于点
D，PE⊥OA于点E，若PE=2cm，则PD= 4 cm．
考点： 角平分线的性质；含30度角的直角三角形．
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分析： 首先过点P作PF⊥OB于点F，由OC平分∠AOB，PE⊥OA于点E，易得PF=PE，由
PD∥OA，可求得∠PDF=30°，然后由含30°角的直角三角形的性质，求得答案．
解答： 解：过点P作PF⊥OB于点F，
∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，
∴PF=PE=2cm，
∵PD∥OA，
∴∠PDF=∠AOB=30°，
∴PD=2PF=4cm．
故答案为：4．
点评： 此题考查了角平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意
掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
10．（3分）（2011•济宁）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总
使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则 = ．
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考点： 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
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专题： 压轴题．
分析： 首先根据题意推出△CAE≌△BCD，可知∠DCB=∠CAE，因此
∠AFG=∠CAF+∠ACF=∠ACF+∠DCB=60°，所以∠FAG=30°，即可推出结论．
解答： 解：∵AD=BE，
∴CE=BD，
∵等边三角形ABC，
∴△CAE≌△DCB，
∴∠DCB=∠CAE，
∴∠AFG=∠CAF+∠ACF=∠ACF+∠DCB=60°，
∵AG⊥CD，
∴∠FAG=30°，
∴FG：AF= ．
故答案为 ．
点评： 本题主要考查全等三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质、等边三角
形的性质，解题的关键在于根据题意推出△CAE≌△DCB和
∠AFG=∠CAF+∠ACF=∠ACF+∠DCB=60°．
三、解答题（共3小题，满分0分）
11．（2011•日照）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延
长线上的一点，且CE=CA．
（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．
考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
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专题： 证明题；压轴题．
分析：（1）根据等腰直角△ABC，求出CD是边AB的垂直平分线，求出CD平分∠ACB，根
据三角形的外角性质求出∠BDE=∠CDE=60°即可．
（2）连接MC，可得△MDC是等边三角形，可求证∠EMC=∠ADC．再证明
△ADC≌△EMC即可．
解答： 证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°﹣15°=30°，
∴BD=AD，
∴D在AB的垂直平分线上，
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∵AC=BC，
∴C也在AB的垂直平分线上，
即直线CD是AB的垂直平分线，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=15°+45°=60°，
∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；
∴∠CDE=∠BDE，
即DE平分∠BDC．
（2）如图，连接MC．
∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．∠DMC=∠MDC=60°，
∵∠ADC+∠MDC=180°，∠DMC+∠EMC=180°，
∴∠EMC=∠ADC．
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM．
在△ADC与△EMC中，
，
∴△ADC≌△EMC（AAS），
∴ME=AD=BD．
点评： 此题主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性
质的等知识点，难易程度适中，是一道很典型的题目．
12．如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°AC=1点D为AC上一动点，连接BD，
以BD为边作等边△BDE，EA的延长线交BC的延长线于F，设CD=n，
（1）当n=1时，则AF= 2 ；
（2）当0＜n＜1时，如图2，在BA上截取BH=AD，连接EH，求证：△AEH为等边三角形．
考点： 含30度角的直角三角形；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
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专题： 动点型．
分析：（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC=60°，再根据平角等于180°求出∠FAC=60°，
然后求出∠F=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可；
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（2）根据三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用∠CBD表示出
∠ADE=30°+∠CBD，又∠HBE=30°+∠CBD，从而得到∠ADE=∠HBE，然后根据边角
边证明△ADE与△HBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=HE，对应角相等
可得∠AED=∠HEB，然后推出∠AEH=∠BED=60°，再根据等边三角形的判定即可证
明．
解答： （1）解：∵△BDE是等边三角形，
∴∠EDB=60°，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠BAC=180°﹣90°﹣30°=60°，
∴FAC=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠F=180°﹣90°﹣60°=30°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACF=180°﹣90°，
∴AF=2AC=2×1=2；
（2）证明：∵△BDE是等边三角形，
∴BE=BD，∠EDB=∠EBD=60°，
在△BCD中，∠ADE+∠EDB=∠CBD+∠C，
即∠ADE+60°=∠CBD+90°，
∴∠ADE=30°+∠CBD，
∵∠HBE+∠ABD=60°，∠CBD+∠ABD=30°，
∴∠HBE=30°+∠CBD，
∴∠ADE=∠HBE，
在△ADE与△HBE中，
，
∴△ADE≌△HBE（SAS），
∴AE=HE，∠AED=∠HEB，
∴∠AED+∠DEH=∠DEH+∠HEB，
即∠AEH=∠BED=60°，
∴△AEH为等边三角形．
点评： 本题考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，全等三角形的判定与性质，
等边三角形的性质与判定，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
的性质，（2）中求出
∠ADE=∠HBE是解题的关键．
13．（2013•抚顺）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为
点E，连接CD．
（1）如图1，DE与BC的数量关系是 DE= BC ；
（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆
时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的
结论；
（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写
出DE、BF、BP三者之间的数量关系．
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考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
4718119
分析： （1）由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠B=60°，根据直角三角形斜边上中线性质得到
DB=DC，则可判断△DCB为等边三角形，由于DE⊥BC，DE= BC；
（2）根据旋转的性质得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，则可根据“SAS”
可判断△DCP≌△DBF，则CP=BF，利用CP=BC﹣BP，DE= BC可得到BF+BP=
DE；
（3）与（2）的证明方法一样得到△DCP≌△DBF得到CP=BF，而CP=BC+BP，则BF﹣
BP=BC，所以BF﹣BP= DE．
解答： 解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵点D是AB的中点，
∴DB=DC，
∴△DCB为等边三角形，
∵DE⊥BC，
∴DE= BC；
故答案为DE= BC．
（2）BF+BP= DE．理由如下：
∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
而∠CDB=60°，
∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
在△DCP和△DBF中
，
∴△DCP≌△DBF（SAS），
∴CP=BF，
而CP=BC﹣BP，
∴BF+BP=BC，
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∵DE= BC，
∴BC= DE，
∴BF+BP= DE；
（3）如图，
与（2）一样可证明△DCP≌△DBF，
∴CP=BF，
而CP=BC+BP，
∴BF﹣BP=BC，
∴BF﹣BP= DE．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有
“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角
形的判定与性质以及含30度的直角三角形三边的关系．
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